Phương Pháp Uct Cho Hệ Phương Trình

--- Bài mới hơn ---

  • Nâng Cơ, Trẻ Hóa Không Phẫu Thuật
  • Công Nghệ Ultherapy: Nâng Cơ Mặt & Trẻ Hóa Da 2 In 1
  • Địa Chỉ Nâng Cơ Trẻ Hóa Ultherapy Được Sao Việt Yêu Thích
  • Tạo Sao Ultherapy Chống Lão Hóa An Toàn Và Hiệu Quả?
  • Vì Sao Trẻ Hóa Da, Nâng Cơ Mặt Bằng Ultherapy Được Nhiều Người Lựa Chọn?
  • Phương pháp UCT cho hệ phương trình

    Đây là hệ gồm hai tam thức bậc hai. Khi đó tất nhiên ta phải

    nghĩ tới $Delta $. Một tam thức có phân tích được nhân tử hay không phải xem

    $Delta x$ hoặc $Delta y$ có chính phương hay không. Nếu một trong 2 pt cho

    $Delta x$ hoặc $Delta y$ chính phương thì dễ dàng rồi, khi đó tìm nghiệm rồi

    phân tích nhân tử là ra được mối quan hệ giữa $x;y$ và thế vào pt còn lại thôi!

    Thế nhưng nếu cả 2 pt đều cho $Delta x;y$ không chính phương thì ta làm như

    nào? Khi đó phải dùng đến phương pháp $UCT$ – một công cụ rất mạnh gần như quét

    sạch tất cả các bài HPT. Ta sẽ chọn hằng số thích hợp nhân vào một pt sau đó cộng

    (trừ) với pt còn lại và ép cho $Delta $ chính phương.

    Tức là tìm $k$ sao cho $Delta $ của

    $left(PT(1)+k.PT(2)right)$ chính phương (là có thể phân tích thành nhân tử).

    Ví dụ 1:

    Giải hpt:

    $left{begin{matrix}14x^2-21y^2-6x+45y-14=0  &  & \

    35x^2+28y^2+41x-122y+56=0  &  &

     end{matrix}right.$

    Phần nháp:

    Ta thấy $a=14+35k$; $b=-21+28k$; $c=0$; $d=-6+41k$; $e=45-122k$; $f=-14+56k$.

    Số $k$ sẽ là nghiệm của pt:

    $$0+4(14+35k)(-21+28k)(-14+56k)=(14+35k)(45-122k)^2+(-21+28k)(-6+41k)^2$$

    $$Leftrightarrow k=frac{-15}{49}$$

    Như vậy ta sẽ lấy $PT(1)-frac{15}{49}PT(2)$ hay

    $49PT(1)-15PT(2)$

    Lời giải:

    Có: $49PT(1)-15PT(2)=…$

    $Leftrightarrow (161x-483y+218)(x+3y-7)=0$ (Tính $Delta x$  hoặc $Delta

    y$ sẽ phân tích được nhân tử)

    Tới đây dễ dàng tìm ra nghiệm của hpt là $(x;y)=(-2;3);(1;2)$. $blacksquare $

    Bài tập:

    Giải hpt:

    $228)$

    $left{begin{matrix}x^2+8y^2-6xy+x-3y-624=0  &  & \

    21x^2-24y^2-30xy-83x+49y+585=0  &  &

     end{matrix}right.$

    $229)$

    $left{begin{matrix}x^2+y^2-3x+4y=1  &  & \

    3x^2-2y^2-9x-8y=3  &  &  end{matrix}right.$

    $230)$

    $left{begin{matrix}y^2=(4x+4)(4-x)  &  & \

    y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0  &  &

     end{matrix}right.$

    $231)$ $left{begin{matrix}xy-3x-2y=16  &

     & \ x^2+y^2-2x-4y=33  &  &

     end{matrix}right.$

    $232)$ $left{begin{matrix}x^2+xy+y^2=3  &

     & \ x^2+2xy-7x-5y+9=0  &  &

     end{matrix}right.$

    $233)$

    $left{begin{matrix}(2x+1)^2+y^2+y=2x+3  &  & \

    xy+x=-1  &  &  end{matrix}right.$

    $234)$

    $left{begin{matrix}x^2+2y^2=2y-2xy+1  &  & \

    3x^2+2xy-y^2=2x-y+5  &  &  end{matrix}right.$

    $235)$

    $left{begin{matrix}(x-1)^2+6(x-1)y+4y^2=20  &  & \

    x^2+(2y+1)^2=2  &  &  end{matrix}right.$

    $236)$ $left{begin{matrix}2x^2+4xy+2y^2+3x+3y-2=0  &

     & \ x^2+y^2+4xy+2y=0  &  &

     end{matrix}right.$

    $237)$ $left{begin{matrix}2x^2+3xy=3y-13  &

     & \ 3y^2+2xy=2x+11  &  &

     end{matrix}right.$

    $238)$ $left{begin{matrix}4x^2+3y(x-1)=7  &

     & \ 3y^2+4x(y-1)=3  &  &  end{matrix}right.$

    $239)$ $left{begin{matrix}x^2+2=x(y-1)  &

     & \ y^2-7=y(x-1)  &  &

     end{matrix}right.$

    $240)$

    $left{begin{matrix}x^2+2xy+2y^2+3x=0  &  & \

    xy+y^2+3y+1=0  &  &  end{matrix}right.$

    Ví dụ 2:

    Giải hpt: $left{begin{matrix}x^3-y^3=35 & &

    \ 2x^2+3y^2=4x-9y & & end{matrix}right.$

    Lời giải:

    Có: $PT(1)-3PT(2)=…$

    $Leftrightarrow (x-2)^3=(y+2)^3$

    $Leftrightarrow x=y+5$

    Thay vào $PT(2)$ ta dễ dàng tìm ra nghiệm

    $(x;y)=(2;-3);(3;-2)$ $blacksquare $

    Phân tích lời giải:

    Bài này không giống dạng TQ, vậy ta đã thực hiện UCT như

    nào?

    Đánh giá:

    – Bậc của $x;y$ như nhau

    – $PT(1)$ có bậc cao hơn $PT(2)$

    Vậy ta sẽ nhân hằng số vào $PT(2)$ để $PT(1)+a.PT(2)$ đưa được

    về dạng $A^3=B^3$.

    Ta thực hiện:

    $PT(1)+a.PT(2)=x^3-y^3-35+2ax^2+3ay^2-4ax+9ay$ 

    Cần tìm $a$ sao cho vế trái có dạng $$(x+alpha )^3-(y+beta

    )^3=0$$

    $$Leftrightarrow x^3+3x^2alpha +3xalpha

    ^2+alpha^3-y^3-3y^2beta -3ybeta ^2-beta ^3=0$$ 

    Cân bằng bậc ta được: $left{begin{matrix}alpha ^3-beta

    ^3=-35  &  & \ 3alpha =2a  &  &

    \ 3alpha ^2=-4a end{matrix}right.Leftrightarrow

    left{begin{matrix}a=-3  &  & \

    alpha=-2  &  & \ beta=3 end{matrix}right.$

    Vậy ta sẽ lấy $PT(1)-3PT(2)$ …

    Bài tập:

    $241)$ Giải hpt: $left{begin{matrix}x^3+y^3=91 &

    & \ 4x^2+3y^2=16x+9y & & end{matrix}right.$

    --- Bài cũ hơn ---

  • Uống Rượu Không Say
  • Căng Da Mặt Bằng Chỉ Ultra V Lift, Bí Quyết Trẻ Hóa Dành Cho Hội Chị Em
  • Đến Gần Hơn Với Công Nghệ Căng Da, Nâng Cơ Tạo Hình Khuôn Mặt
  • Quy Trình Thiết Kế Gia Công Kim Loại Tấm
  • Gia Công Kim Loại Tấm / Gia Công Kim Loại Tấm
  • Giải Pháp Của Ma Trận Bằng Phương Pháp Gauss Jordan. Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Bằng Phương Pháp Gauss

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Đơn Giản Để Giải Zlp. Phương Pháp Gauss
  • 8 Bí Quyết Chinh Phục Và Phương Pháp Học Tốt Môn Ngữ Văn
  • Phương Pháp Học Anh Văn Hiệu Quả Nhất
  • Phương Pháp Học Anh Văn Giao Tiếp Hiệu Quả Thông Qua Bài Hát
  • ✅ Phương Pháp Học Autocad Hiệu Quả ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️
  • Chủ đề 7 “CÁC HỆ THỐNG THIẾT BỊ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH. PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN. “

    (Kỷ luật học tập “Giới thiệu về Đại số tuyến tính và Hình học Giải tích”)

    CÁC HỆ THỐNG THIẾT BỊ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH. PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN. Các khái niệm cơ bản

    Một phương trình với n biến được gọi là tuyến tínhnếu tất cả các biến ( x 1 , x 2 , … x n ) được đưa vào nó ở mức độ 1. Dạng tổng quát của một phương trình như vậy được viết chính thức như sau:

    =b.

    Bằng cách giải phương trình tuyến tính (*),,…,) giá trị của các biến, khi được thay thế vào phương trình (tức là khi x j được thay bằng với tất cả jtừ 1do n biến nó thành bản sắc. Chúng tôi nhấn mạnh rằng nghiệm của một phương trình có n biến luôn là một bộ n số và mỗi bộ n số như vậy là một điều phán quyết. Rõ ràng, nếu ít nhất một hệ số của các biến không bằng 0 thì phương trình (*) có nghiệm. Nếu không, nghiệm chỉ tồn tại với b u003d 0 và đây là tất cả các bộ n số tùy ý.

    Xét đồng thời m phương trình có dạng (*), tức là hệ thốngm phương trình đại số tuyến tính vớin biến… Cho mỗi phương trình thứ i, i u003d 1,2,…, m, được cho bởi các hệ số của các biến a i 1, a i 2,…, a in và một số hạng tự do b i, tức là có hình thức

    Khi đó, ở dạng tổng quát, hệ gồm m phương trình đại số tuyến tính với n biến có thể được viết dưới dạng:

    ………………………………………………………………………………

    …………………………………………………

    hoặc, giống nhau,

    =b tôi , tôi = 1,…, m.

    Nếu tất cả các số hạng tự do đều bằng 0, thì hệ thống (1) được gọi là đồng nhất, I E. có hình thức

    = 0,tôi = 1,…, m, (1 0 )

    nếu không thì – không đồng nhất… Hệ thống (1 0 ) là một trường hợp đặc biệt của hệ thống chung (1) .

    Bằng cách giải hệ phương trình (1) được gọi là một tập hợp có thứ tự ( ,,…,) giá trị của các biến, khi được thay thế vào các phương trình của hệ (1) (tức là khi x j được thay bằng , j u003d 1,…, n) tất cả chuyển đổi các phương trình này thành danh tính, tức là

    u003d b i với mọi i u003d 1,…, m.

    Hệ phương trình (1) được gọi là chung,nếu cô ấy có ít nhất một giải pháp. Nếu không, hệ thống được gọi là không nhất quán.

    Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình (1) sẽ được gọi là nhiều giải pháp của nó và ký hiệu X b (X 0 nếu hệ là thuần nhất). Nếu hệ thống không nhất quán, thì X b u003d .

    Nhiệm vụ chính của lý thuyết về hệ phương trình đại số tuyến tính là tìm xem liệu hệ (1) có nhất quán hay không và nếu có thì mô tả tập hợp tất cả các nghiệm của nó. Có những phương pháp phân tích các hệ thống như vậy cho phép bạn mô tả tập hợp tất cả các giải pháp trong trường hợp các hệ thống chung hoặc để đảm bảo rằng chúng không tương thích với nhau. Một phương pháp phổ biến như vậy là phương pháp loại bỏ hoàn toàn tuần tự các ẩn số hoặc phương phápGauss – Jordanmà chúng ta sẽ nghiên cứu chi tiết.

    Trước khi tiếp tục mô tả phương pháp Gauss – Jordan, chúng tôi trình bày một số định nghĩa và phát biểu hữu ích cho những gì sau đây.

    Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu họ có cùng một tập hợp các giải pháp. Nói cách khác, mọi giải pháp cho hệ thống này là giải pháp cho hệ thống khác và ngược lại. Tất cả các hệ thống không tương thích được coi là tương đương.

    Các định nghĩa về sự tương đương và tập nghiệm của các hệ có dạng (1) ngay lập tức hàm ý tính đúng đắn của các khẳng định sau đây, mà chúng ta xây dựng thành một định lý.

    Định lý 1.Nếu hệ (1) chứa một phương trình với sốk, 1k m, như vậy màa kj = 0 jsau đó

    Tính hợp lệ của các khẳng định của định lý trở nên hiển nhiên nếu chúng ta nhận thấy rằng phương trình thứ k có dạng

    Định lý 2.Nếu ta thêm vào một phương trình của hệ (1) một phương trình khác cùng hệ, nhân với một số bất kỳ, thì ta được một hệ phương trình tương đương với hệ ban đầu.

    Chứng cớ. Ví dụ, chúng ta hãy nhân phương trình thứ hai của hệ (1) với một số và thêm nó vào phương trình đầu tiên. Kết quả của phép biến đổi này, chúng ta thu được hệ (1 ‘), trong đó tất cả các phương trình, bắt đầu từ phương trình thứ hai, không thay đổi và phương trình thứ nhất có dạng sau

    = b 1 + b 2 .

    Rõ ràng, nếu một số bộ ( ,,…,) của các giá trị của biến biến tất cả các phương trình của hệ (1) thành đồng nhất, sau đó nó biến tất cả các phương trình của hệ (1 ‘) thành đồng nhất. Ngược lại, nghiệm (x ‘1, x’ 2,…, x ‘j,…, x’ n) của hệ (1 ‘) cũng là nghiệm của hệ (1), vì hệ (1) nhận được từ hệ (1’) sử dụng một phép biến đổi tương tự, khi phương trình thứ hai của hệ (1 ‘) được thêm vào phương trình thứ nhất của hệ (1’), nhân với số (- ).

    Phát biểu sau đây được chứng minh theo cách tương tự.

    Định lý 2 ‘. Phép nhân một phương trình tùy ý của hệ (1) với bất kỳ số nào khác 0 biến hệ (1) thành một hệ phương trình tương đương.

    Định lý 2 và 2 ‘cho hai loại biến đổi, hệ thống nào (1) đã phải chịu, trong khi vẫn còn tương đương:

    và) phép nhân (hoặc chia) một phương trình tùy ý của hệ (1) với bất kỳ số nào khác 0;

    b) cộng (hoặc trừ) với một phương trình của một phương trình khác, nhân với một số.

    Các phép biến đổi a) và b) như vậy được gọi là biến đổi cơ bản hệ phương trình (1).

    Nếu các phép biến đổi cơ bản được áp dụng cho hệ phương trình (1) nhiều lần, thì hệ quả hiển nhiên cũng sẽ tương đương với hệ phương trình ban đầu.

    Hệ phương trình (1) có thể được viết dưới dạng bảng:

    Một bảng số hình chữ nhật bao gồm các hệ số a ij cho các ẩn số của hệ (1) được gọi là ma trận hệ thống (1) và được ký hiệu là A (nó chứa m hàng và n cột), cột các thành viên tự do được ký hiệu là b. Một bảng hình chữ nhật bao gồm các hệ số a ij cho các ẩn số và từ một cột các số hạng tự do b của hệ thống (1) được gọi là ma trận mở rộnghệ thống (1) và được ký hiệu là (nó chứa m hàng và (n + 1) cột), tức là u003d (A, b). Trong hàng thứ i của ma trận chứa tất cả nổi danh các tham số đặc trưng cho phương trình thứ i của hệ (1), i u003d 1,…, m. Cột thứ j của ma trận A chứa tất cả các hệ số của x j chưa biết xảy ra trong hệ (1).

