Đề Xuất 12/2022 # Sự Khác Nhau Giữa Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp / 2023 # Top 19 Like | Cuocthitainang2010.com

Đề Xuất 12/2022 # Sự Khác Nhau Giữa Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp / 2023 # Top 19 Like

Cập nhật nội dung chi tiết về Sự Khác Nhau Giữa Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp / 2023 mới nhất trên website Cuocthitainang2010.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.

Video bài giảng hay: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Khi nói tới hai khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp rất nhiều bạn học sinh gặp khó khăn ở chỗ này. Việc phân biệt hai khái niệm này là rất mơ hồ vì thế khi làm bài tập nhiều bạn không biết nên áp dụng chỉnh hợp hay tổ hợp. Bài giảng hôm nay thầy sẽ chỉ ra sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp để các bạn có thể hiểu rõ hơn hai khái niệm này. Trước khi đi phân tích sự không giống nhau này chúng ta sẽ cùng nhau xem lại định nghĩa chỉnh hợp và tổ hợp.

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử ($ngeq 1$).

Kết quả của việc lấy $k$ phần tử khác nhau từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Kí hiệu: $A^k_n$ là số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử ($1leq k leq n$).

$A^k_n = frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-k+1)$ (1)

Chú ý:

Với $ k=nRightarrow A^n_n =P_n = n! $. Tức là mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó.

Quy ước: $0! =1$.

2. Định nghĩa tổ hợp

Giả sử tập $A$ có $n$ phần tử ( $n geq 0 $). Mỗi tập con gồm $k$ phần tử của tập $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Kí hiệu: $C^k_n $ là số các tổ hợp chập $k$ của n phần tử ($0 leq k leq n$)

$C^k_n = frac{n!}{k!(n-k)!}$

Chú ý:

Số $k$ trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện ($1 leq k leq n$). Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập $0$ của $n$ phần tử là tập rỗng.

Quy ước: $C^0_n = 1$

$C^k_n = frac{1}{k!}.A^k_n$

*. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:

– Tính chất 1: $C^k_n = C^{n-k}_n$

– Tính chất 2 (công thức Pascal): $C^{k-1}_{n-1} + C^k_{n-1} = C^k_n$

Đó là những lý thuyết cơ bản về chỉnh hợp và tổ hợp. Nhiều bạn học sinh nói rằng em thấy hai khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp sao nó cứ giống giống nhau thế nào ý, làm sao mà phân biệt được khi nào là tổ hợp, khi nào là chỉnh hợp?

– Với khái niệm chỉnh hợp:

Trong $n$ phần tử của tập $A$ ta lấy ra $k$ phần tử. Trong $k$ phần tử lấy ra này ta lại sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó, mỗi cách sắp xếp như vậy cho ta một chỉnh hợp. Chẳng hạn ta lấy ra 3 số là 1; 2; 3 sau đó từ 3 số này ta lại sắp xếp thành các số có 3 chữ số. Như vậy ta có các số là: 123; 132; 213; 231; 312; 321. Các bạn thấy đó với việc thay đổi vị trí ta lại có được các số khác nhau (6 số khác nhau). Mỗi số đó là 1 chỉnh hợp.

– Còn đối với khái niệm tổ hợp:

Chẳng hạn ta lấy ra 3 phần tử là các số 1; 2; 3 sau đó đặt các số này vào các vị trí khác nhau trong tập con, ta sẽ có các tập con đó là:$A = {1; 2; 3}$; $B = {1; 3; 2}$; $C = {2; 1; 3}$; $D = {2; 3; 1}$; $E = {3; 1; 2}$; $F = {3; 2; 1}$. Các bạn sẽ thấy chúng ta có 6 tập con là A; B; C; D; E; F nhưng các phần tử vẫn là 1; 2 và 3. Do vậy 6 tập con trên là bằng nhau, tức chúng chỉ là một. Đó là tổ hợp. (Trong tập hợp người ta không phân biệt vị trí của các phần tử, mà chỉ quan tâm trong tập đó có những phần tử nào.)

Bài tập áp dụng chỉnh hợp và tổ hợp:

a. Trong 4 bạn học sinh, em hãy bầu ra cho thầy 3 bạn để tham gia văn nghệ.

b. Trong 4 bạn học sinh, em hãy bầu ra cho thầy 3 bạn để làm lớp trưởng, lớp phó, bí thư đoàn.

