Đề Xuất 5/2022 # Các Phương Pháp Tựa Nội Suy Spline Và Ứng Dụng # Top Like

Xem 18,216

Cập nhật nội dung chi tiết về Các Phương Pháp Tựa Nội Suy Spline Và Ứng Dụng mới nhất ngày 22/05/2022 trên website Cuocthitainang2010.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Cho đến nay, bài viết này đã thu hút được 18,216 lượt xem.

--- Bài mới hơn ---

  • Cách Nội Suy Bằng Máy Tính Fx 500 Ms
  • Thẩm Định Dự Án Đầu Tư: Cách Tính Npv, Irr Và Ứng Dụng Thực Tế
  • Phương Pháp Npv Và Phương Pháp Irr [Ôn Thi Cpa
  • Phương Pháp Số Và Lập Trình
  • Hệ Thống Công Thức Cơ Học Đất
  • BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

    TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

    NGUYỄN THỊ THÚY

    CÁC PHƯƠNG PHÁP TỰA NỘI

    SUY SPLINE VÀ ỨNG DỤNG

    LUẬN VĂN THẠC SỸ

    Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

    Mã số : 60 46 01 02

    Người hướng dẫn khoa học:

    TS. NGUYỄN VĂN TUẤN

    HÀ NỘI, 2014

    Lời cảm ơn

    Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, người đã

    định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn

    này.

    Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng sau

    đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,

    trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt qúa trình học

    tập.

    Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều

    kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

    Hà Nội, tháng 12 năm 2014

    Tác giả

    Nguyễn Thị Thúy

    2

    Lời cam đoan

    Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn, luận

    văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Các phương pháp tựa

    nội suy spline và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của tác giả.

    Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa thành

    tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

    Hà Nội, tháng 12 năm 2014

    Tác giả

    Nguyễn Thị Thúy

    3

    Mở đầu

    6

    1 Kiến thức chuẩn bị

    8

    1.1

    Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    8

    1.2

    Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.3

    Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.4

    Số gần đúng và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.5

    Phương pháp nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.5.1

    Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.5.2

    Đa thức nội suy Hermitte . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.5.3

    Spline đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2 Phương pháp tựa nội suy

    19

    2.1

    Không gian các hàm spline và B-spline . . . . . . . . . . . . 19

    2.2

    Tính chất của spline và B-spline . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.3

    2.2.1

    Sự độc lập tuyến tính và đa thức đại diện . . . . . . 21

    2.2.2

    Phép lấy vi phân và tính trơn của B-spline . . . . . 26

    2.2.3

    B-spline làm cơ sở cho đa thức từng đoạn . . . . . . 30

    Tựa nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.3.1

    Tựa nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.3.2

    Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.3.3

    Hai cơ sở tựa nội suy trên phiếm hàm điểm . . . . . 38

    4

    3 Ứng dụng

    41

    3.1

    Tựa nội suy bằng các hàm spline bậc 1 . . . . . . . . . . . 41

    3.2

    Tựa nội suy bằng các hàm spline bậc 2 . . . . . . . . . . . 45

    Kết luận

    49

    Tài liệu tham khảo

    50

    5

    Mở đầu

    1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

    Trong thực tế, vấn đề tìm giá trị của hàm số, tính tích phân xác định

    có ý nghĩa quan trọng, nên có nhiều phương pháp khác nhau để giải các

    bài toán trên.

    Việc giải tìm nghiệm đúng của các bài toán này nhiều trường hợp không

    giải được hoặc nghiệm đúng không có ý nghĩa thiết thực, bởi vậy người ta

    sử dụng nhiều phương pháp gần đúng khác nhau để giải quyết các vấn đề

    trên.

    Hàm spline là các đa thức trên từng đoạn có nhiều ưu điểm trong tính

    toán do vậy được ứng dụng trong tính toán gần đúng. Trong phương pháp

    nội suy, các điểm nút là các mốc nội suy được cố định. Người ta có thể

    sử dụng các điểm nút nội suy linh hoạt, đó là phương pháp tựa nội suy.

    Khi áp dụng hàm spline và phương pháp tựa nội suy để xấp xỉ hàm số,

    người ta chia khoảng xác định của hàm số thành nhiều đoạn, trên mỗi

    đoạn ta xấp xỉ bằng một hàm spline, qua đó sẽ xấp xỉ được hàm số đã

    cho. Phương pháp này có nhiều ưu điểm do đó, tôi đã chọn đề tài : “Các

    phương pháp tựa nội suy spline và ứng dụng”.

    2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

    Tìm hiểu khái niệm và các tính chất của hàm spline, B-spline.

    Khái niệm phương pháp tựa nội suy spline và một số ứng dụng của

    phương pháp tựa nội suy bằng hàm spline, B-spline.

    3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

    Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp tựa nội suy bằng hàm spline.

    Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp tựa nội suy spline, xấp xỉ hàm số,

    6

    lập trình Maple để giải các bài toán đặt ra.

    4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

    Sử dụng phương pháp nội suy và phương pháp hàm spline trong quá

    trình thực hiện luận văn.

    5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

    Áp dụng phương pháp tựa nội suy vào xấp xỉ một lớp hàm số có ứng

    dụng trong thực tế. Làm rõ một số tính chất của hàm spline và phương

    pháp tựa nội suy.

    6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

    Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3

    chương.

    Chương 1. Kiến thức chuẩn bị, chương này trình bày khái niệm và kiến

    thức để sử dụng cho các chương sau.

    Chương 2. Phương pháp tựa nội suy, trong chương này trình bày khái

    niệm và các tính chất của hàm spline, B-spline, phương pháp tựa nội suy

    và các tính chất.

    Chương 3. Ứng dụng, trình bày ứng dụng phương pháp tựa nội suy để

    xấp xỉ các lớp hàm cho trước.

    7

    Chương 1

    Kiến thức chuẩn bị

    1.1

    Không gian vectơ

    Định nghĩa 1.1.1. Một tập X được gọi là một không gian vectơ, nếu:

    * Ứng với mỗi phần tử x, y của X ta có, theo quy tắc nào đó, một phần

    tử của X , gọi là tổng của x với y , và được kí hiệu x + y ; ứng với mỗi

    phần tử x của X và mỗi số thực α ta có, theo một quy tắc nào đó,

    một phần tử của X gọi là tích của x với α và được kí hiệu αx.

    * Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 tiên đề sau:

    1. x + y = y + x, ∀x, y ∈ X.

    2. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X .

    3. Tồn tại duy nhất phần tử 0 sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ X ( phần

    tử này gọi là phần tử không).

    4. Ứng với mỗi phần tử x ∈ X , tồn tại duy nhất phần tử −x ∈ X sao

    cho x + (−x) = 0 (phần tử −x gọi là phần tử đối của x).

    5. 1.x = x, ∀x ∈ X .

    6. α(βx) = (αβ)x, ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ R .

    7. (α + β)x = αx + βx, ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ R.

    8. α(x + y) = αx + αy, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R.

    8

    E 2 = {(x1 , x2 ) : x1 và x2 là các số thực}.

    Với mỗi số thực α và các vectơ x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X , phép

    cộng và nhân vô hướng được định nghĩa:

    x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 )

    αx = (αx1 , αx2 )

    là không gian vectơ.

    Ví dụ 1.2.

    Xét không gian tuyến tính thực

    C},

    với mỗi số thực α và f (t), g(t) ∈ C , là không gian định chuẩn với chuẩn:

    kxk =

    Rb

    a

    Định nghĩa 1.3.2. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là

    hội tụ tới điểm x ∈ X , nếu lim kxn − xk = 0. Kí hiệu lim xn = x hay

    n→∞

    n→∞

    xn → x(n → ∞).

    Định nghĩa 1.3.3. Cho không gian tuyến tính X và kXk1 , kXk2 là hai

    chuẩn đã cho trên X . Hai chuẩn kXk1 , và kXk2 gọi là tương đương nếu

    tồn tại hai số dương α, β sao cho:

    αkxk1 ≤ kxk2 ≤ βkxk1 , ∀x ∈ X.

    Định nghĩa 1.3.4. Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm (xn ) ⊂ X .

    Ta gọi chuỗi là biểu thức có dạng:

    Chuỗi này gọi là hội tụ nếu các tổng bộ phận sn = x1 + x2 + … + xn

    của nó lập thành một dãy hội tụ.

    Định nghĩa 1.3.5. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian

    metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = kx − yk). Khi đó X được gọi là

    một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.

    Định nghĩa 1.3.6. Giả sử X , Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn

    và T : X → Y là một toán tử tuyến tính. Nếu tồn tại giá trị hữu hạn:

    xk

    kT k = sup kT

    kxk < +∞

    x∈X

    p

    (x, x), x ∈ H .

    Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là

    không gian Hilbert con của không gian H .

    13

    1.4

    Số gần đúng và sai số

    f 0xi

    là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian.

    n

    P

    f¯0 (x1 , …, xn )∆xi

    Vì f là khả vi liên tục, ∆xi quá bé nên: ∆y =

    xi

    i=1

    i=1

    1.5

    Phương pháp nội suy

    Trong thực tế tính toán, ta thường phải tính giá trị của hàm y = f (x)

    với x bất kì trong đoạn , i = 0, 1, …, n. Ở một số trường hợp khác biểu thức giải tích của

    f (x) đã biết, nhưng quá phức tạp. Với những trường hợp như vậy, người

    ta thường xây dựng một hàm số P (x) đơn giản và thỏa mãn điều kiện

    P (xi ) = f (xi ) , và xi 6= xj , ∀i 6= j, xi ∈ , x 6= xi thì P (x) xấp xỉ y = f (x) theo một độ

    chính xác nào đó. Hàm số như vậy gọi là hàm nội suy của f (x), còn các

    xi , i = 0, 1, …, n gọi là các mốc nội suy. Bài toán xây dựng hàm số P (x)

    như vậy gọi là bài toán nội suy. Trong quá trình xây dựng hàm P (x), ta

    xây dựng P (x) có đặc tính tương tự với hàm số y = f (x). chẳng hạn, nếu

    f (x) tuần hoàn với chu kì T thì P (x) cũng tuần hoàn với chu kì T .

