Phương Pháp Euler

Tổng hợp các bài viết thuộc chủ đề Phương Pháp Euler xem nhiều nhất, được cập nhật mới nhất ngày 26/01/2021 trên website Cuocthitainang2010.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung Phương Pháp Euler để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Cho đến thời điểm hiện tại, chủ đề này đã đạt được 9.999 lượt xem.

Có 11 tin bài trong chủ đề【Phương Pháp Euler】

【#1】Phương Pháp Điều Khiển Thích Nghi, Bền Vững Hệ Euler

, ZALO 0932091562 at BÁO GIÁ DV VIẾT BÀI TẠI: chúng tôi

Published on

Download luận án tiến sĩ ngành kĩ thuật với đề tài: Nghiên cứu xây dựng phương pháp điều khiển thích nghi, bền vững hệ euler – lagrange thiếu cơ cấu chấp hành và áp dụng cho cẩu treo, cho các bạn làm luận án tham khảo

  1. 2. Công trình được hoàn thành tại TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: 1 – chúng tôi Nguyễn Doãn Phước 2 – TS. Đỗ Trung Hải Phản biện 1:…………………………………… Phản biện 2:…………………………………… Phản biện 3:…………………………………… Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Thái Nguyên họp tại………………………………………………. Vào hồi……. giờ…….. tháng……. năm…….. Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện Quốc gia, thư viện Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên hoặc Trung tâm học liệu của Đại học Thái Nguyên.
  2. 3. 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu về công trình nghiên cứu, lý do lựa chọn đề tài Hệ Euler-Lagrange (EL) nói chung và cẩu treo nói riêng với mô hình biến khớp là lớp hệ thường gặp nhất trong thực tế ở các lĩnh vực cơ khí, cơ điện tử. Giống như ở các hệ có mô hình trạng thái, mô hình hệ EL cũng mang đầy đủ các tính chất khách quan như không tuyệt đối chính xác, thường được lý tưởng hóa là không có nhiễu khi xây dựng mô hình. Bởi vậy bài toán thiết kế, xây dựng bộ điều khiển cho hệ EL trên nền tảng không có được sự chính xác của mô hình, cũng như phải tính tới sự tác động của nhiễu, mà vẫn đảm bảo chất lượng điều khiển đặt ra, luôn có ý nghĩa ứng dụng lớn. Cẩu treo là thiết bị công nghiệp được sử dụng rất rộng rãi trong thực tế. Khi cẩu treo di chuyển khá nhanh thì tải trọng có thể bị đung đưa và quá trình hoạt động của cẩu treo có thể bị mất điều khiển tải. Trong nhiều thập kỷ qua, các nhà nghiên cứu đã thực hiện nhiều nghiên cứu khác nhau về việc điều khiển tải trọng giống như quả lắc nhưng ứng dụng ở Việt Nam thì chủ yếu vẫn là điều khiển vòng hở. Cho tới ngày nay các cẩu treo đa phần vẫn hoạt động thủ công bằng tay và theo kinh nghiệm của người vận hành là chủ yếu. Nhưng khi kích thước của cẩu treo trở lên lớn hơn và tốc độ vận chuyển hàng đòi hỏi nhanh hơn thì việc vận hành thủ công này sẽ gặp khó khăn. Cẩu treo mang đặc điểm của hệ hụt cơ cấu chấp hành khi không thể can thiệp trực tiếp để điều khiển góc lệch giữa dây treo và phương thẳng đứng khi tải trọng đung đưa. Đồng thời, hệ phương trình trạng thái điều khiển cho hệ thống cẩu treo với chiều dài cáp biến đổi là phi tuyến và liên kết cao. Bên cạnh đó, những thành phần