Với bài tập trên thì các bạn sẽ sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp để làm đây?

Hướng dẫn giải: a. Để cho dễ nhận biết thầy sẽ gọi tên 4 bạn là a, b, c, d.

Giả sử thầy sẽ chọn ra 3 bạn có tên là a, b, c đi thi văn nghệ. Thầy sẽ thực hiện như sau:

Chọn người thứ 1: thầy chọn bạn a

Chọn người thứ 2: thầy chọn bạn b

Chọn người thứ 3: thầy chọn bạn c

Như vậy thầy đã chọn được 3 bạn đi thi văn nghệ là a, b và c. Vậy thầy có 1 cách chọn.

Chọn người thứ 1: thầy chọn bạn b

Chọn người thứ 2: thầy chọn bạn c

Chọn người thứ 3: thầy chọn bạn a

Như vậy thầy cũng chọn được 3 bạn đi thi văn nghệ và vẫn là các bạn có tên là a, b, c. Như vậy thầy cũng có 1 cách chọn.

Nhưng các bạn để ý với 2 cách chọn như trên có cho ta 2 kết quả khác nhau hay không?

Không. Chúng ta cũng chỉ có được 1 kết quả duy nhất. Tuy hai cách có khác nhau về vị trí chọn người nhưng cuối cùng 3 bạn cần chọn ra vẫn là 3 bạn có tên là a, b, c và thỏa mãn điều kiện bài toán. Tức là việc chọn này không phân biệt vị trí hay thứ tự. Việc chọn ai trước trong 3 người đó không quan trọng, điều quan trọng là chúng ta chọn ra 3 người đó là ai.

Tới đây chúng ta biết phải sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp chưa? Chắc chắn là tổ hợp rồi.

Việc chọn ra 3 bạn trong 4 bạn để đi thi văn nghệ là ta đã chọn ra 1 tập con gồm 3 người. Mỗi tập con này chính là 1 tổ hợp chập 3 của 4 bạn. Ta có: $C^3_4 = frac{4!}{3!1!} = 4$ cách chọn.

b. Trong 4 bạn học sinh, em hãy bầu ra cho thầy 3 bạn để làm lớp trưởng, lớp phó, bí thư đoàn.

Giả sử thầy sẽ chọn ra 3 bạn có tên là a, b, c để bầu làm Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư. Thầy sẽ thực hiện như sau:

Chọn người thứ 1 ( Lớp trưởng): thầy chọn bạn a

Chọn người thứ 2 ( Lớp phó): thầy chọn bạn b

Chọn người thứ 3 ( Bí thư đoàn): thầy chọn bạn c

Như vậy thầy đã chọn được 3 bạn để làm Lớp trưởng, Lớp phó và Bí thư đoàn là a, b và c. Vậy thầy có 1 cách chọn.

Chọn người thứ 1 ( Lớp trưởng): thầy chọn bạn b

Chọn người thứ 2 ( Lớp phó): thầy chọn bạn c

Chọn người thứ 3 ( Bí thư đoàn): thầy chọn bạn a

Như vậy thầy cũng chọn được 3 bạn để làm Lớp trưởng, Lớp phó và Bí thư đoàn là a, b và c. Như vậy thầy cũng có 1 cách chọn.

Nhưng các bạn để ý với 2 cách chọn như trên có cho ta 2 kết quả khác nhau hay không?

Có chứ. Với hai cách chọn như trên cho ta hai kết quả hoàn toàn khác nhau. Tuy ở hai cách những bạn mà ta chọn ra vẫn có tên là a; b và c nhưng ở mỗi cách chọn thì mỗi bạn lại đảm nhiệm các chức vụ khác nhau (Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư). Dó đó mà ta sẽ được hai kết quả hoàn toàn khác nhau. Vậy mỗi cách chọn như thế cho ta một chỉnh hợp hay tổ hợp đây các bạn? Chắc chắn là một chỉnh hợp rồi.

Việc chọn ra 3 bạn trong 4 bạn để làm Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư sẽ là 1 chỉnh hợp chập 3 của 4 bạn. Ta có: $A^3_4 = frac{4!}{(4-3)!} = frac{4!}{1!} =24$ cách chọn.