    Các số a ij được gọi là yếu tố ma trận A. Phần tử a ij nằm ở hàng thứ i và trong cột thứ j của ma trận A. Thông thường người ta nói rằng phần tử a ij là ở ngã tưtôi – dòng oh vàj – cột thứ của ma trậnA. Nếu tất cả các phần tử của một hàng (cột) của ma trận A (trừ một) đều bằng 0 và một phần tử khác không bằng một, thì một hàng (cột) như vậy được gọi là Độc thân (Độc thân).

    Các phép biến đổi cơ bản sau đây của bảng (2) tương ứng với các phép biến đổi cơ bản của hệ (1):

    và) phép nhân (hoặc chia) tất cả các phần tử của một hàng tùy ý trong bảng (2) với bất kỳ số nào khác 0,

    b) cộng (hoặc trừ) với một dòng (từng phần tử) của dòng khác, nhân với một số.

    Phương pháp loại bỏ hoàn toàn tuần tự các ẩn số (Phương pháp Gauss-Jordan)

    Kết quả của bất kỳ biến đổi cơ bản nào, chúng tôi nhận được bàn mới, trong đó thay vì dòng mà họ đã thêm vào (hoặc nhân với bất kỳ số nào khác 0), hãy viếtdòng mớivà các dòng còn lại (kể cả dòng đã được thêm vào) được viết không thay đổi… Bảng mới tương ứng với hệ phương trình, hệ thống ban đầu tương đương.

    Áp dụng các phép biến đổi cơ bản, bảng (2) và theo đó, hệ thống (1) có thể được đơn giản hóa để việc giải hệ ban đầu trở nên dễ dàng. Phương pháp được đề xuất dựa trên điều này.

    Phương pháp loại bỏ hoàn toàn liên tiếp các ẩn số, hoặc phương pháp Gauss-Jordan, là một phương pháp phổ biến để phân tích bất kỳ hệ phương trình đại số tuyến tính nào (chưa được biết trước, tương thích hay không tương thích). Nó cho phép bạn giải quyết các hệ thống chung hoặc xác minh tính không nhất quán của các hệ thống không nhất quán.

    Lưu ý sự khác biệt cơ bản giữa phương pháp được đề xuất để giải hệ phương trình đại số tuyến tính so với phương pháp giải một phương trình bậc hai chuẩn. Nó được giải bằng cách sử dụng các công thức nổi tiếng, trong đó các ẩn số được biểu diễn thông qua các hệ số của phương trình. Trong trường hợp hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát, chúng ta không có công thức nào như vậy và sử dụng để tìm nghiệm phương pháp lặp lại, hoặc là phương pháp lặp lại, hoặc là phương pháp lặp lại… Các phương pháp như vậy không xác định công thức, mà là một chuỗi các hành động.

    Phương pháp Gauss – Jordan là một triển khai tuần tự của chuỗi các bước lớn cùng loại (hoặcsự lặp lại). Phương pháp lặp cụ thể này là một trong nhiều phương pháp lặp được đề xuất bởi cho nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính dạng (1). Nó bao gồm giai đoạn đầu, giai đoạn chính và giai đoạn cuối cùng… Giai đoạn chính chứa lặp đi lặp lại lần lặp là tập hợp các hành động cùng kiểu.

    Giai đoạn đầu tiên bao gồm việc xây dựng bảng I (0) của biểu mẫu (2) và sự lựa chọn trong đó yếu tố hàng đầu– bất kỳ nonzero nàohệ số cho các biến từ bảng (2). Cột và hàng tại giao điểm đặt trụ được gọi là dẫn đầu… (Cho phần tử a i 0 j 0 được chọn. Khi đó i 0 là hàng đầu, j 0 là cột đứng đầu.) Chuyển đến màn hình chính. Lưu ý rằng trục xoay thường được gọi là dễ dãi.

      Chuyển đổi cột hàng đầu (tức là cột chứa phần tử tổng hợp) thành đơn vịvới 1 ở vị trí của trục bằng cách tuần tự trừ đi hàng đầu (tức là hàng chứa phần tử đứng đầu) nhân với một số số từ các hàng còn lại trong bảng. Chinh no hàng đầu được chuyển đổi bằng cách chia nó thành phần tử bởi trục quay.

      Một bảng mới I (k) được viết, (k là số lặp), trong đó tất cả các cột từng dẫn đầu đều là cột duy nhất.

      Kiểm tra xem có thể chọn trong bảng I (k) hay không phần tử hàng đầu (phân giải) mới.Theo định nghĩa thì nó là bất kỳ phần tử nào khác không nằm ở giao điểm của một hàng và một cột vẫn còn.

    Sân khấu chính gồm các dãy lặp cùng kiểu với các số k u003d 1, 2,…. Hãy để chúng tôi mô tả chi tiết các bước lặp của phương pháp Gauss – Jordan.

    Khi bắt đầu mỗi lần lặp, một bảng I nhất định có dạng (2) được biết đến; phần tử đứng đầu (phân giải) và theo đó, cột đứng đầu và hàng đứng đầu được chọn trong đó. Ngoài ra, có thông tin về những hàng và cột đã từng ở dẫn đầu. (Vì vậy, ví dụ: sau giai đoạn đầu, tức là ở lần lặp 1, I (0) đã biết, phần tử đứng đầu (phân giải) a i 0 j 0 và i 0 là hàng đầu, j 0 là cột dẫn đầu.)

    Nếu lựa chọn như vậy là có thể, thì cột và hàng, tại giao điểm có phần tử đứng đầu (cho phép), được gọi là dẫn đầu… Sau đó, phép lặp được lặp lại với một bảng mới I (k), tức là các bước từ 1 đến 3 được lặp lại với một bảng I (k) mới. Trong trường hợp này, một bảng mới I (k +1) được xây dựng.

    Nếu không thể chọn một phần tử tổng hợp mới, sau đó tiến hành bước cuối cùng.

    Giai đoạn cuối cùng. Để thực hiện r lặp lại, thu được bảng I (r), bao gồm ma trận các hệ số cho các biến A (r) và một cột các số hạng tự do b (r), và trong đó không thể chọn một trục mới, tức là phương pháp đã dừng… Lưu ý rằng phương pháp bắt buộco sẽ dừng lại cho số bước hữu hạn từ r không được lớn hơn min (m, n).

    Các tùy chọn để dừng phương pháp là gì? Ý bạn là gì “không thể chọn một trục mới”? Điều này có nghĩa là sau lần lặp thứ r trong ma trận A (r) của một hệ thống mới tương đương với hệ thống (1),

    a) tất cả các dòng A (r) đều dẫn đầu, tức là mỗi dòng chứa một và chính xác một đơn vị, không còn đứng ở dòng nào khác,

    b) có các chuỗi trong A (r), chỉ bao gồm các số không.

    Hãy xem xét các tùy chọn này.

    a) Trong trường hợp này r u003d m, m n. Bằng cách sắp xếp lại các hàng và đánh số lại các biến (tức là sắp xếp lại các cột), chúng ta có thể biểu diễn bảng I (r) là

    Chúng tôi nhấn mạnh rằng trong bảng (3) mỗi biến có số i không vượt quá r chỉ xảy ra trong một hàng. Bảng (3) tương ứng với một hệ phương trình tuyến tính có dạng

    x 1 +

    u003d b (r) 1,

    x 2 +

    u003d b (r) 2,

    ………………………, (4)

    x r +

    u003d b (r) r,

    trong đó mỗi biến với số i, không cao cấpr, được biểu diễn duy nhất dưới dạng các biến x r + 1,…, x n, các hệ số của ma trận a (r) ij, j u003d r + 1,…, n và số hạng tự do b (r) i được trình bày trong bảng (3). Trên các biến x r +1 , … , x n không chồng chéo không hạn chế, I E. họ đang có thể nhận bất kỳ giá trị nào. Do đó, một giải pháp tùy ý cho hệ thống được mô tả bởi bảng (3), hoặc, tương tự, một giải pháp tùy ý cho hệ thống (4), hoặc, tương tự, một nghiệm tùy ý cho hệ thống (1) có dạng

    x i u003d b (r) i – a (r) ij x j, i u003d 1,…, r u003d m; x j – bất kỳ với j u003d (r + 1),…, n. (số năm)

    Sau đó, tập hợp các giải pháp cho hệ thống (1) có thể được viết dưới dạng

    X b u003d (x u003d (x 1, …, x n): x i u003d b (r) i – a (r) ij x j với i u003d 1,…, r u003d m; x j – bất kỳ với j u003d (r + 1),…, n.).

    Nếu b (r) k tương ứng bằng 0, thì phương trình thứ k là thừa và có thể bị loại bỏ. Loại bỏ tất cả các phương trình như vậy, chúng ta thấy rằng hệ (1) tương đương với hệ từ r phương trình với n biến, được viết sau r bước bằng bảng có dạng (3), trong đó tất cả các hàng đều đứng đầu. Như vậy, chúng ta đã đến trường hợp a) đã xét ở trên và có thể viết ra một nghiệm ở dạng (5).

    Phương pháp Gauss – Jordan được mô tả đầy đủ. Mỗi số lần lặp lại hữu hạn hệ phương trình đại số tuyến tính sẽ được giải (nếu nó tương thích) hoặc hiển nhiên là nó không tương thích (nếu nó thực sự không tương thích).

    Các biến tương ứng với các phần tử đứng đầu (cho phép)hoặc đứng trong các cột đầu tiên, theo thói quen gọi căn bảnvà phần còn lại của các biến là miễn phí.

    1) Khi chúng ta bắt đầu giải một hệ thống bằng phương pháp Gauss-Jordan, chúng ta có thể không biết liệu hệ thống này có nhất quán hay không. Phương pháp Gauss – Jordan cho một số lần lặp hữu hạn r sẽ trả lời câu hỏi này. Trong trường hợp là một hệ thống chung, giải pháp chung của hệ thống ban đầu được viết ra trên cơ sở của bảng cuối cùng. Trong trường hợp này số lượng biến cơ bản nhất thiết phải bằng số r của lần lặp cuối cùng, tức là số lần lặp được thực hiện. Số r luôn không vượt quá min (m, n), với m là số phương trình trong hệ, và n số lượng biến hệ thống. Nếu r< n, sau đó (n r) bằng số biến tự do.

    2) Khi ghi lại một quyết định chung không cần thiết đánh số lại các biến như đã làm để dễ hiểu khi mô tả Giai đoạn cuối cùng. Đây là để hiểu rõ hơn.

    3) Khi giải hệ (1) bằng phương pháp Gauss – Jordan căn bản các biến sẽ chỉ là các biến tương ứng với các cột mà tại một số lần lặp lại hoạt động như dẫn đầu và ngược lại, nếu tại một số lần lặp, cột đóng vai trò là cột đứng đầu, thì biến tương ứng nhất thiết sẽ nằm trong số các biến cơ bản.

    4) Nếu nghiệm tổng quát của hệ (1) chứa ít nhất một biến tự do, thì hệ này có vô số nghiệm riêng nhưng nếu không có biến tự do thì hệ có nghiệm duy nhất trùng với nghiệm chung.

    5) Các phần tử hàng đầu có thể được chọn trong mỗi lần lặp theo một cách khác nhau. Điều quan trọng duy nhất là đây là các hệ số khác không ở giao điểm của một hàng và một cột, mà trước đây không đứng đầu. Nhiều lựa chọn các yếu tố hàng đầu có thể cho các mục khác nhau nhiều giải pháp. Nhưng, bản thân tập hợp các giải pháp là giống nhau cho bất kỳ bản ghi nào.

    Hãy để chúng tôi giải thích phương pháp bằng cách sử dụng các ví dụ.

    Ví dụ I. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính sau

    bằng phương pháp loại bỏ hoàn toàn ẩn số liên tiếp (phương pháp Gauss – Jordan).

    Giai đoạn đầu tiên. Đầu tiên, chúng ta viết hệ phương trình (6) ở dạng thuận tiện hơn – dưới dạng bảng I (0).

    Đối với mỗi hệ phương trình tuyến tính, chúng tôi gán ma trận mở rộng thu được bằng cách tham gia ma trận cột thành viên miễn phí:

    Jordan – phương pháp Gauss áp dụng cho giải pháp hệ thống mphương trình tuyến tính với n các loài chưa biết:

    Phương pháp này bao gồm thực tế là với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hệ phương trình được rút gọn thành một hệ phương trình tương đương với một ma trận của một loại nhất định.

    Chúng tôi thực hiện các phép biến đổi cơ bản sau trên các hàng của ma trận mở rộng:

    1. hoán vị của hai dòng;

    2. nhân một chuỗi với bất kỳ số nào khác 0;

    3. thêm vào một dòng một dòng khác nhân với một số;

    4. loại bỏ hàng rỗng (cột).

    Ví dụ 2.11. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Jordan – Gauss:

    ) X 1 + X 2 + 2X 3 u003d -1

    2X 1 – X 2 + 2X 3 u003d -4

    4X 1 + X 2 + 4X 3 u003d -2

    Giải pháp: Hãy tạo một ma trận mở rộng:

    Lặp lại 1

    Chọn một phần tử làm phần tử hướng dẫn. Hãy chuyển đổi cột đầu tiên thành một. Để làm điều này, hãy thêm dòng đầu tiên vào dòng thứ hai và thứ ba, nhân với (-2) và (-4), tương ứng. Chúng tôi nhận được ma trận:

    Điều này hoàn thành lần lặp đầu tiên.

    Chọn phần tử hướng dẫn. Từ đó ta chia dòng thứ hai cho -3. Sau đó, chúng tôi nhân hàng thứ hai tương ứng với (-1) và 3, rồi cộng nó vào hàng thứ nhất và thứ ba tương ứng. Chúng tôi nhận được ma trận

    Chọn phần tử hướng dẫn. Từ đó ta chia dòng thứ ba cho (-2). Chuyển đổi cột thứ ba thành một. Để thực hiện việc này, hãy nhân hàng thứ ba với (-4/3) và (-2/3), rồi cộng nó vào hàng thứ nhất và thứ hai, tương ứng. Chúng tôi nhận được ma trận

    Sau khi hoàn thành giải pháp, ở giai đoạn huấn luyện, cần thực hiện kiểm tra bằng cách thay thế các giá trị tìm được vào hệ thống ban đầu, các giá trị này sẽ chuyển thành các giá trị bằng nhau.

    b) X 1 – X 2 + X 3 – X 4 u003d 4

    X 1 + X 2 + 2X 3 + 3X 4 u003d 8

    2X 1 + 4X 2 + 5X 3 + 10X 4 u003d 20

    2X 1 – 4X 2 + X 3 – 6X 4 u003d 4

    Giải pháp: Ma trận mở rộng trông giống như:

    Áp dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta nhận được:

    Hệ ban đầu tương đương với hệ phương trình sau:

    X 1 – 3X 2 – 5X 4 u003d 0

    2X 2 + X 3 + 4X 4 u003d 4

    Hai hàng cuối cùng của ma trận A (2) phụ thuộc tuyến tính.

    Định nghĩa.Hàng ma trận e 1 , e 2 ,…, e m được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu đồng thời có các số không bằng 0 sao cho kết hợp tuyến tính của các hàng ma trận bằng hàng 0:

    Ở đâu 0 u003d (0, 0 … 0). Các hàng ma trận là độc lập tuyến tính khi kết hợp của các chuỗi này bằng 0 nếu và chỉ khi tất cả các hệ số bằng 0.

    Trong đại số tuyến tính, khái niệm thứ hạng của ma trận từ nó đóng một vai trò rất quan trọng trong việc giải hệ phương trình tuyến tính.

    Định lý 2.3 (về hạng của ma trận). Thứ hạng của ma trận bằng số lượng tối đa các hàng hoặc cột độc lập tuyến tính của nó, qua đó tất cả các hàng (cột) khác của nó được biểu diễn tuyến tính.

    Xếp hạng ma trận A (2) bằng 2, bởi vì số hàng độc lập tuyến tính tối đa trong nó là 2 (đây là hai hàng đầu tiên của ma trận).

    Định lý 2.4 (Kronecker – Capeli). Hệ phương trình tuyến tính là nhất quán và chỉ khi hạng của ma trận của hệ bằng hạng của ma trận mở rộng của hệ này.