  3. 4. 2 bất định gây nhiều khó khăn cho việc thiết kế bộ điều khiển đảm bảo chất lượng điều khiển. Để nâng cao hiệu quả cũng như khả năng đáp ứng các yêu cầu khắt khe như đã nêu ở trên, việc thiết kế bộ điều khiển thích nghi bền vững cho cẩu treo được tác giả đề cập đến trong luận án. Đề tài nghiên cứu lý thuyết về điều khiển hệ thống hụt cơ cấu chấp hành; thiết kế bộ điều khiển trượt bậc cao cho hệ cẩu treo nhằm phát huy được ưu điểm của bộ điều khiển trượt là khả năng ổn định tiệm cận bền vững cho đối tượng bất định, đồng thời cải thiện được nhược điểm của bộ điều khiển trượt sử dụng relay là hiện tượng chattering sinh ra trong quá trình trượt. Đề tài tập trung nghiên cứu về điều khiển thích nghi bền vững hệ Euler-Lagrange thiếu cơ cấu chấp hành nói chung có tham số mô hình không xác định được cũng như có nhiễu tác động, từ đó đề xuất các bộ điều khiển bám bền vững cho hệ và áp dụng vào hệ cẩu treo 3D nói riêng. 2. Mục tiêu của đề tài Mục tiêu của luận án là hướng tới việc phát triển và bổ sung tính thích nghi bền vững cho các bộ điều khiển hệ Euler-Lagrange thiếu cơ cấu chấp hành để hệ bám theo được quỹ đạo biến khớp mong muốn cho trước, trong khi mô hình của hệ có chứa các tham số bất định và hệ còn bị nhiễu tác động ở đầu vào. Tính thích nghi của bộ điều khiển được xác định là chất lượng bám không bị ảnh hưởng bởi những tham số không xác định được trong mô hình. Tính bền vững được xác định là chất lượng điều khiển không bị ảnh hưởng bởi nhiễu tác động ở đầu vào của hệ. Để đạt được mục tiêu này, luận án đã đặt ra nhiệm vụ:
  4. 5. 3 – Nghiên cứu phân tích mô hình toán hệ hụt cơ cấu chấp hành và từ đó xây dựng bộ điều khiển thích nghi bền vững cho nó trên nền phương pháp điều khiển trượt kết hợp với nguyên lý điều khiển ISS. Tiếp theo sẽ áp dụng kết quả vào điều khiển hệ cẩu treo 3D, mô phỏng, đánh giá chất lượng bộ điều khiển với một đối tượng cụ thể. – Phát triển và hoàn thiện phương pháp điều khiển trượt bậc cao vào điều khiển hệ Euler-Lagrange thiếu cơ cấu chấp hành. Đánh giá chất lượng của bộ điều khiển thông qua ứng dụng vào điều khiển đối tượng cẩu treo 3D và mô phỏng bằng phần mềm Matlab/Simulink. Ngoài ra, luận án cũng còn đặt ra nhiệm vụ là xây dựng mô hình thí nghiệm hệ cẩu treo 3D để bước đầu thử nghiệm và đánh giá chất lượng những kết quả lý thuyết đề xuất của luận án bằng thực nghiệm trên một đối tượng cụ thể. Chi tiết sẽ là: – Chất lượng điều khiển theo vị trí đặt trước, đưa được trọng tải từ vị trí đầu tới ví trí cuối đặt trước trong khoảng thời gian ngắn. – Các góc lệch được giới hạn trong phạm vi nhỏ và bị triệt tiêu dần. – Cải thiện được hiệu ứng rung theo nghĩa thu nhỏ khoảng trượt về trong một lân cận của gốc. 3. Đối tượng nghiên cứu Lớp mô hình hệ Euler-Lagrange tổng quát và cẩu treo 3D như một đối tượng cụ thể để áp dụng, kiểm chứng kết quả, cũng như các hệ chuyển động thiếu cơ cấu chấp hành. 4. Phương pháp nghiên cứu – Nghiên cứu lý thuyết điều khiển thích nghi hệ phi tuyến dạng mô hình các biến khớp. Xây dựng bộ điều khiển thích nghi ISS trên nền lý thuyết Lyapunov.