4. Lời kết

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp / 2023

Tổ hợp. Mỗi bộ gồm $ k$ phần tử không phân biệt thứ tự được lấy ra từ $ n$ phần tử cho trước được gọi là một tổ hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử. Số tổ hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử được ký hiệu là $ C_{n}^{k}$ và được tính theo công thức  

$ C_{n}^{k}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}.$

  Ví dụ 1.  Một lớp học gồm có 10 học sinh và cần chọn ra 3 bạn để đi lao động đầu năm. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải. Đây là bài toán chọn 3 người trong 10 người, và mỗi bộ ba được chọn không phân biệt thứ tự. Do đó số cách chọn cũng chính là số tổ hợp chập $ 3$ của $ 10$ phần tử

$ C_{10}^{3}=frac{10!}{3!left( 10-3 right)!}=120.$

  Chú ý 1. Giả sử đã chọn được ba bạn là A, B, C. Vì đối với tổ hợp là không phân biệt thứ tự nên các bộ gồm ba phần tử ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA là một, vì thực ra 6 bộ này cũng cùng là một chuyện 3 bạn A, B và C đi lao động mà thôi.   Chỉnh hợp. Mỗi bộ gồm $ k$ phần tử có phân biệt thứ tự được lấy ra từ $ n$ phần tử cho trước được gọi là một chỉnh hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử. Số chỉnh hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử được ký hiệu là $ A_{n}^{k}$ và được tính theo công thức  

$ A_{n}^{k}=frac{n!}{left( n-k right)!}.$

  Ví dụ 2. Một lớp học có 10 học sinh và cần chọn ra 3 bạn để bầu ban cán sự lớp: lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Hỏi có bao nhiêu cách ?

 Giải. Đây là bài toán chọn 3 người trong 10 người, và khi đã chọn xong rồi ta lại bầu 3 bạn được chọn này vào 3 vị trí cán sự khác nhau. Như vậy các bộ ba này là các bộ ba có phân biệt thứ tự. Do đó số cách chọn chính là số chỉnh hợp chập $ 3$ của $ 10$ phần tử

$ A_{10}^{3}=frac{10!}{left( 10-3 right)!}=720.$

  Chú ý 2. Giả sử đã chọn được ba bạn là A, B, C. Nhưng nhớ rằng 6 trường hợp sau đây là hoàn toàn khác nhau  

Điều này làm nên sự khác biệt ở hai kết quả của Ví dụ 1 và Ví dụ 2.   Chú ý 3. Như vậy chỉnh hợp và tổ hợp giống nhau ở chỗ cùng là các bộ gồm $ k$ phần tử được chọn ra từ $ n$ phần thử cho trước. Tuy nhiên, điểm khác nhau ở đây là tổ hợp là các bộ không phân biệt thứ tự, còn chỉnh hợp là các bộ có phân biệt thứ tự. Theo định nghĩa ta có

$ frac{A_{n}^{k}}{C_{n}^{k}}=k!$

  Như vậy số chỉnh hợp nhiều hơn số tổ hợp $ k!$ lần.   Bài toán lựa chọn. Một lô hàng có $ N$ sản phẩm, trong đó có $ {{N}_{A}}$ sản phẩm loại $ A$. Ta rút ngẫu nhiên từ lô hàng $ n$ sản phẩm. Yêu cầu đặt ra là trong $ n$ sản phẩm được rút ra có đúng $ k$ sản phẩm loại $ A$. Có bao nhiêu cách rút thỏa mãn yêu cầu ?  

Giải. Từ giả thiết suy ra trong lô hàng có $ N-{{N}_{A}}$ sản phẩm loại khác và số sản phẩm loại khác được rút ra là $ n-k$ sản phẩm.

Bước 1: Rút $ k$ sản phẩm từ $ {{N}_{A}}$ sản phẩm loại $ A$: có $ C_{{{N}_{A}}}^{k}$ cách rút;

Bước 2: Sau khi đã thực hiện bước 1, ta rút $ n-k$ sản phẩm trong $ N-{{N}_{A}}$ sản phẩm loại khác: có $ C_{N-{{N}_{A}}}^{n-k}$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có $ C_{{{N}_{A}}}^{k}C_{N-{{N}_{A}}}^{n-k}$ cách rút thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  Ví dụ 3. Một hộp gồm có 10 viên bi, trong đó có 6 bi đỏ và 4 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp 3 bi sao cho có đúng 2 bi đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách rút như vậy ?