    1. Nếu thứ hạng của ma trận của hệ thống tương thích bằng số biến, tức là r u003d n thì hệ có nghiệm duy nhất.

    2. Nếu hạng của ma trận của hệ thống nhỏ hơn số biến, tức là r< n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

    Trong trường hợp này, hệ thống có 4 biến và hạng của nó là 2, do đó, nó có vô số nghiệm.

    Định nghĩa.Để cho được r< n, r biến x 1 , x 2 ,…, x r được gọi là căn bảnnếu định thức của ma trận các hệ số của chúng ( cơ sở nhỏ) là nonzero. Nghỉ ngơi n – r các biến được gọi là miễn phí.

    Định nghĩa.Phán quyết hệ thống trong đó tất cả n – r các biến miễn phí bằng 0, được gọi là căn bản.

    Hệ thống chung m phương trình tuyến tính với nbiến ( m< n ) có vô số nghiệm, trong đó có vô số nghiệm cơ bản, không vượt quá, ở đâu.

    Trong trường hợp của chúng tôi, tức là hệ thống có không quá 6 giải pháp cơ bản.

    Giải pháp chung là:

    X 1 u003d 3X 2 + 5X 4

    X 3 u003d 4 – 2X 2 – 4X 4

    Hãy lấy một giải pháp cơ bản khác. Đối với điều này, chúng tôi lấy X 3 và X 4 là ẩn số miễn phí. Hãy biểu diễn các ẩn số X 1 và X 2 thông qua các ẩn số X 3 và X 4:

    X 1 u003d 6 – 3 / 2X 2 – X 4

    X 2 u003d 2 – 1 / 2X 3 – 2X 4.

    Khi đó nghiệm cơ bản có dạng: (6, 2, 0, 0).

    Ví dụ 2.12. Giải quyết hệ thống:

    X 1 + 2X 2 – X 3 u003d 7

    2X 1 – 3X 2 + X 3 u003d 3

    4X 1 + X 2 – X 3 u003d 16

    Giải pháp: Ta biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống

    Vì vậy, phương trình tương ứng với hàng thứ ba của ma trận cuối cùng là không nhất quán – dẫn đến sai đẳng thức 0 u003d -1, do đó, hệ thống này không nhất quán. Kết luận này cũng có thể nhận được nếu chúng ta nhận thấy rằng hạng của ma trận hệ thống là 2, trong khi hạng của ma trận mở rộng của hệ thống là 3.

    4. Phương pháp Jordan-Gauss.

    Như bạn đã biết, hệ phương trình đại số tuyến tính có thể có một nghiệm, nhiều nghiệm hoặc hệ không nhất quán. Với các phép biến đổi cơ bản của các phần tử của ma trận của hệ thống, các trường hợp này được phát hiện như sau:

    1. Trong quá trình loại bỏ, vế trái của phương trình bậc I của hệ biến mất, và vế phải bằng một số nào đó khác 0. những, cái đó. 02 + u003d bc0.

    Điều này có nghĩa là hệ thống không có nghiệm, vì không có giá trị nào của ẩn số có thể thỏa mãn phương trình bậc I;

    2. Vế trái và vế phải của phương trình bậc I biến mất. Điều này có nghĩa là phương trình thứ I là một tổ hợp tuyến tính của các phương trình khác, nó được thỏa mãn bởi bất kỳ nghiệm nào tìm được của hệ, vì vậy nó có thể bị loại bỏ. Trong hệ, số ẩn số lớn hơn số phương trình và do đó, hệ đó có nhiều nghiệm;

    3. Sau khi dùng tất cả các phương trình để loại bỏ ẩn số ta thu được nghiệm của hệ.

    Do đó, mục tiêu cuối cùng của phép biến đổi Jordan-Gauss là thu được từ một hệ thống tuyến tính đã cho

    a11x1 + a12x2 +… + a1nxn u003d b1, n + 1

    am1x1 + am2x2 +… + amnxn u003d bm.n + 1

    Ở đây x1, x2,…, xn là các ẩn số cần xác định. a11, a12,…, amn là các hệ số của hệ – và b1, b2,… bm – các số hạng tự do – được giả định là đã biết. Chỉ số của các hệ số (aij) của hệ thống cho biết các số của phương trình (i) và ẩn số (j) mà tại đó hệ số này tương ứng.

    Hệ (1) được gọi là thuần nhất nếu tất cả các số hạng tự do của nó bằng 0 (b1 u003d b2 u003d… u003d bm u003d 0), ngược lại nó là không thuần nhất.

    Hệ (1) được gọi là bình phương nếu số m phương trình bằng số n ẩn số.

    Lời giải cho hệ (1) là một tập hợp n số c1, c2,…, cn, sao cho việc thay thế mỗi ci thay cho xi trong hệ (1) biến tất cả các phương trình của nó thành đồng nhất.

    Hệ thống (1) được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một giải pháp và không tương thích nếu nó không có giải pháp.

    Một hệ thống liên kết dạng (1) có thể có một hoặc nhiều nghiệm.

    Các nghiệm c1 (1), c2 (1),…, cn (1) và c1 (2), c2 (2),…, cn (2) của một hệ đồng dạng (1) được gọi là khác nếu có ít nhất một trong các bằng :

    c1 (1) u003d c1 (2), c2 (1) u003d c2 (2),…, cn (1) u003d cn (2).

    Một hệ thống liên kết dạng (1) được gọi là xác định nếu nó có một nghiệm duy nhất; nếu nó có ít nhất hai nghiệm khác nhau, thì nó được gọi là vô thời hạn. Nếu có nhiều phương trình hơn ẩn số, nó được gọi là quá xác định.

    Hãy giải các hệ phương trình sau:

    Chúng tôi viết nó dưới dạng ma trận 3 × 4, trong đó cột cuối cùng là một điểm chặn:

    Hãy làm như sau:

    · Thêm vào dòng 2: -4 * Dòng 1.

    · Thêm vào dòng 3: -9 * Dòng 1.

    · Thêm vào dòng 3: -3 * Dòng 2.

    Chia dòng 2 cho -2

    · Thêm vào dòng 1: -1 * Dòng 3.

    · Thêm vào dòng 2: -3/2 * Dòng 3.

    · Thêm vào dòng 1: -1 * Dòng 2.

    Tính chất 1. Định thức sẽ không thay đổi giá trị của nó nếu các phần tử tương ứng của một hàng (cột) song song được thêm vào tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận, nhân với một tùy ý và cùng một số. Tính chất 2. Khi hoán đổi bất kỳ hai cột hoặc hàng nào của ma trận, định thức của nó đổi dấu thành ngược lại và giá trị tuyệt đối của định thức không đổi.

    Ở cột bên phải, chúng tôi nhận được giải pháp:

    .

    Gia tốc hội tụ của quá trình xấp xỉ được quan sát thấy trong phương pháp của Newton. 5. Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton) Phương pháp tiếp tuyến gắn liền với tên tuổi của I. Newton là một trong những phương pháp số hữu hiệu để giải phương trình. Ý tưởng đằng sau phương pháp này rất đơn giản. Lấy điểm xuất phát x0 và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x): y u003d f (x0) + f ¢ (x) (x-x0) (1.5) Đồ thị …

    Giải pháp từ các phương pháp tính toán số. Để xác định gốc của phương trình, không cần kiến u200bu200bthức về lý thuyết của các nhóm Abel, Galois, Lie, v.v. và không cần thuật ngữ toán học đặc biệt: vành, trường, iđêan, đẳng cấu, v.v. Để giải một phương trình đại số bậc n, bạn chỉ cần có khả năng giải phương trình bậc hai và lấy nghiệm nguyên từ một số phức. Rễ có thể được xác định từ …

    … “biểu hiện” chỉ trong quá trình biến đổi. Chúng tôi sẽ xem xét tính hiển nhiên và “tính che giấu” của biến mới bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể trong chương thứ hai của tác phẩm này. 2. Khả năng sử dụng phương pháp thay thế ẩn số khi giải phương trình đại số Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khả năng sử dụng phương pháp thay thế ẩn số khi giải phương trình đại số ở dạng chuẩn và không chuẩn …

    phương pháp Gauss – Jordan là một trong những phương pháp nổi tiếng và được sử dụng rộng rãi nhất để giải hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp ma trận và phương pháp Cramer có nhược điểm là chúng không đưa ra câu trả lời trong trường hợp detA u003d 0, nhưng chỉ xác định được một nghiệm duy nhất khi detA không bằng 0. Một nhược điểm khác là số lượng phép tính toán học trong các phương pháp này tăng mạnh với tăng số phương trình. Phương pháp Gauss thực tế không có những nhược điểm này.

    Thuật toán phương pháp Gaussian

    1. Dựa trên hệ phương trình tuyến tính, ta lập ma trận mở rộng của hệ;
    2. Ta đưa ma trận về dạng “tam giác”;
    3. Chúng tôi xác định cấp bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng, và trên cơ sở này, chúng tôi đưa ra kết luận về tính tương thích của hệ thống và số lượng các giải pháp khả thi;
    4. Nếu hệ có nghiệm duy nhất, ta thực hiện phép thay thế nghịch đảo và tìm, nếu hệ có tập nghiệm: ta biểu diễn các biến cơ bản dưới dạng biến có thể nhận giá trị tùy ý;

    Để đưa ma trận mở rộng ban đầu về dạng tam giác, chúng ta sử dụng hai tính chất sau của các định thức:

    Dựa trên các tính chất này của định thức, chúng tôi sẽ soạn một thuật toán để chuyển ma trận thành dạng tam giác:

    1. Xét dòng i (bắt đầu bằng dòng đầu tiên). Nếu phần tử a i i bằng 0, chúng ta hoán đổi hàng thứ i và thứ i + của ma trận. Trong trường hợp này, dấu hiệu của định thức sẽ thay đổi thành ngược lại. Nếu 1 1 không phải là số khác, hãy chuyển sang bước tiếp theo;
    2. Đối với mỗi hàng j, bên dưới hàng thứ i, chúng ta tìm giá trị của hệ số K j u003d a j i / a i i;
    3. Chúng ta tính lại các phần tử của tất cả các hàng j nằm bên dưới hàng i hiện tại bằng cách sử dụng các hệ số thích hợp theo công thức: a j k new u003d a j k -K j * a i k; Sau đó, chúng ta quay lại bước đầu tiên của thuật toán và xem xét hàng tiếp theo cho đến khi chúng ta đến hàng i u003d n-1, trong đó n là số chiều của ma trận A
    4. Trong ma trận tam giác kết quả, chúng tôi tính tích của tất cả các phần tử của đường chéo chính Pa i i, sẽ là định thức;

    Nói cách khác, bản chất của phương pháp có thể được xây dựng như sau. Chúng ta cần làm cho tất cả các phần tử của ma trận nằm dưới đường chéo chính bằng 0. Đầu tiên chúng ta lấy các số không trong cột đầu tiên. Để thực hiện điều này, chúng ta tuần tự trừ dòng đầu tiên, nhân với số chúng ta cần (sao cho khi trừ chúng ta nhận được số 0 trong phần tử đầu tiên của dòng) từ tất cả các dòng bên dưới. Sau đó, chúng ta làm tương tự đối với hàng thứ hai để lấy các số không ở cột thứ hai bên dưới đường chéo chính của ma trận. Và tiếp tục như vậy cho đến khi chúng ta đi đến dòng áp chót.

    Ngày xửa ngày xưa, nhà toán học người Đức Wilhelm Jordan (chúng tôi đang phiên âm sai từ tiếng ĐứcJordan trong vai Jordan) ngồi giải các hệ phương trình tiếp theo. Anh ấy thích làm điều đó và trong thời gian rảnh, anh ấy đã cải thiện kỹ năng của mình. Nhưng rồi cũng đến lúc anh cảm thấy nhàm chán với tất cả các phương pháp giải và phương pháp Gauss kể cả…

    Giả sử một hệ có ba phương trình, ba ẩn số được đưa ra, và ma trận mở rộng của nó được viết. Trong trường hợp phổ biến nhất, các bước tiêu chuẩn được thực hiện và cứ như vậy hàng ngày…. Điều tương tự – như cơn mưa tháng mười một vô vọng.

    Xua tan khao khát một thời cách khác Giảm ma trận về dạng bậc: hơn nữa, nó hoàn toàn tương đương và có thể không thuận tiện chỉ do nhận thức chủ quan. Nhưng sớm muộn gì mọi thứ cũng trở nên nhàm chán…. Và sau đó tôi nghĩ F trong khoảng rdan – tại sao phải bận tâm đến điều ngược lại của thuật toán Gaussian? Không phải dễ dàng hơn để có ngay câu trả lời với sự trợ giúp của các phép biến đổi sơ cấp bổ sung?

    … vâng, điều này chỉ xảy ra cho tình yêu u003d)

    Chà, và thật tuyệt vời nếu nó hoạt động thứ tự giảm dần của yếu tố quyết định.

    Như mọi người đã hiểu, phương pháp Gauss-Jordan là một sửa đổi phương pháp Gauss và chúng ta sẽ gặp nhau ở các màn tiếp theo với việc triển khai ý tưởng chính đã được nói ở trên. Ngoài ra, trong số ít các ví dụ của bài viết này, ứng dụng quan trọng nhất đã được bao gồm: tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

    Nếu không có thêm lời khuyên:

    Giải hệ thống bằng phương pháp Gauss-Jordan

    Phán quyết: đây là nhiệm vụ đầu tiên của bài Phương pháp Gauss cho hình nộm, nơi chúng tôi đã biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống 5 lần và đưa nó về dạng bậc:

    Bây giờ thay vì đảo ngược các phép biến đổi cơ bản bổ sung phát huy tác dụng. Đầu tiên, chúng ta cần lấy các số không tại các vị trí sau: ,

    và sau đó là một số 0 khác ở đây: .

    Một trường hợp lý tưởng về mặt đơn giản:

    (6) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng đầu tiên.

    (7) Dòng thứ hai nhân với -2 được thêm vào dòng đầu tiên.

    Tôi không thể cưỡng lại việc minh họa hệ thống cuối cùng:

    Câu trả lời:

    Tôi cảnh báo độc giả chống lại tâm trạng run rẩy – đây là ví dụ demo đơn giản nhất. Phương pháp Gauss-Jordan có các kỹ thuật cụ thể riêng và không phải là các phép tính thuận tiện nhất, vì vậy hãy điều chỉnh để thực hiện nghiêm túc.

    Tôi không muốn nghe có vẻ phân loại hay cầu kỳ, nhưng trong phần lớn các nguồn thông tin mà tôi đã thấy, các vấn đề điển hình được coi là cực kỳ tồi tệ – bạn cần phải có bảy nhịp và dành nhiều thời gian / căng thẳng cho một giải pháp khó xử với các phân số. Qua nhiều năm thực hành, tôi đã cố gắng đánh bóng, tôi sẽ không nói rằng kỹ thuật tốt nhất, nhưng hợp lý và khá dễ dàng có sẵn cho tất cả những ai sở hữu các phép toán số học:

    Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan.

    Phán quyết: Phần đầu tiên của bài tập quen thuộc:

    (1) Dòng đầu tiên nhân với -1 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ nhất nhân với 3. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ tư, nhân với -5.

    (2) Dòng thứ hai chia 2, dòng thứ ba chia 11, dòng thứ tư chia 3.

    (3) Dòng thứ hai và dòng thứ ba tỷ lệ thuận, dòng thứ ba đã bị loại bỏ. Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ tư, nhân với -7

    (4) Dòng thứ ba được chia cho 2.

    Rõ ràng, hệ thống có vô số giải pháp, và nhiệm vụ của chúng ta là đưa ma trận mở rộng của nó về dạng .