    Dùng hàm nội suy P (x) có thể dễ dàng tính được các giá trị f (x) tại

    x bất kì thuộc . vì các đa thức đại số là đơn

    giản nên trước tiên ta nghĩ đến việc xây dựng P (x) ở dạng đa thức đại số.

    1.5.1

    Đa thức nội suy Lagrange

    Bài toán: Cho xi ∈ , xi 6= xj , ∀i 6= j , và f 0 (xi ), H2n+1

    (xi ) tương ứng

    là đạo hàm của hàm số f (x) và H2n+1 (x) tại xi . Đa thức:

    là đa thức nội suy Hermitte.

    Đa thức nội suy Hermitte có đặc điểm riêng khác với đa thức nội suy

    Lagrange là ngoài các yêu cầu về sự trùng nhau giữa đa thức nội suy và

    hàm số đã cho tại các mốc nội suy thì còn có yêu cầu về sự trùng nhau

    của các giá trị đạo hàm của chúng.

    1.5.3

    Spline đa thức

    Người ta có nhiều cách dựng các hàm spline, sau đây là cách một xây

    dựng hàm spline.

    16

    Bài toán: Xét phân hoạch a = x0 < x1 < … < xn−1 < xn = b. Một spline

    đa thức bậc 3 trên đoạn

    .

    2. Hạn chế của S(x) trên mỗi ∆i = , giả sử chia đoạn thẳng , j = 1, 2, …, n − 1 ta có một hàm đa thức, các hàm đa thức liên

    tục tại các điểm nút. Khi đó ta có đường cong đa thức từng đoạn gọi là

    đường cong spline.

    Định nghĩa 2.1.2. Cho d là một số nguyên không âm và cho t = (tj )n+d+1

    j=1 ,

    các điểm nút là dãy số thực không giảm. B-spline thứ j bậc d với điểm nút

    t được định nghĩa bởi

    Bj,d,t (x) =

    tj+1+d −x

    x−tj

    tj+d −tj Bj,d−1,t (x)+ tj+1+d −tj+1 Bj+1,d−1,t (x) , j

    = 1, 2, …, n+d+1

    Với mọi số thực x, trong đó

    (

    Bj,0,t (x) =

    Để đơn giản trong các trường hợp tránh sự nhầm lẫn, ta thường kí hiệu

    spline thứ j bậc d là Bj,d , Bj,t hoặc Bj thay cho Bj,d,t (x). Nếu trong dãy các

    điểm nút t = (tj )n+d+1

    có điểm tj xuất hiện m lần: tj = tj+1 = … = tj+m−1

    j=1

    thì ta nói tj là nút bội m. Dãy t = (tj )n+d+1

    gọi là các điểm nút của n

    j=1

    đường spline.

    19

    Ví dụ 2.1. (B-spline bậc 1)

    x−t

    t

    −x

    Sd,t = span{B1,d , …, Bn,d } = {

    j=1

    thì Sd,t là không gian tuyến tính. Một phần tử f =

    cj Bj,d của Sd,t được

    j=1

    Cụ thể, một phần tử f =

    q

    cj Bj,d của Sd,t

    được gọi là hàm vectơ spline

    hoặc đường cong spline tham số bậc d với điểm nút t, và (cj )nj=1 được gọi

    là hệ số B-spline hoặc điểm điều khiển của f .

    20

    --- Bài cũ hơn ---

  • Irr Là Gì? Cách Tính Chỉ Số Irr Và Mối Quan Hệ Npv Với Irr
  • Phương Pháp Nội Suy Tuyến Tính, Bài Tập Đã Giải / Toán Học
  • Tiểu Luận Một Số Phương Pháp Phân Tích Định Lượng Trong Nghiên Cứu Khoa Học Xã Hội
  • Sự Khác Biệt Giữa Phương Pháp Nghiên Cứu Định Tính Và Phương Pháp Nghiên Cứu Định Lượng
  • Hướng Dẫn Cách Viết Đề Cương Nghiên Cứu Khoa Học Chi Tiết Nhất
  • Bạn đang đọc nội dung bài viết Các Phương Pháp Tựa Nội Suy Spline Và Ứng Dụng trên website Cuocthitainang2010.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!

  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100