Giải. Ta áp dụng bài toán lựa chọn cho $ N=10,{{N}_{A}}=6,n=3,k=2,$ ta được số cách rút là $ C_{6}^{2}C_{4}^{1}=60$.

  Hai tính chất của tổ hợp

$ begin{array}{l}left( i right),,,,C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k};\left( ii right),,,C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}.end{array}$

Chứng minh. Ta có

$ C_{n}^{n-k}=frac{n!}{left( n-k right)!left[ n-left( n-k right) right]!}=frac{n!}{left( n-k right)!k!}=C_{n}^{k}.$ 

Như vậy ta đã có $ left( i right).$ Biến đổi vế trái của $ left( ii right)$, ta cũng có

$ begin{array}{l}C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}+frac{n!}{left( k+1 right)!left( n-k-1 right)!}\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=frac{n!left( k+1 right)+n!left( n-k right)}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}=frac{n!left( n+1 right)}{left( k+1 right)!left( n-k+1 right)!}\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=frac{left( n+1 right)!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}=C_{n+1}^{k+1}.end{array}$$

 Vậy ta đã có $ left( ii right)$.

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp: Công Thức Và Các Dạng Chi Tiết / 2023

Ở trên ta đã có định nghĩa của một hoán vị. Vậy câu hỏi tự nhiên đặt ra là có bao nhiêu hoán vị? Chúng ta có thể dễ dàng trả lời câu hỏi đó bằng cách áp dụng quy tắc nhân.

Giả sử ta có n vị trí đánh số từ 1 tới n. Để được 1 hoán vị của n phần tử đã cho, ta xếp từng phần tử lần lượt vào các vị trí từ 1 đến n. Xếp vào vị trí thứ 1 có n cách. Xếp vào vị trí thứ 2 có n-1 cách (vì 1 phần tử đã xếp vào vị trí thứ 1 rồi). Cứ như vậy đến hết. Vậy số hoán vị của n phần tử đã cho là

Xét ví dụ sau: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện đúng một lần, chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, chữ số 3 xuất hiện đúng 2 lần, chữ số 4 xuất hiện đúng 3 lần?

Khi đó số 122233444 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nếu ở số trên mà ta hoán vị 2 chữ số 3 chẳng hạn thì số không đổi. Do đó vẫn là 1 số thỏa mãn yêu cầu bài toán mà thôi. Dạng bài toán tương tự như ví dụ trên gọi là hoán vị lặp.

Vậy đếm số hoán vị lặp như thế nào?

Giả sử một tập hợp có k phần tử được đánh số từ 1 đến k. Một cách sắp xếp k phần tử đó sao cho phần tử thứ i (1≤i≤k) xuất hiện n(i) lần và n(1)+n(2)+…+n(k)=n được gọi là một hoán vị lặp của k phần tử. Số hoán vị lặp là

Ví dụ ta có tập hợp 7 viên ngọc rồng đánh số từ 1 đến 7. Một tổ hợp chập 3 của 7 được minh họa như hình.

Để dễ dàng phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ta quay lại ví dụ 7 viên ngọc rồng ở phần trên. Ở đây lấy ra 3 viên ngọc và sắp theo thứ tự từ trái qua phải. Một chỉnh hợp chập 3 của 7 được minh họa như hình.

Số chỉnh hợp chập k của n: Để đếm số tổ hợp chập k của n ta giả sử có k vị trí đánh số từ 1 đến k. Lấy lần lượt các phần tử xếp vào các vị trí. Mỗi vị trí 1 phần tử ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Lấy một phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách. Lấy tiếp 1 phần tử xếp vào vị trí số 2 có n-1 cách…cứ như vậy đến phần tử thứ k có n-k+1 cách. Vậy số chỉnh hợp chập k của n là