    Làm thế nào để tiếp tục? Trước hết, cần lưu ý rằng chúng ta đã mất một phép biến đổi cơ bản ngon lành – hoán vị hàng. Chính xác hơn, bạn có thể sắp xếp lại chúng, nhưng không có ích lợi gì trong việc này (chúng tôi chỉ thực hiện các hành động không cần thiết). Và sau đó, bạn nên tuân thủ các mô hình sau:

    Ghi chú: thuật ngữ “cơ sở” có ý nghĩa và khái niệm đại số cơ sở hình học Nó không có gì để làm với nó!

    Tìm thấy bội số chung nhỏ nhất các số trong cột thứ ba (1, -1 và 3), tức là – số nhỏ nhất chia hết cho 1, -1 và 3. Trong trường hợp này, tất nhiên, nó là “ba”. Hiện nay trong cột thứ ba, chúng ta cần lấy các số có cùng môđun và những cân nhắc này xác định phép biến đổi thứ 5 của ma trận:

    (5) Hàng đầu tiên được nhân với -3, hàng thứ hai được nhân với 3. Nói chung, hàng đầu tiên cũng có thể được nhân với 3, nhưng sẽ không thuận tiện cho bước tiếp theo. Bạn nhanh chóng quen với những điều tốt đẹp:

    (6) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng đầu tiên.

    (7) Cột thứ hai có hai giá trị khác không (24 và 6) và một lần nữa chúng ta cần lấy các số modulo giống nhau… Trong trường hợp này, mọi thứ diễn ra khá tốt – bội số nhỏ nhất của 24 và cách hiệu quả nhất là nhân hàng thứ hai với -4.

    (Rõ ràng là ma trận nghịch đảo phải tồn tại)

    (8) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

    (9) Lần chạm cuối cùng: dòng đầu tiên được chia cho -3, dòng thứ hai được chia cho -24 và dòng thứ ba được chia cho 3. Hành động này được thực hiện CUỐI CÙNG! Không có phân số sớm!

    Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, một hệ thống ban đầu tương đương đã thu được:

    Chúng ta có thể đơn giản thể hiện các biến cơ bản dưới dạng biến tự do:

    và viết:

    Câu trả lời: quyết định chung:

    Trong các ví dụ như vậy, việc áp dụng thuật toán được xem xét thường hợp lý nhất, vì chuyển động ngược lại phương pháp Gauss thường đòi hỏi các phép tính phân số tốn thời gian và khó chịu.

    Đối với một giải pháp độc lập:

    Tìm một giải pháp cơ bản bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản

    Công thức của bài toán này giả định việc sử dụng phương pháp Gauss-Jordan, và trong dung dịch mẫu, ma trận được giảm xuống dạng chuẩn với các biến cơ bản. Tuy nhiên, hãy luôn ghi nhớ rằng các biến khác có thể được chọn làm biến cơ bản… Vì vậy, ví dụ, nếu các số trong cột đầu tiên là cồng kềnh, thì việc đưa ma trận về dạng (biến cơ bản) hoặc ở dạng (biến cơ bản), hoặc thậm chí cho biểu mẫu với các biến cơ bản. Ngoài ra còn có các tùy chọn khác.

    Nhưng tất cả đều giống nhau, đây là những trường hợp cực đoan – bạn không nên gây sốc cho giáo viên một lần nữa với kiến u200bu200bthức, kỹ thuật giải và hơn thế nữa, bạn không nên đưa ra kết quả Jordan kỳ lạ như … Tuy nhiên, có thể khó để loại bỏ cơ sở không điển hình khi trong ma trận ban đầu, chẳng hạn, trong cột thứ 4, có hai số không sẵn sàng.

    Nếu một cặp đột nhiên được tìm thấy trong ma trận kích thước mở rộng phụ thuộc tuyến tính thì bạn nên cố gắng đưa nó về dạng thông thường với các biến cơ bản. Một ví dụ về quyết định như vậy là trong Ví dụ số 7 của bài báo trên hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, với chỗ ấy một cơ sở khác được chọn.

    Chúng tôi tiếp tục cải thiện kỹ năng của mình đối với vấn đề được áp dụng sau:

    Làm thế nào để tìm nghịch đảo của ma trận bằng phương pháp Gaussian?

    Thông thường, điều kiện được xây dựng theo cách viết tắt, nhưng về bản chất, thuật toán Gauss-Jordan cũng hoạt động ở đây. Một phương pháp tìm kiếm dễ dàng hơn ma trận nghịch đảo cho một ma trận vuông mà chúng ta đã xem xét từ lâu trong bài học tương ứng, và trong tiết trời cuối thu khắc nghiệt, các học sinh đã nắm được cách giải thành thạo.

    Tóm tắt các hành động sắp tới như sau: đầu tiên, bạn nên viết ma trận vuông song song với ma trận nhận dạng:. Sau đó, sử dụng các phép biến đổi cơ bản, cần có được ma trận đơn vị ở bên trái, trong khi (không đi vào chi tiết lý thuyết) ma trận nghịch đảo được vẽ ở bên phải. Giải pháp trông giống như sau:

    Hãy tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp. Để làm điều này, chúng tôi sẽ viết nó trong một đội với ma trận đơn vị và “hai con ngựa” đua:

    (1) Dòng đầu tiên nhân với -3 được thêm vào dòng thứ hai.

    (2) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

    (3) Dòng thứ hai được chia cho -2.

    Câu trả lời:

    Kiểm tra câu trả lời từ bài học ví dụ đầu tiên Làm cách nào để tìm nghịch đảo của ma trận?

    Nhưng đó là một nhiệm vụ hấp dẫn khác – trên thực tế, giải pháp này tốn thời gian và công sức hơn nhiều. Thông thường, bạn sẽ được trình bày với ma trận ba nhân ba:

    Phán quyết: thêm ma trận nhận dạng và bắt đầu thực hiện các phép biến đổi, theo thuật toán “bình thường” phương pháp Gauss:

    (1) Dòng đầu tiên và dòng thứ ba được đảo ngược. Thoạt nhìn, việc hoán vị các hàng có vẻ bất hợp pháp, nhưng trên thực tế, bạn có thể sắp xếp lại chúng – kết quả là bên trái chúng ta cần lấy ma trận nhận dạng và bên phải chúng ta sẽ “cưỡng chế” lấy chính xác ma trận (bất kể chúng ta có sắp xếp lại các dòng trong quá trình giải hay không)… Lưu ý rằng ở đây thay vì hoán vị, bạn có thể sắp xếp “sixes” trong cột đầu tiên (bội số phổ biến nhất (LCM) của 3, 2 và 1)… Giải pháp LCM đặc biệt hữu ích khi không có “cái nào” trong cột đầu tiên.

    (2) Hàng thứ nhất được thêm vào hàng thứ 2 và thứ 3, nhân với -2 và -3, tương ứng.

    (3) Hàng thứ 2 được thêm vào hàng thứ 3, nhân với -1

    Phần thứ hai của giải pháp được thực hiện theo sơ đồ đã biết ở đoạn trước: các hoán vị hàng trở nên vô nghĩa, và chúng tôi tìm thấy bội số chung nhỏ nhất của các số trong cột thứ ba (1, -5, 4): 20. Có một thuật toán nghiêm ngặt để tìm LCM, nhưng thường có đủ lựa chọn. Không sao cả nếu bạn lấy một số lớn hơn chia hết cho 1, -5 và 4, chẳng hạn như số 40. Sự khác biệt sẽ nằm trong các phép tính phức tạp hơn.

    Nói về máy tính. Để giải quyết vấn đề, không có gì đáng xấu hổ khi trang bị cho mình một chiếc máy tính vi mô – có những con số đáng kể ở đây, và sẽ rất khó chịu nếu mắc một lỗi tính toán.

    (4) Dòng thứ ba nhân với 5, dòng thứ hai nhân 4, dòng thứ nhất nhân “trừ hai mươi”:

    (5) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ nhất và thứ hai.

    (6) Dòng thứ nhất và dòng thứ ba đã chia cho 5, dòng thứ hai nhân với -1.

    (7) Bội số chung nhỏ nhất của các số khác không ở cột thứ hai (-20 và 44) là 220. Hàng đầu tiên nhân với 11, hàng thứ hai nhân 5.

    (8) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

    (9) Dòng đầu tiên được nhân với -1, dòng thứ hai được chia “lùi” cho 5.

    Giải pháp và câu trả lời: Ví dụ 3: Phán quyết: chúng tôi viết ra ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng tôi thu được giải pháp cơ bản:Ví dụ 6: Phán quyết: tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản:Ví dụ 7: Phán quyết: tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan:

    (1) Hàng thứ 3 được thêm vào dòng thứ 1 và thứ 4.

    (2) Dòng đầu tiên và dòng thứ tư được đảo ngược.

    (3) Dòng thứ nhất được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 2 được thêm vào dòng thứ 3:

    (4) Hàng thứ 2 được cộng với hàng thứ 3, nhân với -2. Dòng thứ 2 được thêm vào dòng thứ 4.

    (5) Hàng thứ 4, nhân với -1, được thêm vào dòng thứ nhất và thứ ba.

    (6) Dòng thứ hai nhân với -1, dòng thứ ba nhân với -2.

    Câu trả lời:

    (1) Hàng thứ nhất nhân với -15, hàng thứ hai nhân với 3, hàng thứ ba nhân với 5.

    (2) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ 2 và 3.

    (3) Dòng đầu tiên được chia cho -15, dòng thứ hai được chia bởi -3, dòng thứ ba được chia bởi -5.

    (4) Hàng thứ hai nhân với 7, hàng thứ ba nhân với -9.

    (5) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba.

    (6) Dòng thứ hai được chia cho 7.

    (7) Hàng thứ nhất nhân với 27, hàng thứ hai nhân với 6, hàng thứ ba nhân với -4.

    (8) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ nhất và dòng thứ hai.

    (9) Dòng thứ ba được chia cho -4. Dòng thứ hai nhân với -1 được thêm vào dòng đầu tiên.

    (10) Dòng thứ hai được chia cho 2.

    (11) Mỗi u200bu200bdòng được chia cho 27.

    Kết quả là:

    Câu trả lời:

    (1) Dòng thứ nhất và dòng thứ hai được đảo ngược.

    (2) Dòng đầu tiên nhân với -2 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba được thêm vào dòng đầu tiên nhân với 5.

    (3) Dòng thứ ba đã chia hết cho 3.

    (4) Hàng thứ hai cộng với hàng thứ ba, nhân với 2.

    (5) Dòng thứ ba được chia cho 7.

    (6) Bội số nhỏ nhất của cột thứ 3 (-3, 5, 1) là 15. Hàng thứ nhất nhân với 5, hàng thứ hai nhân với -3 và hàng thứ ba nhân với 15.

    (7) Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng đầu tiên. Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng thứ hai.

    (8) Dòng thứ nhất chia cho 5, dòng thứ hai chia cho -3, dòng thứ ba chia cho 15.

    (9) Bội số nhỏ nhất của các số khác không ở cột thứ 2 (-2 và 1) là: 2. Nhân hàng thứ hai với 2

    (10) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

    (11) Dòng thứ hai được chia cho 2.

    Chúng tôi biểu thị các biến cơ bản dưới dạng các biến tự do:

    Câu trả lời: quyết định chung:

    (10) Bây giờ trên đường chéo chính của ma trận bên trái, bạn nên lấy bội số chung nhỏ nhất của đường chéo (44, 44 và 4). Rõ ràng là con số này là 44. Dòng thứ ba được nhân với 11.

    (11) Chia mỗi hàng cho 44. Hành động này được thực hiện sau cùng!

    Vậy nghịch đảo của ma trận là:

    Về nguyên tắc, việc giới thiệu và loại bỏ -th là những hành động không cần thiết, nhưng điều này được yêu cầu bởi giao thức của nhiệm vụ.

    Câu trả lời:

    Những người tiên tiến có thể rút ngắn giải pháp phần nào, nhưng tôi phải cảnh báo bạn rằng, việc vội vàng ở đây đầy rủi ro mắc sai lầm TĂNG LÊN.

    Một nhiệm vụ tương tự cho một giải pháp độc lập:

    Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan.

    Mẫu gần đúng của nhiệm vụ ở cuối trang. Và vì lợi ích của việc “không trôi qua với các bài hát”, tôi đã thực hiện giải pháp theo phong cách đã được đề cập – độc quyền thông qua LCM của các cột mà không có hoán vị hàng đơn và các phép biến đổi nhân tạo bổ sung. Theo ý kiến u200bu200bcủa tôi, kế hoạch này, nếu không phải là nhất, thì một trong những kế hoạch đáng tin cậy nhất.

    Đôi khi, rất tiện lợi khi sử dụng một giải pháp ngắn gọn hơn của “chủ nghĩa hiện đại”, như sau: trong bước đầu tiên, mọi thứ vẫn như bình thường: .

    Ở bước thứ hai, bằng kỹ thuật gấp khúc (thông qua LCM của các số của cột thứ 2), hai số không được sắp xếp cùng một lúc trong cột thứ hai: … Đặc biệt khó có thể chống lại hành động này nếu các con số của cùng một mô-đun được vẽ ở cột thứ 2, ví dụ, cùng một “cái” thông thường.

    Và cuối cùng, trong bước thứ ba, chúng ta nhận được các số không cần thiết trong cột thứ ba theo cách tương tự: .

    Đối với số chiều, trong hầu hết các trường hợp, cần phải giải quyết ma trận “ba nhân ba”. Tuy nhiên, thỉnh thoảng có một phiên bản nhẹ của vấn đề với ma trận hai x hai và khó … – đặc biệt là đối với tất cả độc giả của trang web:

    Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi cơ bản

    Đây là một bài tập từ bài kiểm tra toán và vật lý của chính tôi trong đại số, … ơ, khóa học đầu tiên của tôi ở đâu u003d) 15 năm trước (lá không chuyển sang màu vàng một cách đáng ngạc nhiên), Tôi đã làm điều đó trong 8 bước, và bây giờ – chỉ 6! Nhân tiện, ma trận rất sáng tạo – ngay từ bước đầu tiên, một số giải pháp hấp dẫn đã có thể nhìn thấy. Phiên bản sau của tôi nằm ở cuối trang.

    Và một mẹo cuối cùng – sau những ví dụ như vậy, thể dục cho mắt và một số bản nhạc hay để thư giãn rất hữu ích u003d)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phân Phối Chuẩn Trong Thống Kê Và Ý Nghĩa Trong Thực Tế, Giáo Dục
  • Đọc Câu 16: Nêu Cách Chia Mảnh, Đánh Số, Ghi Số Liệu Bản Đồ Gauss
  • Hệ Tọa Độ Gauss Và Những Ứng Dụng Của Hệ Tọa Độ Gauss
  • Nhận Xét Của Các Bạn Học Viên Về Cách Giảng Dạy Tại Tester Việt Trong Bài Kiểm Tra Cuối Khóa.
  • Kinh Nghiệm Trong Đánh Giá Và Phương Pháp Giảng Dạy Đại Học
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Bài Tập Vận Dụng

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn Với Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Toán Đại 12: Chương Nguyên Hàm Chọn Lọc
  • Can Thiệp Trẻ Tự Kỷ Bằng Teacch
  • Điều Trị Ung Thư Gan Bằng Phương Pháp Toce Có Hiệu Quả ?
  • Nên Lựa Chọn Phương Pháp Vô Cảm Phù Hợp Với Người Bệnh Và Điều Kiện Thực Tế Của Các Bệnh Viện
  • Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế như thế nào? qua đó vận dụng giải các bài tập minh họa vận dụng phương pháp này để các em rèn luyện kỹ năng giải toán.