  5. 6. 4 – Nghiên cứu phương pháp điều khiển trượt bậc cao nhằm giảm hiện tượng rung. Xây dựng bộ điều khiển thích nghi bền vững trên nền lý thuyết điều khiển trượt bậc cao. – Phương pháp thực nghiệm: mô phỏng giả định và lấy kết quả trên mô hình thí nghiệm. 5. Nội dung nghiên cứu – Mô hình toán hệ cẩu treo 3D làm đối tượng nghiên cứu về các hệ Euler-Lagrange thiếu cơ cấu chấp hành. – Xây dựng bộ điều khiển thích nghi bền vững cho hệ thống thiếu cơ cấu chấp hành trên cơ sở điều khiển thích nghi ISS. – Tổng quan về các phương pháp điều khiển cho hệ cẩu treo. Áp dụng kết quả nghiên cứu lý thuyết về điều khiển thích nghi ISS cho hệ cẩu treo. – Nghiên cứu, tìm hiểu về phương pháp điều khiển trượt (trượt cơ bản, phương pháp trượt bậc hai), trượt bậc hai phản hồi đầu ra (trượt siêu xoắn). – Thiết kế bộ điều khiển trượt bậc hai và trượt siêu xoắn cho hệ Euler-Lagrange nói chung và hệ cẩu treo 3D nói riêng. Kiểm chứng qua mô phỏng bằng phần mềm Matlab/Simulink. – Xây dựng bàn thí nghiệm, kiểm chứng kết quả nghiên cứu lý thuyết bằng thực nghiệm. 6. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết điều khiển thích nghi bền vững hệ Euler- Lagrange thiếu cơ cấu chấp hành. Đề xuất bổ sung và hoàn thiện các phương pháp đã có về mặt lý thuyết. Áp dụng phương pháp điều khiển thích nghi ISS và phương pháp điều khiển trượt bậc cao đã đề xuất cho đối tượng cẩu treo 3D.
  6. 7. 5 7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án đưa ra phương pháp luận và đề xuất xây dựng bộ điều khiển thích nghi bền vững theo nguyên lý điều khiển ISS và nguyên lý điều khiển trượt bậc 2, góp phần bổ sung và làm phong phú thêm khối kiến thức về điều khiển hệ phi tuyến đối với đối tượng là các hệ Euler Lagrange thiếu cơ cấu chấp hành. Kết quả nghiên cứu của luận án có thể giúp cho việc thiết kế bộ điều khiển thích nghi bền vững cho hệ Euler Lagrange thiếu cơ cấu chấp hành, trong đó có cẩu treo trong thực tiễn; Việc áp dụng phương pháp trượt bậc cao để nhằm phát huy ưu điểm của bộ điều khiển trượt là không phụ thuộc quá nhiều vào độ chính xác của mô hình, không quá phức tạp, thuận lợi cho việc lập trình và tính toán của vi điều khiển hay máy tính nên khả năng áp dụng trong thực tiễn rất lớn.. Chương 1: TỔNG QUAN VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN HỆ THIẾU CƠ CẤU CHẤP HÀNH Hiện tại có khá nhiều phương pháp điều khiển cùng được đồng thời áp dụng vào điều khiển hệ thiếu cơ cấu chấp hành nói chung và các hệ cẩu treo, cẩu tháp nói riêng. Rất khó để nói được rằng phương pháp nào ưu việt hơn cả, vì mỗi bài toán điều khiển luôn có môi trường, điều kiện làm việc khác nhau và do đó xét tổng thể cả về mặt kỹ thuật cũng như kinh tế thì mỗi phương pháp đều có ưu nhược điểm riêng của nó. Trong chương này tác giả đã hệ thống lại một số các phương pháp điều khiển hệ EL thiếu và đủ cơ cấu chấp hành của các tác giả như: 1) Điều khiển tuyến tính hóa từng phần. 2) Điều khiển truyền thẳng (input shaping). 3) Phương pháp backstepping. 4) Điều khiển trượt. 5) Điều khiển nội suy mờ.