Theo các định nghĩa bên trên ta có thể thấy tổ hợp chỉnh hợp hoán vị có mối liên hệ với nhau. Cụ thể một chỉnh hợp chập k của n được tạo thành bằng cách thực hiện 2 bước. Bước 1 là lấy 1 tổ hợp chập k của n phần tử. Bước 2 là hoán vị k phần tử đó. Vì vậy ta có công thức liên hệ giữa chỉnh hợp tổ hợp hoán vị như sau:

Phân Biệt &Amp; Cách Sử Dụng Tổ Hợp, Chỉnh Hợp Trong Toán Lớp 11 / 2023

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A, sắp xếp chúng theo 1 thứ tự nào đó được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu chỉnh hợp: A kn là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1≤ k ≤ n )

A kn = n! / (n−k)! = n.(n−1).(n−2).(n−3)… / (n−k ).(n – k – 1).(n – k – 2)….

Với k = n ⇒ A nn = Pn = n! Tức là 1 hoán vị của n phần tử cũng chính là 1 chỉnh hợp hợp chập n của n phần tử đó.

Quy ước chỉnh hợp: 0! = 1

Tập A có n phần tử ( n ≥ 0, k ≥ 0). Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu như sau: C kn: Là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n )

Số k ở trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện (1 ≤ k ≤ n ). Tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng vì vậy ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

Sự khác nhau giữa Chỉnh hợp và Tổ hợp

Về khái niệm của Chỉnh hợp:

Ta lấy ra k phần tử trong n phần tử của tập A. Từ k phần tử lấy ra ta sắp xếp chúng theo 1 thứ tự nào đó, mỗi cách sắp xếp như vậy ta được 1 chỉnh hợp.

Ví dụ: Ta lấy ra 3 số là 1; 2; 3, từ 3 số này ta lại sắp xếp thành các số có 3 chữ số. Kết quả là ta có là: 123; 231; 132; 213; 312; 321. Với việc thay đổi vị trí ta lại có được các số khác nhau và mỗi số đó là 1 chỉnh hợp.

Về khái niệm Tổ hợp:

Lấy ra tập hợp con gồm k phần từ trong n phần tử của tập A. Trong khái niệm tập hợp thì ra không phân biệt vị trí và thứ tự của những phần tử trong đó, ta chỉ quan tâm xem trong tập đó có bao nhiêu phần tử thôi. Mỗi khi lấy ra 1 tập hợp con gồm k phần tử sẽ cho ta 1 tổ hợp.

Cũng ví dụ trên:

Ta lấy ra 3 phần tử là các số 1; 2; 3, ta đặt các số này vào những vị trí khác nhau trong tập con, chúng ta sẽ có các tập con sau:

A = {1;2;3}; B = {1;3;2}; C = {2;1;3}; D = {2;3;1}; E = {3;1;2}; F = {3;2;1}

Đặt các số vào những vị trí khác nhau ta được các tập con khác nhau. Như ví dụ trên chúng ta có 6 tập con gồm A; B; C; D; E; F nhưng vẫn là các phần tử là 1; 2 và 3. Vì thế 6 tập con trên bằng nhau, tức là chúng chỉ là một và đó là tổ hợp. Trong tập hợp thì không phân biệt vị trí của những phần tử mà chỉ quan tâm trong tập đó gồm những phần tử nào, còn chỉnh hợp phân biệt cả vị trí và thứ tự. Vì vậy, các bạn sẽ thấy số chỉnh hợp bao giờ cũng nhiều hơn số tổ hợp.

Với những chia sẻ ở trên, Gia Sư Việt hi vọng các em phân biệt được khái niệm giữa tổ hợp và chỉnh hợp để áp dụng làm bài tập chính xác nhất. Ngoài ra, nếu học sinh chưa hiểu rõ hoặc cần gia sư Toán tại nhàbổ trợ thêm, phụ huynh có thể liên hệ với chúng tôi để được tư vấn chi tiết. Trung tâm cam kết quý vị không phải trả bất kỳ khoản chi phí nào và có lựa chọn hài lòng nhất cho con em mình !

♦ Kinh nghiệm tìm gia sư môn Sinh lớp 11 cho con ôn thi khối B

♦ Cách học tốt chương định luật Cu lông trong môn Vật lý lớp 11

Bạn đang đọc nội dung bài viết Sự Khác Nhau Giữa Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp / 2023 trên website Cuocthitainang2010.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!