    I. Phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

    1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

    – Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

    – Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d):  ax + by = c

    • Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
    • Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

    2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

    + Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: <img title="small left{egin{matrix} ax+by=c a'x + b'y=c' end{matrix}

    + Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

    – Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

    • (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
    • (d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất
    • (d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm

    + Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

    II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế

    a) Quy tắc thế

    Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:

    + Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

    + Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

    b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

    + Bước 1: Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

    + Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

    * Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

    a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=4 2x-y=0 end{matrix}

    b) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=1 x-y=3 end{matrix}

    * Lời giải:

    a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=4 2x-y=0 end{matrix}

    ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 2x+y=4 y=2x end{matrix}

     <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 2x+2x=4 y=2x end{matrix}

    ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 4x=4 y=2x end{matrix}

    ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x=1 y=2 end{matrix}

    b) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=1 x-y=3 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 2(3+y)+3y=1 x=3+y end{matrix}

     <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 5y=-5 x=3+y end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=-1 x=2 end{matrix}

    III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

     

    * Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

    a) <img title="small left{egin{matrix} x-y=3 3x-4y=2 end{matrix}

    c) <img title="small left{egin{matrix} x+3y=-2 5x-4y=11 end{matrix}

    * Lời giải:

    a) <img title="small left{egin{matrix} x-y=3 3x-4y=2 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3+y 3(3+y)-4y=2 end{matrix}

      <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3+y 9-y=2 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=10 y=7 end{matrix}

      ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (10;7)

    b) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 7x-3y=5 4x+y=2 end{matrix}

      <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 7x-3(2-4x)=5 y=2-4x end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 7x-6+12x=5 y=2-4x end{matrix}

      <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 19x=11 y=2-4x end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{11}{19} y=frac{-6}{19} end{matrix}

      ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (11/19;-6/19)

    c) <img title="small left{egin{matrix} x+3y=-2 5x-4y=11 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y 5(-2-3y)-4y=11 end{matrix}

      <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y -10-15y-4y=11 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y 19y=-21 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{25}{19} y=-frac{21}{19} end{matrix}

      ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (25/19;-21/19)

     

    * Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế

    a) <img title="small left{egin{matrix} 3x-2y=11 4x-5y=3 end{matrix}

    * Lời giải:

    a) <img title="small left{egin{matrix} 3x-2y=11 4x-5y=3 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{11}{3}+frac{2}{3}y 4(frac{11}{3}+frac{2}{3}y)-5y=3 end{matrix}

      <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=(11+2y)/3 frac{4}{3}(11+2y)-5y=3 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=(11+2y)/3 frac{44}{3}+frac{8}{3}y-5y=3 end{matrix}

      <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{1}{3}(11+2y) -frac{7}{3}y=-frac{35}{3} end{matrix}

    ight.Leftrightarrowleft{egin{matrix} x=7 y=5 end{matrix}

      ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (7;5)

    b) <img title="small g_white fn_cm small g_white fn_cm small left{egin{matrix} x/2-y/3=1 5x-8y=3 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 5(frac{2}{3}y+2)-8y=3 end{matrix}

      <img title="small g_white fn_cm small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 frac{10}{3}y+10-8y=3 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 -frac{14}{3}y=-7 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3 y=3/2 end{matrix}

      ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (3;3/2)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bàn Tính Soroban Và Những Điều Bạn Nên Biết
  • Phân Tích Swot Là Gì? Cách Phân Tích Ma Trận Swot Trong Kinh Doanh
  • Cải Thiện Nghe + Nói Cùng Lúc
  • Công Nghệ Rf: Kỹ Thuật Nâng Cơ Mặt, Trẻ Hóa Da Đời Mới
  • Ứng Dụng Sóng Điện Từ Rf Trong Thẩm Mỹ
  • Chuyên Đề Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Hệ Số Điều Chỉnh Giá Đất Là Gì
  • Hệ Số Điều Chỉnh Giá Đất Là Gì? Cách Xác Định Giá Đất Theo Hệ Số K
  • Lý Thuyết Các Dạng Vô Định Toán 11
  • Khái Niệm Và Ứng Dụng Của Thống Kê
  • Tìm Hiểu Các Phương Pháp Đtm Cơ Bản
  • Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 1 SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN ----------------------------------- CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ  NGƯỜI VIẾT : LÊ HỒNG KHÔI TỔ CHUYÊN MÔN : TOÁN LẬP THẠCH – THÁNG 10 NĂM 2022 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 2 LỜI NÓI ĐẦU Năm học 2022 – 2022 Bộ Giáo dục và Đào tạo tiếp tục tổ chức kì thi THPT quốc gia nhằm cả hai mục đích là xét tốt nghiệp và tuyển sinh ĐH – CĐ. Đề thi cũng phải đảm bảo hai mục đích đó, đề thi sẽ có khoảng 60% ở mức độ cơ bản và khoảng 40% ở mức độ phân hóa học sinh, trong 40% mức độ phân hóa học sinh thì đề thi thường xuất hiện câu giải phương trình hoặc hệ phương trình mà phương pháp giải có sử dụng đến tính đơn điệu của hàm số. Kết quả kì thi THPT Quốc gia năm học 2014 – 2015 cho thấy số những thí sinh nào làm được nhiều phần phân hóa học sinh thì cơ hội để xét tuyển vào các trường ĐH – CĐ tốp trên sẽ cao hơn. Nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải toán và có cơ hội đạt điểm cao trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2022 – 2022, tôi đã viết chuyên đề “Giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp hàm số”, đây là quá trình tích lũy kinh nghiệm của bản thân và sự giúp đỡ của đồng nghiệp. Hy vọng chuyên đề này là tài liệu giảng dạy và học tập hữu ích cho giáo viên và học sinh. Chuyên đề này tùy theo từng đơn vị và đối tượng học sinh, giáo viên có thể dạy trong 3 đến 6 tiết đồng thời chọn lọc những ví dụ phù hợp. Trong quá trình viết chuyên đề khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đồng nghiệp và học sinh đóng góp ý kiến để chuyên đề được áp dụng rộng rãi. Xin chân thành cảm ơn ! Người viết chuyên đề : LÊ HỒNG KHÔI Giáo viên Trường THPT Liễn Sơn – Lập Thạch – Vĩnh Phúc Chức vụ : Tổ trưởng tổ Toán Điện Thoại : 0983.020.234 Mail : [email protected] Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 3 PHẦN I. PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT I. Một số tính chất 1. Tính chất 1. Nếu  y f x đồng biến hoặc nghịch biến trên  ;a b thì phương trình   0f x  có nhiều nhất một nghiệm  ;x a b 2. Tính chất 2. Nếu  ' 0f x  có n nghiệm  ;x a b thì phương trình   0f x  có nhiều nhất 1n  nghiệm  ;x a b 3. Tính chất 3. Nếu      0 ;nf x x a b   hoặc      0 ;nf x x a b   thì phương trình   0f x  có nhiều nhất n nghiệm  ;x a b 4. Tính chất 4. Nếu  y f x đồng biến hoặc nghịch biến trên  ;a b thì      , ;f u f v u v u v a b     Lưu ý : Có thể thay  ;a b bằng      ; , ; , ;a b a b a b II. Phương pháp 1. Phương trình có nghiệm duy nhất a. Dấu hiệu : Phương trình cần giải là phương trình không mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường không giải được hoặc giải phức tạp b. Thuật toán - Tìm điều kiện (điều kiện thông thường và điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình về dạng   0f x  - Chứng minh  y f x luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên  ;a b ( ;a b là miền xác định của phương trình) - Nhẩm 1 nghiệm 0x x của phương trình (Có thể sử dụng MTCT – lệnh “SHIFT+SOLVE”) - Kết luận : Phương trình có nghiệm duy nhất 0x x 2. Phương trình có tối đa n nghiệm (thông thường 2 hoặc 3 nghiệm) a. Dấu hiệu : Phương trình cần giải là phương trình không mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường không giải được hoặc giải phức tạp b. Thuật toán - Tìm điều kiện (điều kiện thông thường và điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình về dạng   0f x  - Chỉ ra      0 ;nf x x a b   hoặc      0 ;nf x x a b   ( ;a b là miền xác định của phương trình) - Nhẩm n nghiệm của phương trình Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 4 - Kết luận : Phương trình có đúng n nghiệm nhẩm được 3. Xét hàm đặc trưng a. Dấu hiệu : Phương trình cần giải có thể đưa về phương trình đồng bậc b. Thuật toán - Tìm điều kiện (điều kiện thông thường và điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình về phương trình đồng bậc - Cố định một vế (vế đơn giản hơn), suy ra hàm đặc trưng  f t - Biến đổi vế còn lại theo quy luật của hàm đặc trưng, ta được phương trình    f u f v - Chỉ ra hàm đặc trưng luôn đồng biến hay nghịch biến trên miền giá trị của ,u v - Giải phương trình    f u f v u v   - Kết luận Ví dụ minh họa: Giải phương trình :  3 23 4 2 3 2 3 1x x x x x      (*) Phân tích : - Đặt 3 1u x  thì VP(*) là biểu thức bậc 3 ẩn u , như thế 2 vế của (*) là đồng bậc - Cố định VP(*) =    2 33 2 3 1 1x x u u u u      , Suy ra hàm đặc trưng   3f t t t  -VT(*) 3v v  , VT(*) là biểu thức bậc 3 ẩn x , cùng bậc với bậc của hàm đặc trưng, suy ra v ax b  , khi đó             3 3 2 3 3 2 2 2 3 3 4 2 1 3 3 3 4 2 0 ax b ax b x x x a x a b x ab a x b                  3 2 2 3 1 0 3 3 0 1 13 4 0 2 0 a a b a bab a b b                   1v x   Phương trình (1) trở thành 3 3v v u u   Lưu ý : Có thể tìm hàm đặc trưng nhờ MTCT : Cho một vài giá trị của x, tính y rồi tìm mối quan hệ của x và y Lời giải : ĐK : 1 3 x   (*)         333 23 4 2 3 2 3 1 1 1 3 1 3 1x x x x x x x x x               Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 5 Xét hàm số   3 ,f t t t t   Ta có :  ' 23 1 0f t t t     , suy ra  f t đồng biến trên Khi đó : (1)    1 3 1 1 3 1f x f x x x        2 2 1 3 1x x x     (do 1 3 x   nên 1 0x   ) 2 0 0 1 x x x x        Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm là : 0, 1x x  . Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 6 B. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải phương trình : 5 3 1 3 4 0x x x     (1) Giải : ĐK : 1 3 x  Xét hàm số   5 3 1 1 3 4, 3 f x x x x x      Hàm số trên liên tục trên 1 ; 3       Ta có :  ' 4 2 3 1 5 3 0 ; 32 1 3 f x x x x x              Suy ra  f x đồng biến trên 1; 3       Suy ra phương trình   0f x  (Phương trình (1)) có nhiều nhất 1 nghiệm 1 3 x  Mặt khác  1 0f   , tức 1x   là một nghiệm của phương trình (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 1x   . Chú ý : Có thể nhẩm nghiệm 1x   trên máy tính cầm tay “SHIFT + SOLVE” Ví dụ 2: Giải phương trình : 22 1 3 4x x x     (1) Giải : ĐK : 2 1 0 1 4 4 0 2 x x x        (2) 22 1 3 4 0x x x       Xét hàm số   2 1 2 1 3 4, ;4 2 f x x x x x             Hàm số trên liên tục trên 1 ;4 2      Ta có :  ' 3 1 1 1 0 ;4 22 1 3 x f x x x x             Suy ra  f x đồng biến trên 1 ;4 2      Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 7 Suy ra phương trình   0f x  (Phương trình (1)) có nhiều nhất 1 nghiệm 1 ;4 2 x       Mặt khác  1 0f  , tức 1x  là một nghiệm của phương trình (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 1x  . Chú ý : - ĐK :2 1 0x   là điều kiện thông thường ĐK : 4 0x  là điều kiện kéo theo (Phương trình này có thể bỏ qua) - Có thể nhẩm nghiệm 1x  trên máy tính cầm tay “SHIFT + SOLVE” Ví dụ 3: Giải phương trình : 2 215 3 2 8x x x     (1) Giải : Ta có : (1) 2 215 8 3 2x x x      Do 2 215 8 0x x    nên 2 3 2 0 3 x x    Xét hàm số   2 2 2 15 8 3 2, 3 f x x x x x       Ta có :        2 2 ' 2 2 2 2 8 15 2 3 3 0 315 8 15 8 x x xx x f x x x x x x                Suy ra  f x nghịch biến trên 2 ; 3       Suy ra phương trình   0f x  (Phương trình (1)) có nhiều nhất 1 nghiệm 2 ; 3 x        Mặt khác  1 0f  , tức 1x  là một nghiệm của phương trình (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 1x  . Chú ý : ĐK : 3 2 0x   là điều kiện kéo theo (Phương trình này bắt buộc phải tìm) Ví dụ 4: Giải phương trình : 22 3 4 3 5 9 6 13x x x x      (1) Giải : ĐK : 4 3 x   Xét hàm số   2 4 2 3 4 3 5 9 6 13, 3 f x x x x x x         Hàm số trên liên tục trên 4 ; 3       Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 8 Ta có :  ' 3 15 2 6 3 4 2 5 9 f x x x x             '' 9 75 42 0 32 3 4 3 4 4 5 9 5 9 f x x x x x x             Suy ra  'f x nghịch biến trên 4 ; 3       Suy ra phương trình  ' 0f x  có nhiều nhất 1 nghiệm 4 3 x   Suy ra phương trình   0f x  (Phương trình (1)) có nhiều nhất 2 nghiệm 4 3 x   Mặt khác    0 1 0f f   , tức 0, 1x x  là các nghiệm của (1) Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm là : 0, 1x x  Ví dụ 5: Giải phương trình :    2 3 3 7 4 3 0x x x x     (1) Giải : ĐK : 4 3 x  (1)     3 3 33 4 3 3 4 3 3 4 3 3 4 3x x x x x x x x              Xét hàm số   3 3 ,f t t t t   Ta có :  ' 23 3 0f t t t     , suy ra  f t đồng biến trên Khi đó : (1)    4 3 4 3f x f x x x        2 24 3 3 4 0 1 0 0 x x x x x tm x x               Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất : 1x  . Ví dụ 6: Giải phương trình : 3 31 2 2 1x x   (1) Giải : (1)   3 3 33 3 32 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x            Xét hàm số   3 2 ,f t t t t   Ta có :  ' 23 2 0f t t t     , suy ra  f t đồng biến trên Khi đó : (1)     33 32 1 2 1 2 1 0f x f x x x x x          Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 9 1 1 5 2 x x       Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm là : 1 5 1, 2 x x     . Ví dụ 7: Giải phương trình :  2 22 1 2 1 2 3 0x x x x x x        (1) Giải : (1)       22 2 1 1 1 2 0x x x x x x                      2 2 1 1 1 2 2x x x x x x            Xét hàm số   2 2 ,f t t t t t    Ta có :   2 ' 2 2 1 2 0 2 t f t t t t         , suy ra  f t đồng biến trên Khi đó : (1)     1 1 1 2 f x f x x x x           Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất : 1 2 x   . Ví dụ 8: Giải phương trình :     2 23 2 9 3 4 2 1 1 0x x x x x        (1) Giải : (1)           2 22. 3 3 . 3 3 2 1 2 1 3 2 0x x x x x                     2 2 2. 2 1 2 1 . 2 1 3 2. 3 3 . 3 3x x x x x x            Xét hàm số   22 3 ,f t t t t t    Ta có :   2 ' 2 2 2 3 0 3 t f t t t t         , suy ra  f t đồng biến trên Khi đó : (1)     1 2 1 3 2 1 3 5 f x f x x x x           Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất : 1 5 x   . Ví dụ 9: Giải phương trình :   2 2 9 . 3 1 3 2 1 3 1 x x x x x       (1) Giải : Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 10 ĐK : 1 3 x   Nhận xét : 0x  không là nghiệm của (1) Với 0x  thì 1 3 1 0x           2 2 2 3 2 9 . 3 1 1 3 1 1 3 2 3 3 2 3 1 3 2 2 3 1 x x x x x x x x x x x x                         3 2 33 3 4 2 3 2 3 1 1 1 3 1 3 1 x x x x x x x x x                Xét hàm số   3 ,f t t t t   Ta có :  ' 23 1 0f t t t     , suy ra  f t đồng biến trên Khi đó : (1)    1 3 1 1 3 1f x f x x x        2 2 1 3 1x x x     (do 1 3 x   nên 1 0x   ) 2 0 1x x x     (do 0x  ) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất : 1x  . Ví dụ 10: Giải phương trình :    2 2 2 8 1 2 2 2 3 x x x x x x         (1) Giải : ĐK : 2x   (1)        2 2 2 4 1 2 4 1 2 0 2 3 2 32 2 2 2 x x x x x x x x x x xx x                          2 2 4 1 * 2 3 2 2 x tm x x x x x                          22* 4 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 1 2x x x x x x x x x                              3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1x x x x x x            Xét hàm số   3 22 2 ,f t t t t t    Ta có :  ' 23 4 2 0f t t t t      , suy ra  f t đồng biến trên Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 11 Khi đó : (*)    2 1 2 1f x f x x x          2 2 3 132 2 1 3 1 0 3 13 2 21 0 1 1 x x x x x x x tm x x x                         Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là : 3 13 2, 2 x x    . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các phương trình : 5 31. 1 3 4 0x x x     3 2. 2 3 1 3 2 2 x x x      6 8 3. 3 14 3 2x x      34. 4 2 7 2 3 0x x x x      35. 4 1 2 1 0x x x x        26. 8 2 6 5 0x x x x     3 2 37. 15 78 141 5 2 9x x x x        8. 3 1 3 1 2 0x x x x x       2 1 19. 3 18 24 2 5 1 x x x x           311. 3 5 16. 3 5 2 x x x      2 21 112. 4 2 1x x x    13. 4 5 7 2x x x    2 314. log 1 logx x  2 2 3 2 3 15. log 7 21 14 2 4 5 x x x x x x        Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 12 PHẦN II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT I. Một số tính chất 1. Tính chất 1. Nếu  y f x đồng biến hoặc nghịch biến trên  ;a b thì phương trình   0f x  có nhiều nhất một nghiệm  ;x a b 2. Tính chất 2. Nếu  ' 0f x  có n nghiệm  ;x a b thì phương trình   0f x  có nhiều nhất 1n  nghiệm  ;x a b 3. Tính chất 3. Nếu      0 ;nf x x a b   hoặc      0 ;nf x x a b   thì phương trình   0f x  có nhiều nhất n nghiệm  ;x a b 4. Tính chất 4. Nếu  y f x đồng biến hoặc nghịch biến trên  ;a b thì      , ;f u f v u v u v a b     Lưu ý : Có thể thay  ;a b bằng      ; , ; , ;a b a b a b II. Phương pháp 1. Dấu hiệu : Một trong hai phương trình của hệ có thể đưa về phương trình đồng bậc (các đại lượng trong phương trình đó có cấu trúc tương đối giống nhau) 2. Thuật toán Bước 1: Tìm điều kiện - Điều kiện thông thường - Điều kiện kéo theo Bước 2: Biến đổi phương trình có cấu trúc tương đối giống nhau về phương trình đồng bậc (Đặt ẩn phụ, chia 2 vế cho một biểu thức nào đó, ) Bước 3: Biến đổi phương trình đồng bậc ở bước 2 về dạng    f u f v bằng cách - Cố định 1 vế, cố định u, suy ra hàm đặc trưng  f t - Biến đổi vế còn lại theo hàm đặc trưng, suy ra v (có thể sử dụng phương pháp đồng nhất) Bước 4: Xét hàm đặc trưng, chứng minh nó luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên miền D (D là miền giá trị của u, v), từ đó ta được u v Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 13  x theo y hoặc y theo x , thế vào phương trình còn lại tìm nghiệm của nó và suy ra nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ minh họa : Giải hệ phương trình :     3 2 3 2 2 2 3 9 22 3 9 1 1 2 2 x x x y y y x y x y               Phân tích : * Dấu hiệu : Phương trình  1 của hệ là phương trình đồng bậc * Tìm điều kiện - Điều kiện thông thường : Không có - Điều kiện kéo theo + Coi phương trình (2) là phương trình bậc 2 ẩn x   2 22 2 2 2 2 1 0x x y y      Điều kiện có nghiệm x là  ' 2 2 3 1 1 2 2 2 1 4 4 3 0 2 2 y y y y y              + Coi phương trình (2) là phương trình ẩn y   2 22 2 2 2 2 1 0y y x x      , điều kiện có nghiệm y là  ' 2 21 2 2 2 1 4 4 3 0 1 3 2 2 x x x x x               * Biến đổi phương trình (1) về dạng    f u f v   3 2 3 21 3 9 3 9 22x x x y y y       - Cố định VT, cố định u x  VT   3 23 9f u u u u     Hàm đặc trưng   3 23 9f t t t t   - VP   3 23 9f v v v v    , do VP là biểu thức bậc 3 ẩn y (cùng bậc hàm đặc trưng) v ay b   , ta được               3 2 3 2 3 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 9 3 9 22 3 3 3 6 3 9 9 3 9 22 1 3 3 3 3 6 9 9 3 9 22 0 1 0 3 3 3 0 1 3 6 9 9 0 2 2 3 9 22 ay b ay b ay b y y y a y a by ab y b a y aby b ay b y y y a y a b a y ab ab a y b b b a a b a a ab ab a v y b b b b                                                         0         Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 14 Như vậy :         3 23 21 3 9 2 3 2 9 2x x x y y y         Lưu ý : Có thể tìm hàm đặc trưng nhờ MTCT * Xét hàm đặc trưng   3 23 9f t t t t   Do 1 3 1 3 ; ; 2 2 2 2 1 5 ; 2 23 1 1 5 ; 2 ; 2 2 2 2 x u x t y v y                                                Ta có :    ' 2 1 5 3 6 9 0 1;3 ; 2 2 f t t t x               Suy ra  f t nghịch biến trên 1 5; 2 2       *      1 2 2 2f x f y x y y x         thay vào (2) rút gọn được phương trình  2 3 1 3 2 2 2 4 0 1 32 2 2 x y x x tm x y                 . Kết luận :     3 1 1 3 ; ; , ; ; 2 2 2 2 x y x y                Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 15 B. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :     3 3 2 2 3 4 2 0 1 1 2 1 2 x y x x y x y y              Giải : ĐK : 1 1 0 2 x y                33 2 3 31 3 3 1 1 1 1x x x x y y x x y y              Xét hàm số   3 ,f t t t t   Ta có :  ' 23 1 0f t t t     , suy ra  f t đồng biến trên Do đó :      1 1 1f x f y x y      Thay 1y x  vào  2 được phương trình 21 1 1 1x x x               1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 x x x x x x x y tm x                         Kết luận : Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất    ; 0;1x y  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :     3 3 2 3 3 4 2 0 1 3 2 2 2 x y y x y x x x y              Giải : ĐK : 2x         33 3 2 31 3 4 2 1 1x x y y y x x y y            Xét hàm số   3 ,f t t t t   Ta có :  ' 23 1 0f t t t     , suy ra  f t đồng biến trên Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 16 Do đó :      1 1 1 1f x f y x y y x         Thay 1y x  vào  2 được phương trình  3 33 2 2 1 8 2 2 2x x x x                    2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 2 2 4 0 2 2 2 2 2 2 2 3 0 2 3 2 2 x x x x x x x x x x x x x x y tm x                                     (Do 2 22 3 0 2 2 2 x x x x x           ) Kết luận : Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất    ; 2;3x y  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình :     3 2 3 2 3 2 2 3 2 1 3 1 3 3 2 2 x x x y y y y x x y               Giải : ĐK : 3 1 3 x y                     3 2 2 3 2 3 2 3 2 1 3 3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 x x x x x x y y y x x x y y y                      Xét hàm số   3 22 3 ,f t t t t t    Ta có :  ' 23 4 3 0f t t t t      , suy ra  f t đồng biến trên Do đó :      1 1 1f x f y x y      , do 1 2 3 3 y x    Thay 1y x  vào  2 được phương trình 33 2 3 3 1x x x x                   3 2 2 2 3 2 1 3 1 3 4 3 1 1 1 4 3 2 1 3 1 3 1 1 4 0 3 2 1 3 1 3 3 2 3 1 1 0 3 2 1 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                

    --- Bài cũ hơn ---

  • Dự Báo Nhu Cầu Sản Phẩm Là Gì?
  • Phương Pháp Giải Các Dạng Toán Hàm Số Bậc Nhất Cơ Bản
  • Nâng Cao Eq – Rút Ngắn Đường Đến Thành Công
  • Quy Trình Thực Hiện 3 Phương Pháp Hạch Toán Nguyên Vật Liệu Trong Kế Toán Thực Tế
  • Tìm Hiểu Về Time Series (Phân Tích Dãy Số Thời Gian) (P.3)
  • Lý Thuyết Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số Toán 9

    --- Bài mới hơn ---

  • Xét Nghiệm Thời Gian Chảy Máu Trong Huyết Học
  • 【2021】3 Loại Xét Nghiệm Đông Máu Và Cách Đọc Hiểu Kết Quả
  • Phương Pháp Trẻ Hóa Da Hoàn Hảo Cho Làn Da Châu Á
  • Công Nghệ Xóa Nhăn – Trẻ Hóa Thermage
  • Nâng Cơ Hifu Có Phải Là Giải Pháp Tốt Nhất Trong Việc Nâng Cơ Xóa Nhăn Hiện Nay?
  • 1. Các kiến thức cần nhớ

    Quy tắc cộng đại số

    Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta sử dụng phương pháp cộng đại số , bao gồm hai bước sau đây :

    Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình của hệ phương trình đả cho để dược một phương trình mới.

    Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ phương trình và giữ nguyên phương trình kia ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.

    2. Các dạng toán thường gặp

    Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

    Phương pháp:

    Từ quy tắc cộng đại số, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số ta làm như sau:

    Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trog hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.

    Bước 2. Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để thu được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn ).

    Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa thu được từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho .

    Dạng 2: Giải hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

    Phương pháp:

    Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đẫ cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .

    Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như ở dạng $1$ .

    Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

    Phương pháp:

    Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung có trong các phương trình của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới.

    Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như ở dạng $1$

    Bước 3.  Trả lại biến đã đặt từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

    Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

    Phương pháp:

    Ta thường sử dụng các kiến thức:

    + Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (left{ begin{array}{l}ax + by = c\a’x + b’y = c’end{array} right.)

    có nghiệm (({x_0};{y_0})) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\a'{x_0} + b'{y_0} = c’end{array} right..)

    + Đường thẳng (d:ax + by = c) đi qua điểm (M({x_0};{y_0}), Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = c.) 

    --- Bài cũ hơn ---

  • Thực Hành Kỹ Thuật Nâng Cơ Trẻ Hóa Da Bằng Chỉ Ultra V Lift
  • Cách Nhận Biết Chỉ Ultra V Lift Căng Da Mặt Chính Hãng
  • Phân Biệt Phương Pháp Uốn/ép Nóng Và Uốn/ép Lạnh Cho Tóc Nam
  • Phương Pháp Tính Trực Tiếp Trên Giá Trị Gia Tăng
  • Kê Khai Và Nộp Thuế Giá Trị Gia Tăng Cho Chi Nhánh, Chi Nhánh Nộp Thuế Gì
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số Và Bài Tập Vận Dụng

    --- Bài mới hơn ---

  • Kinh Nghiệm Để Học Tập Tốt Các Môn Lý Luận Mác
  • Cách Để Học Tốt Các Môn Lý Luận Chính Trị
  • Đánh Giá Hiệu Quả Đổi Mới Phương Pháp Giảng Dạy Các Môn Lý Luận Chính Trị Tại Trường Đại Học Ngoại Thương
  • Rèn Luyện Trí Nhớ: Phương Pháp Lập Nhóm
  • Giải Mã Năng Lực Ghi Nhớ Siêu Tốc Của Các Siêu Trí Tuệ Việt Nam
  • Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như thế nào? Giải hệ bằng phương pháp này có ưu điểm gì so với phương pháp thế hay không? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này.

    I. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

    1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

    – Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

    – Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d):  ax + by = c

    • Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
    • Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

    2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

    + Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: <img title="small left{egin{matrix} ax+by=c a'x + b'y=c' end{matrix}

    + Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

    – Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

    • (d)//(d’) thì hệ vô nghiệm
    • (d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất
    • (d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm

    + Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

    II. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

    1. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số

    a) Quy tắc cộng đại số

    Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm hai bước:

    + Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

    + Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

    b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

    + Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

    + Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

    + Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

    * Ví dụ: Giải các hệ PT bậc nhất 2 ẩn sau bằng PP cộng đại số:

    a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=3 x-y=6 end{matrix}

    b) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 2x+3y=5 2x-y=1 end{matrix}

    * Lời giải:

    a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=3 & (1) x-y=6 &(2) end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 3x=9 x-y=6 end{matrix}

     <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3 x-y=6 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3 y=-3 end{matrix}

    b) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=5 &(1) 2x-y=1 &(2) end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 4y=4 2x-y=1 end{matrix}

     <img title="small left{egin{matrix} y=1 2x-1=1 end{matrix}

    ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} y=1 x=1 end{matrix}

    III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

    * Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bằng PP cộng đại số

    a) <img title="small left{egin{matrix} 3x+y=3 2x-y=7 end{matrix}

    c) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 4x+3y=6 2x+y=4 end{matrix}

    e) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 0,3x+0,5y=3 1,5x-2y=1,5 end{matrix}

    * Lời giải:

    a) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 3x+y=3 2x-y=7 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 5x=10 2x-y=7 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=2 y=-3 end{matrix}

      Lưu ý: Lấy PT(1)+PT(2)

      ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)

    b) <img title="small g_white fn_cm small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 2x+5y=8 2x-3y=0 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 8y=8 2x-3y=0 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=1 x=frac{3}{2} end{matrix}

      Lưu ý: Lấy PT(1)-PT(2)

      ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)

    c) <img title="small left{egin{matrix} 4x+3y=6 2x+y=4 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 4x+3y=6 4x+2y=8 end{matrix}

     <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} y=-2 2x+y=4 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=-2 x=3 end{matrix}

      (lấy PT(1) – PT(2))

      ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)

    d) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=-2 3x-2y=-3 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 6x+9y=-6 6x-4y=-6 end{matrix}

      <img title="small left{egin{matrix} 13y=0 3x-2y=-3 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=0 x=-1 end{matrix}

      (Lấy PT(1)-PT(2))

      ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (-1;0)

    e) <img title="small left{egin{matrix} 0,3x+0,5y=3 1,5x-2y=1,5 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 1,5x+2,5y=15 1,5x-2y=1,5 end{matrix}

      <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 4,5y=13,5 1,5x-2y=1,5 end{matrix}

    ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=3 x=5 end{matrix}

      ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (5;3)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chia Sẻ Mẹo Chơi Ít Người Biết
  • Cách Tạo Dàn Đề Theo Phương Pháp Loại Chạm Đề
  • Giáo Án Nghề Làm Vườn
  • Các Bài Toán Tìm 2 Số Khi Biết Tổng Và Tích.
  • Xác Định Chỉ Số Khúc Xạ
  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Xác Định Giá Đất Cụ Thể Theo Phương Pháp Hệ Số Điều Chỉnh Giá Đất
  • Giá Đất Cụ Thể Xác Định Theo Phương Pháp Hệ Số Điều Chỉnh
  • Phương Pháp Hệ Số Điều Chỉnh Giá Đất
  • Phương Pháp Khử Dạng Vô Định
  • Tiêu Chuẩn Quốc Gia Tcvn 5781:2009 Về Phương Pháp Đo Cơ Thể Người
  • Published on

    Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

    1. 4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Với x = 3 Þy = 1 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;1). Bài ❺: Giải hệ phương trình x y x y x x y y 2 3 3 (1) 3 3 2 1 3 2 2 0 (2) 2 2 2 ìï – – = – ïïíï + – – – + = ïï î Lời giải: Điều kiện – £ £ ïíï x y ìï 1 1 0 2 £ £ ïî Khi đó: ( ) ( ) 3 2 (1)Û x 3 -3x -2 = y3 -3y2 Û x +1 -3 x +1 = y3 -3y2 Û f (x +1) = f (y) với f (t ) = t 3 -3t . f ‘(t ) = 3t 2 -3 £ 0″t Î [-1;1] . Hàm số nghịch biến trên (-1;1) Nên (1)Û x = y -1. Thay vào (2) ta được phương trình: ( ) ( )2 2 2 x + 1-x -3 2 x +1 – x +1 +2 = 0 2 2 Û x -2 1-x +2 = 0 Û + = – Û = x x x 2 2 2 1 2 (*) 0 Do 2 (*) 2 (*) 2 2 2 1 2 VT VP x x = = ìï + ³ ïïíï – £ ïï î . Với x = 0 Þy = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;1). Bài ❻: Giải hệ phương trình x x y y x x y y 12 6 16 0 (1) 3 3 2 4 2 2 4 2 5 4 2 2 0 (2) ìï – – + – = ïïíï + – – – + = ïï î Lời giải: Điều kiện – £ x £ £ ïî ïíï y £ ìï 2 2 0 4 ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 4
    2. 16. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ìï ïï ìï £ 2 ïï £ 2 Û ïï í 3 Û ïï í 3 îï – + = – îï – = x x x x x x x x 9 3 12 4 4 2 10 2 12 0 2 3 0 1 ( ) 2 5 6 0 x y x x ìïï ïï £ Û Û = Þ = íïï – = ïï î Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;1) . Bài ⓱: Giải hệ phương trình x y x y y y x y xy x x xy y y 2 2 5 2 0 (1) 1 2 2 1 (2) 2 2 2 2 2 2 2 ìï – – + – = ïïíï + + – = – + – + + + ïï î Lời giải: Điều kiện 0 x y y 0 ìï – ³ ïíï ³ ïî Khi đó: 2 2 (2)Û y 2 +1- y -y 2 = ( x -y ) +1- x -y – ( x -y ) Û f (y) = f (x -y) . Với f (t) = t2 +1- t -t2,t ³ 0 ( ) 2 1 1 = – – £ – – < 2 2 0 1 2 ‘ 2 t t t t t t f t t + . Hàm số đồng biến trên (0;+¥) Nên (1)Û y = x -y Û x = 2y thay vào (1) ta được: 3 2 4y -10y +5y -2 = 0 ( 2)(4 2 2 1) 0 Û y – y – y + = Û y = 2 Þ x = 4 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;2) . ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 16
    3. 17. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ïï ìï æ ÷ö ïïï ÷ï + – + + – = çç y y + í è ç çç + + ÷÷÷ ø ( x y )( x 2 xy y 2 ) 2 Bài ⓲: Giải hệ phương trình 2 x ïî 5 y – xy – = 9 2 6 ln (1) 9 x x 3 1 0 (2)  Phân tích và hướng giải: Phương trình thứ 2 của hệ dường như ta khó tìm hàm đặc trưng nên ta cố gắng tìm hàm đặc trưng ở phương trình (1) Ta có: (1)Û x 3 -y3 -2(x -y) = 6 ln(y + y2 + 9)-6 ln(x + x 2 + 9) Û x 3 -2x +6ln(x + x 2 +9) = y3 -2y + ln(y + y2 +9) Hàm đặc trưng: f (t) = t 3 -2t + 6 ln(t + t 2 +9) Việc giải quyết phương trình (2) có đôi chút phiền phức. Các bạn hãy thử chứng minh phương trình x 6 -3×2 -1 = 0 chỉ có nghiệm trong (0; 2) và dùng lượng giác để tìm nghiệm phương trình bằng các đặt 2 2 cos , 0; çè x = t t Î æç ç ç pö÷÷ 2 ø ÷ ÷ . 4 4 x x y y x x y y y 1 1 2 (1) 2 1 6 1 0 (2) Bài ⓳: Giải hệ phương trình ( ) 2 2 ìï + + – – + = ïïíï + – + – + = ïï î  ( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2013) Lời giải: Điều kiện x ³1 Khi đó 4 4 (1)Û x +1 + x -1 = y + y +2 ( ) 4 ( ) ( ) Û 4 x – + + 4 x – = y ++ y 4 + Û 4 – = 1 2 1 2 1 f x f y 2 3 Với f (t) = t + t 4 +2 . ( ) 4 ‘ 1 2 t f t t = + + ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 17
    4. 19. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Từ phương trình 2 2 (2 Þçç æç 1 ÷ö æç 1 ÷ö x – +÷ø ÷÷ çç y + ÷÷ = çè èç ÷ø ) 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 x x x y y y ìï ï – £ ìï ìï ïï ïï- £ £ ïï- £ – £ Þíï Û íï Û ïí ïï ïï ïï ï + £ ï- £ £ ï- £ + £ ï ï ï î î ïî Xét hàm số f (t) = t 3 -12t trên é ê- 3 3 ù êë ; ú 2 2 úû 3 3 . ( ) 3 2 12 0 ; 2 2 f ‘ t t t é ù = – < ” Î ê- ú êë úû Hàm số nghịch biến trên é ê- 3 3 ù êë ; ú 2 2 úû Nên (1) Û x -1 = y +1 Û y = x -2 thay vào (2) ta được phương trình: 2 1 ( )2 2 2 2 x + x – -x +x – = ê = Û – + = Û êê 2 3 éê 3 2 2 4 0 2 1 2 x x x êë x = Với 1 x = Þy = – , với 1 3 2 3 2 x = Þy = – 2 2 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( ) 3 1 1 3 ; ; ; ; 2 2 2 2 x y æç ö÷ çæ ö÷ = çç – ÷÷ çç – ÷÷ çè ø÷ çè ø÷ . 2) Hàm đặc trưng được xác định sau khi thực hiện các phép biến đổi giữa các phương trình Bài ❶: Giải hệ phương trình x x y y y x 3 2 2 3 (1) 3 2 2 3 (2) ìï + + = + ïïíï + + = + ïï î ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 19
    5. 22. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ( )2 2 5 1 1 2 2 y + +y y + = y + Û y y 2 + = – y ìï ïï ìï £ ïï £ Û íï Û íï Û = Û = ± ïï + = – + ïï îï ï ï = îï Với 3 5 3 1 2 3 3 2 2 9 3 y y 2 2 9 9 16 4 1 3 4 ( ) 2 2 2 2 4 2 4 4 y y y y y y y y = Þ x = ,với 3 1 4 2 y = – Þ x = – (thỏa mãn điều kiện) 4 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm ( ) 5 3 1 3 ; ; ; ; 2 4 2 4 x y æç ö÷ çæ ö÷ = çç ÷÷ çç- – ÷÷ çè ø÷ çè ø÷ . Bài ❺: Giải hệ phương trình x x x y y x y x y 2 2 2 2 2 5 3 4 (1) 3 3 1 0 (2) ìï + – + = + + ïïíï – – + + = ïï î  Phân tích và hướng giải: Sự xuất hiện những căn thức cho chúng ta những cơ sở để tìm hàm đặc trưng Nhận thấy ( )2 2 x -2x +5 = x -1 + 4 và 2 y + 4 nên ta tìm hàm f sao cho f (x -1) = f (y) . Mặt khác khi ta cộng phương trình (1) với phương trình (2) : ( )2 x +x2 -2x +1 = x -1 và 2 2 3y +y -3y = y thì hàm đặc trưng sẽ xuất hiện Cộng từng vế phương trình (1) với phương trình (2) ta được phương trình : ( ) ( ) 2 2 2 2 x -1 + x -1 +4 = y + y +4 Hàm đặc trưng: f (t) = t2 + t2 + 4 ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 22
    6. 23. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Nghiệm ( ) 3 1 ; ; 2 2 x y æç ö÷= çç ÷÷÷ çè ø . Bài ❻: Giải hệ phương trình y xy x x x y x y xy y x 3 17 27 3 13 (1) 3 3 2 2 2 6 5 10 0 (2) ìï + – + = – + ïíï + + – – + = ïî  Phân tích và hướng giải: Nhìn thoáng qua phương trình (1) của hệ có dạng hàm bậc 3 quen thuộc. Nhưng chỉ có điều biểu thức 3xy làm mất sự độc lập của hai ẩn nên ta có gắng làm mất biểu thức đó. Mặt khác, ở phương trình (2) cũng xuất hiện biểu thức xy nên chúng ta muốn tiêu biến 3xy ở phương trình trên thì ta lấy phương trình (1) – 3(2) khi đó ta được: 3 2 3 y -3y + 5y -3 = x +2x Nhìn vào biểu thức trên việc chọn hàm đặc trưng dễ nhận thấy, chúng ta lấy biểu thức đơn giản để chọn hàm đặc trưng 3 x +2x khi đó ( ) ( ) 3 y3 -3y2 +5y -3 = y -1 +2 y -1 Hàm đặc trưng: f (t ) = t 3 +2t Nghiệm ( ) ( ) 2 5 ; 2;3 ; ; 3 3 x y æç ö÷= çç ÷÷÷ çè ø . Bài ❼: Giải hệ phương trình x xy y y 5 4 10 6 2 (1) x y 4 5 8 6 (2) ìï + = + ïïíï + + + = ïï î  Phân tích và hướng giải: Đây là bài toán có khác nhiều trong các tìa liệu tham khảo. Mặc dù hàm đặc trưng không có sự độc lập của x và y nhưng số mũ ở phương trình (1) cho chúng ta suy nghĩ đến việc chia cho biểu thức (dạng đẳng cấp). ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 23
    7. 24. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Chia như thế nào. Chú ý phương trình (1) biểu thức x 5 +xy4 đẳng cấp bậc 5 nên ta chia hai vế phương trình (1) cho y5 được: 5 çè æç ÷öçç x ÷÷ + x = 5 + ÷ ø y y y y Hàm đặc trưng: f (t ) = t 5 +t Nghiệm (x;y) = (1;1);(1;-1) . 2 3 6 4 x y y x x x y x 2 2 (1) Bài ❽: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 1 1 (2) ìï + = + ïïíï + + = + ïï î  Phân tích và hướng giải: Tương tự như Bài ❼, ta chia 2 vế phương trình (1) cho x 3 ta được: 3 çè æç ö÷çç y ÷÷ + y = + ø ÷ 2 3 2 x x x x Hàm đặc trưng: f (t ) = t 3 +2t Nghiệm:… Bài ❾: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 3 x y x y 2 3 8 (1) 3 2 6 (2) ìï + = ïïíï – = ïï î  Phân tích và hướng giải: y x Đem lại sự cô lập hai ẩn bằng cách đưa hệ về dạng 3 3 8 2 3 (1 ) 6 2 (2 ) y x ìïï ¢ + = ïïíïï ¢ – = ïïî 3 æç ÷ö æç ö÷ Þ + = çç ÷÷ +çç ÷÷ çè ÷ø èç ø÷ (1′) (2′) 3 2 2 y 3y x x + Hàm đặc trưng: f (t) = t 3 + 3t ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 24

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đồ Án Số Hóa Tín Hiệu Và Kỹ Thuật Nén Ảnh Số Ứng Dụng Trong Truyền Hình Số
  • Chương 3 Xác Định Địa Điểm Và Bố Trí Mặt Bằng Phân Xưởng
  • Phương Pháp Gọi Số Hạng Vắng Ppgoisohangvang Doc
  • Phương Pháp Bảo Toàn Số Mol Electron Pp Bao Toan Mol Electron Doc
  • Một Hướng Suy Nghĩ Về Phương Pháp Bảo Toàn Số Mol Electron
  • Phương Pháp Lặp Giải Hệ Phương Tuyến Tính Số Chiếu Lớn

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuong 2 Dai So Tuyen Tinh 2
  • Cách Chia Đa Thức Bằng Lược Đồ Hoocner Hay
  • Phương Pháp Quản Lý Tiền Jars Cho Cá Nhân
  • Phương Pháp Lặp Trong Giải Toán Bằng Máy Tính Casio
  • Just In Time (Jit): Không Tồn Kho, Không Chờ Đợi, Không Chi Phí
  • BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

    TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

    VŨ THỊ VUI

    PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

    SỐ CHIỀU LỚN

    LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

    Hà Nội – 2022

    BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

    TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

    VŨ THỊ VUI

    PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

    SỐ CHIỀU LỚN

    Chuyên ngành: Toán giải tích

    Mã số: 60 46 01 02

    LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

    Người hướng dẫn khoa học:

    TS. Hà Bình Minh

    Hà Nội – 2022

    Lời cảm ơn

    Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

    sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Hà Bình Minh. Sự giúp đỡ và hướng

    dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn

    này đã giúp tôi trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn

    đề mới. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với

    thầy.

    Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà

    Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp đỡ,

    tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập.

    Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ,

    động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học Thạc sĩ

    cũng như hoàn thành luận văn này.

    Hà Nội, ngày 09 tháng 06 năm 2022

    Tác giả

    Vũ Thị Vui

    Lời cam đoan

    Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

    sự hướng dẫn của TS. Hà Bình Minh.

    Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

    Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa

    những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự

    trân trọng và biết ơn.

    Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được

    chỉ rõ nguồn gốc.

    Hà Nội, ngày 09 tháng 06 năm 2022

    Tác giả

    Vũ Thị Vui

    i

    i

    Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    1

    Chương 1. Một số phương pháp lặp cổ điển . . . . . . . . . . . . . . .

    3

    1.1. Phương pháp Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    3

    1.1.1. Giới thiệu phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    3

    1.1.2. Điều kiện hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    5

    1.1.3. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    6

    1.2. Phương pháp Gauss – Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    8

    1.2.1. Giới thiệu phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    8

    1.2.2. Điều kiện hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    9

    1.2.3. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    11

    Chương 2. Các phương pháp Krylov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    14

    2.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    14

    2.2. Phương pháp Gradient liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    16

    2.2.1. Giới thiệu phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    16

    2.2.2. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    21

    2.3. Phương pháp GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    22

    2.3.1. Giới thiệu phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    22

    2.3.2. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    25

    2.4. Phương pháp QMR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    27

    2.4.1. Giới thiệu phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    27

    2.4.2. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    32

    2.5. Phương pháp Bi-CGSTAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    34

    2.5.1. Giới thiệu phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    34

    2.5.2. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    37

    ii

    Chương 3. Ứng dụng của phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . .

    39

    3.1. Ứng dụng trong giải phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    39

    3.2. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    41

    Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    43

    Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    44

    Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    45

    1

    Mở đầu

    1. Lí do chọn đề tài

    Nhiều bài toán trong thực tế đòi hỏi phải giải hệ phương trình tuyến

    tính cỡ lớn có dạng Ax b, trong đó A là ma trận có số chiều lớn và

    thưa (tức là chỉ có một số ít các phần tử khác 0). Chẳng hạn, những hệ

    phương trình này xuất hiện ta giải bài toán biên của phương trình đạo

    hàm riêng bằng các phương pháp rời rạc hóa, như phương pháp sai phân

    hoặc phương pháp phần tử hữu hạn. Những phương pháp cổ điển để giải

    hệ phương trình tuyến tính, chẳng hạn như phương pháp khử Gauss, sẽ

    rất khó có thể áp dụng để giải những hệ này. Lý do là vì phương pháp khử

    Gauss được áp dụng cho ma trận đặc và khi áp dụng cho ma trận thưa sẽ

    làm cho số phép toán trở nên rất lớn, không thể thực hiện nổi đối với máy

    tính thông thường. Hơn nữa, số lượng bộ nhớ sử dụng cho phương pháp

    Gauss cũng trở nên rất lớn.

    Với những lý do nêu trên, phương pháp lặp giải hệ phương trình tuyến

    tính cỡ lớn được nghiên cứu từ lâu. Theo phương pháp này, bắt đầu từ

    một vector khởi tạo xp0q , ta sẽ sinh ra một dãy các vector

    xp0q

    Ñ xp1q Ñ xp2q Ñ . . .

    hội tụ đến nghiệm x. Quá trình sinh vector xpk 1q từ vector xpkq sử dụng

    phép nhân ma trận A với một vector nào đó. Phép nhân này rất tiết kiệm

    do A là ma trận thưa và chỉ cần số ít bộ nhớ để lưu trữ. Hai phương pháp

    lặp được biết đến nhiều nhất theo hướng này là phương pháp Jacobi và

    phương pháp Gauss-Seidel.

    Bên cạnh đó, một lớp các phương pháp lặp được phát triển trong thời

    gian gần đây là lớp các phương pháp Krylov. Đặc trưng của lớp các phương

    pháp này quá trình lặp sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác sau một số hữu hạn

    bước lặp. Cụ thể, quá trình lặp sẽ cho nghiệm xpkq sẽ là xấp xỉ tốt nhất

    2

    nghiệm của hệ Ax b trong không gian Krylov k chiều. Một số phương

    pháp lặp thuộc lớp này phải kể đến là: phương pháp gradient liên hợp của

    Hestenes và Stiefel (1952) cho hệ tuyến tính có ma trận A đối xứng xác

    định dương; phương pháp GMRES của Saad và Schultz (1986); phương

    pháp QMR của Freund và Nachtigal (1991); và phương pháp Bi-CGSTAB

    của van der Vorst (1992).

    2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

    Khảo cứu một số phương pháp lặp dùng để giải hệ phương trình tuyến

    tính cỡ lớn, và áp dụng để nghiệm số cho phương trình đạo hàm riêng.

    3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

    Hệ phương trình tuyến tính cỡ lớn, phương trình vi phân đạo hàm riêng.

    4. Phương pháp nghiên cứu

    Sử dụng các phương pháp giải số, ngôn ngữ lập trình MATLAB,…

    5. Đóng góp mới của đề tài

    Áp dụng phương pháp lặp để giải hệ phương trình tuyến tính cỡ lớn, sau

    đó lập trình, thực hiện các phương pháp này bằng phần mềm MATLAB.

    3

    CHƯƠNG 1

    Một số phương pháp lặp cổ điển

    Nội dung của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu , mục

    8.7.

    2.1. Giới thiệu

    Xét hệ phương trình tuyến tính

    Ax b,

    với A là ma trận thực không suy biến. Bắt đầu từ một vector xp0q , phương

    pháp Krylov sẽ sinh ra một dãy các vector

    xp0q

    Ñ xp1q Ñ Ñ xpmq,

    tiến tới nghiệm chính xác xpmq

    m ¤ n.

    x : A1b sau nhiều nhất m bước, với

    Các Phương pháp Krylov: sử dụng phép lặp để sinh ra dãy txpkq u

    thỏa mãn

    xpkq

    P xp0q

    Kk prp0q , Aq, với mọi k

    1, 2, . . . ,

    trong đó Kk prp0q , Aq là không gian Krylov được định nghĩa như sau:

    Kk prp0q , Aq : spanrrp0q , Arp0q , . . . , Ak1 rp0q s, k

    1, 2, . . .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Dây Chuyền Máy Làm Giò Chả
  • Những Phương Pháp Giúp Chả Lụa Tự Làm Trở Nên Dai Ngon Hơn
  • Học Cách Làm Chả Lụa Ngon, Giòn Dai, Không Hàn The
  • Bạn Đã Biết Gì Về Phương Pháp In Chuyển Nhiệt Và In Lưới?
  • Các Phương Pháp In Ấn Kỹ Thuật Trên Vải Lụa
  • Giải Bài Tập Hóa Bằng Phương Pháp Quy Đổi

    --- Bài mới hơn ---

  • Hình Thức Quản Lý Nhà Nước Theo Pháp Luật Hành Chính
  • Phương Pháp Quản Lý Thời Gian Bằng To Do List
  • “Bỏ Túi” Cách Quản Lý Thời Gian Hiệu Quả Trong Công Việc
  • Sóng Cao Tần Rfa Là Gì ? Utuyengiap.com
  • Những Dấu Hiệu Mang Thai Con Trai Chính Xác Đến 99%
  • Phương pháp giải bài tập hóa

    Nguyên tắc của phương pháp quy đổi là biến đổi toán học để đưa bài toán ban đầu là một hỗn hợp phức tạp về dạng đơn giản hơn qua đó việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn. Các bạn xem nội dung phương pháp trên trang Web hoặc có thể tải về cả bài tập áp dụng dạng PDF ở cuối trang

    Tác giả bài viết:

    Phạm Ngọc Dũng

    Nguồn tin: Thầy Phạm Ngọc Dũng

    Từ khóa:

    phương pháp giải bài tập hóa, phương pháp quy đổi

    Đánh giá bài viết

    Tổng số điểm của bài viết là: 316 trong

    77

    đánh giá

    Được đánh giá

    4.1

    /

    5

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp “Quả Cà Chua” Pomodoro: Chìa Khoá Giải Quyết Bài Toán Năng Suất Khi Làm Việc Từ Xa
  • Lý Thuyết Phản Ứng Oxi Hóa Khử Lớp 10 Và Giải Bài Tập Sgk Trang 83
  • Giới Thiệu Kỹ Thuật Pcr
  • Kỹ Thuật Pcr (Phần 1)
  • Phương Pháp Hỗ Trợ Điều Trị Viêm Âm Đạo Hiệu Quả
  • Giải Bài Tập Este Bằng Phương Pháp Quy Đổi

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Về Phương Pháp Quy Đổi Hay Và Khó
  • Skkn.phương Pháp Quy Đổi Nguyên Tử .phan Thọ Nhật
  • Chuyên Đề Peptit Hay Và Khó
  • 7 Giáo Trình Thiết Kế Trang Phục 5 Z
  • Giải Đề Minh Họa Bằng “quy Đổi”
  • Giải Bài Tập Este Bằng Phương Pháp Quy Đổi, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Violet, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số, Bài 4 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Giải Bài Tập Bằng Phương Pháp Bảo Toàn Electron, Ngữ Pháp Và Giải Thích Ngữ Pháp Tiếng Anh Vũ Mai Phương, Phương Trình Este, Đốt Sùi Mào Gà Chi Phí Bao Nhiêu Và Bằng Phương Pháp Gì ạ, Bai 6 Phuong Phap Nhan Giong Bang Hat, Phương Pháp Giải Toán 8, Bài Giải Phương Pháp Tính, Phương Pháp Giải Bài Tập ăn Mòn Kim Loại, Phương Pháp Giải Bài Toán Hỗn Hợp, Xử Lý Nước Thải Bằng Phương Pháp Sinh Học, Chuyển Gen Trực Tiếp Bằng Phương Pháp Bắn Vi Đạn, Chuyển Grn Trực Tiếp Bằng Phương Pháp Bắn Vi Đạn, Tiết 12 Phương Pháp Nhân Gióng Bằng Hạt, ưu Điểm Của Phương Pháp Nhân Giống Bằng Hạt Là, Giải Bài Tập Phương Pháp Thuyết Minh, Sách 16 Phương Pháp Giải Nhanh Hóa Học, Các Phương Pháp Giải Toán Qua Các Kì Thi Olympic, Phương Pháp Giải Các Bài Toán Trong Tin Học, Giải Bài Tập Este, Pp Giải Bài Tập Este, Giải Bài Tập Este Lớp 12, Phương án Giải Phóng Mặt Bằng, Phương Pháp Tìm Kiếm Tài Liệu Hiệu Quả Bằng Google, Hãy Kể Tên 5 Loại Thức ăn Của Vật Nuôi Được Dự Trữ Bằng Phương Pháp Làm , Hãy Kể Tên Một Số Món ăn Được Chế Biến Bằng Phương Pháp Không Sử Dụng Nh, Nghiên Cứu Và Bào Chế Liposome Bằng Phương Pháp Pha Loãng Ethanol, Phương Pháp Giải Bài Toán Nhiệt Nhôm, Những Lưu ý Khi Giải Bài Tập Este, Bài Tập Tự Luận Este Có Lời Giải, Giải Bài Tập Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Giải Bài Tập Bằng Cách Lập Phương Trình, Phân Tích Este X Người Ta Thu Được Kết Quả C = 40 Và H = 6 66. Este X Là, Bài Thu Hoạch Giải Pháp Phát Triển Kinh Tế Văn Hóa Xã Hội ở Địa Phương, Phân Dạng Và Phương Pháp Giải Các Chuyên Đề Hình Học 10 , Thực Trạng Và Giải Pháp Phát Triển Đội Ngũ Cán Bộ ở Đia Phương, Giải Pháp Khắc Phục Lỗi Chính Tả Phương Ngữ Cho Học Sinh Lớp 4 Và Lớp 5, Hai Phương Pháp Sản Xuất Giá Trị Thặng Dư Và ý Nghĩa Của Việc Phát Huy Hai Phương Pháp Đó Trong Nền , Hai Phương Pháp Sản Xuất Giá Trị Thặng Dư Và ý Nghĩa Của Việc Phát Huy Hai Phương Pháp Đó Trong Nền , Hai Phương Pháp Sản Xuất Giá Trị Thặng Dư Và ý Nghĩa Của Việc Phát Huy Hai Phương Pháp Đó Trong Nền, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 5 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6+7 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 5 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình 9, Thiết Kế Kết Cấu Btct Chịu Động Đất Bằng Phương Pháp Kiểm Soát Hư Hại, Khóa Luận Bằng Chứng Kiểm Toán Và Phương Pháp Thu Thập, Thuc Trang Va Giai Phap Ve Cai Cach Hanh Chinh Tai Dia Phuong, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Bài Giảng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 1 Este Giải Bài Tập Sách Giáo Khoa, Giải Bài Tập Este Sách Giáo Khoa, Hiệu Quả Điều Trị Thoái Hóa Khớp Gối Bằng Phương Pháp Cấy Chỉ Catgut Kết Hợp Với Bài Thuốc Độc Hoạt, Thực Hành Đo Bước Sóng ánh Sáng Bằng Phương Pháp Giao Thoa Lí Lớp 12, Hiệu Quả Điều Trị Thoái Hóa Khớp Gối Bằng Phương Pháp Cấy Chỉ Catgut Kết Hợp Với Bài Thuốc Độc Hoạt , Hoạt Tính Tổng Của Enzyme Bromelain (tu) Bằng Phương Pháp Kunitz Cải Tiến., Báo Cáo Thực Hành Đo Bước Sóng ánh Sáng Bằng Phương Pháp Giao Thoa Lớp 12, Báo Cáo Thực Hành Đo Bước Sóng ánh Sáng Bằng Phương Pháp Giao Thoa, Xây Dựng Phương Pháp Định Lượng Rotundin Trong Củ Bình Vôi Tươi Bằng Sắc Ký Lớp Mỏng Kết Hợp Đo Mật, Xây Dựng Phương Pháp Định Lượng Rotundin Trong Củ Bình Vôi Tươi Bằng Sắc Ký Lớp Mỏng Kết Hợp Đo Mật , Giải Pháp Nâng Cao Hiệu Quả Hoạt Động Của Đội Ngũ Lãnh Đạo Cấp Phòng Tại Địa Phương/Đơn Vị Công Tác, Thuc Trang Va Giai Phap Cong Tac Cai Cach Hanh Chinh Tai Dia Phuong Cap Huyen, Phương Hướng, Giải Pháp Cơ Bản Phòng, Chống ‘diễn Biến Hòa Bình’, Bạo Loạn Lật Đổ?, Giải Pháp Nâng Cao Hiệu Quả Hoạt Động Của Đội Ngũ Lãnh Đạo Cấp Phòng Tại Địa Phương/Đơn Vị Công Tác , Tiểu Luận Giải Pháp Nâng Cao Hiệu Quả Hoạt Động Của Đội Ngũ Lãnh Đạo Cấp Phòng Tại Địa Phương/Đơn Vị, Hãy Phân Tích Phương Hướng Giải Pháp Cơ Bản Phòng Chống Diễn Biến Hòa Bình Bạo Loạn Lật Đổ, Phương Hướng Nhiệm Vụ Giải Pháp Công Tác Xây Dựng Đảng Nhiệm Kỳ Đại Hội Xiii, Cơ Sở Lý Luận Về Bằng Chứng Kiểm Toán Và Các Phương Pháp Thu Thập Bằng Chứng Kiểm Toán, Muc Tieu Phuong Cham Giai Phap Phong Chong Chong Dich Loi Dung Dan Toc Ton Giao , Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 6, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8 Tập 1, Phương Pháp Giải Toán Qua Các Bài Toán Olympic, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán Lớp 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình,

    Giải Bài Tập Este Bằng Phương Pháp Quy Đổi, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Violet, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số, Bài 4 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Giải Bài Tập Bằng Phương Pháp Bảo Toàn Electron, Ngữ Pháp Và Giải Thích Ngữ Pháp Tiếng Anh Vũ Mai Phương, Phương Trình Este, Đốt Sùi Mào Gà Chi Phí Bao Nhiêu Và Bằng Phương Pháp Gì ạ, Bai 6 Phuong Phap Nhan Giong Bang Hat, Phương Pháp Giải Toán 8, Bài Giải Phương Pháp Tính, Phương Pháp Giải Bài Tập ăn Mòn Kim Loại, Phương Pháp Giải Bài Toán Hỗn Hợp, Xử Lý Nước Thải Bằng Phương Pháp Sinh Học, Chuyển Gen Trực Tiếp Bằng Phương Pháp Bắn Vi Đạn, Chuyển Grn Trực Tiếp Bằng Phương Pháp Bắn Vi Đạn, Tiết 12 Phương Pháp Nhân Gióng Bằng Hạt, ưu Điểm Của Phương Pháp Nhân Giống Bằng Hạt Là, Giải Bài Tập Phương Pháp Thuyết Minh, Sách 16 Phương Pháp Giải Nhanh Hóa Học, Các Phương Pháp Giải Toán Qua Các Kì Thi Olympic, Phương Pháp Giải Các Bài Toán Trong Tin Học, Giải Bài Tập Este, Pp Giải Bài Tập Este, Giải Bài Tập Este Lớp 12, Phương án Giải Phóng Mặt Bằng, Phương Pháp Tìm Kiếm Tài Liệu Hiệu Quả Bằng Google, Hãy Kể Tên 5 Loại Thức ăn Của Vật Nuôi Được Dự Trữ Bằng Phương Pháp Làm , Hãy Kể Tên Một Số Món ăn Được Chế Biến Bằng Phương Pháp Không Sử Dụng Nh, Nghiên Cứu Và Bào Chế Liposome Bằng Phương Pháp Pha Loãng Ethanol, Phương Pháp Giải Bài Toán Nhiệt Nhôm, Những Lưu ý Khi Giải Bài Tập Este, Bài Tập Tự Luận Este Có Lời Giải, Giải Bài Tập Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Giải Bài Tập Bằng Cách Lập Phương Trình, Phân Tích Este X Người Ta Thu Được Kết Quả C = 40 Và H = 6 66. Este X Là, Bài Thu Hoạch Giải Pháp Phát Triển Kinh Tế Văn Hóa Xã Hội ở Địa Phương, Phân Dạng Và Phương Pháp Giải Các Chuyên Đề Hình Học 10 , Thực Trạng Và Giải Pháp Phát Triển Đội Ngũ Cán Bộ ở Đia Phương, Giải Pháp Khắc Phục Lỗi Chính Tả Phương Ngữ Cho Học Sinh Lớp 4 Và Lớp 5, Hai Phương Pháp Sản Xuất Giá Trị Thặng Dư Và ý Nghĩa Của Việc Phát Huy Hai Phương Pháp Đó Trong Nền , Hai Phương Pháp Sản Xuất Giá Trị Thặng Dư Và ý Nghĩa Của Việc Phát Huy Hai Phương Pháp Đó Trong Nền , Hai Phương Pháp Sản Xuất Giá Trị Thặng Dư Và ý Nghĩa Của Việc Phát Huy Hai Phương Pháp Đó Trong Nền, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 5 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình,

    --- Bài cũ hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Gd Cd: Gt Lý Luận Về Nhà Nước Và Pháp Luật Ly Luan Ve Nha Nuoc Va Phap Luat 0832 8584 Doc
  • 18 Câu Trắc Nghiệm Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Bài Tập Chứng Minh Quy Nạp
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100