  7. 8. 6 Hệ thiếu cơ cấu chấp hành nói chung là hệ mà mô hình Euler- Lagrange ở cấu trúc tổng quát dạng bất định, bị tác động bởi nhiễu, được mô tả bởi:  ( , ) ( , , ) ( , ) ( )M q q C q q q g q G u n t        (1.1) Kết luận chương 1 Chương I đã hệ thống lại một số các phương pháp điều khiển hệ thiếu cơ cấu chấp hành. Về điều khiển lớp hệ này thì cho tới nay đã có rất nhiều các phương pháp khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp hơn như thích nghi, bền vững và trong nó cũng có nhiều công cụ được sử dụng kết hợp với nhau. Tuy nhiên, ở đây chỉ trình bày tổng quan lại các phương pháp điều khiển trực tiếp trong không gian các biến khớp, bỏ qua các phương pháp trong không gian trạng thái. Ngoài ra, luận án có định hướng sử dụng các phương pháp điều khiển thích nghi bền vững đã được xây dựng cho hệ EL đủ cơ cấu chấp hành vào điều khiển hệ thiếu cơ cấu chấp hành với những can thiệp bổ sung thêm cho thích hợp dựa trên công cụ tách hệ được Spong và các phương pháp điều khiển hệ EL đủ cơ cấu chấp hành đã được nhiều tác giả trước đây trình bày. Chương 2: MỘT SỐ ĐỀ XUẤT BỔ SUNG TÍNH THÍCH NGHI BỀN VỮNG CHO BỘ ĐIỀU KHIỂN HỆ THIẾU CƠ CẤU CHẤP HÀNH Trên cơ sở kết quả đã trình bày và phân tích về những phương pháp điều khiển hệ thiếu cơ cấu chấp hành hiện có ở chương trước, luận án sẽ đề xuất phương pháp nâng cao tính thích nghi và bền vững cho hai bộ điều khiển cụ thể trong số những phương pháp trên. Đó là: 1. Bổ sung thêm tính thích nghi và bền vững cho bộ điều khiển tuyến tính hóa từng phần đã có. Tính thích nghi được xây dựng theo nguyên lý giả định rõ. Tính bền vững được bổ sung nhờ nguyên lý
  8. 9. 7 điều khiển ISS mà vẫn thường được gọi dưới tên là điều khiển ổn định thực tế. 2. Hoàn thiện phương pháp điều khiển trượt bậc cao. Một bộ điều khiển trượt bậc cao cho hệ cẩu treo 3D đã được giới thiệu ở một tạp chí quốc tế do một nhóm các nhà khoa học Hàn Quốc nghiên cứu. Mặc dù bộ điều khiển trượt bậc hai này có thể mở rộng được cho cả những hệ thiếu cơ cấu chấp hành nói chung chứ không chỉ riêng hệ cẩu treo, song bộ điều khiển giới thiệu ở đó là chưa được hoàn thiện. Tính chưa hoàn thiện này nằm ở chỗ: – Bộ điều khiển chỉ có thể làm cho quỹ đạo hệ tiến tiệm cận về mặt trượt, chứ không đưa được về mặt trượt sau khoảng thời gian hữu hạn. Điều này làm cho ý nghĩa thành phần điều khiển giữ hệ ở lại trên mặt trượt của bộ điều khiển sẽ không còn nữa. – Tính ổn định của hệ chưa được khẳng định khi mặt trượt tiệm cận về 0. Luận án sẽ đề xuất phương pháp hoàn thiện bộ điều khiển trượt bậc cao trên theo hướng làm cho quỹ đạo biến khớp hệ thiếu cơ cấu chấp hành nói chung và quỹ đạo hệ cẩu treo 3D nói riêng tiến về được mặt trượt sau đúng một khoảng thời gian hữu hạn, đồng thời bổ sung thêm điều kiện cho tham số bộ điều khiển sao cho khi mặt trượt bằng 0, hệ sẽ trượt trên mặt trượt về được gốc tọa độ. 2.1. Điều khiển bám ổn định ISS thích nghi nhờ tín hiệu bù Phương pháp điều khiển ổn định ISS được luận án xây dựng dựa trên sự kết hợp phương pháp tuyến tính hóa từng phần của Spong, nhưng bây giờ sẽ được áp dụng cho hệ bất định, có nhiễu tác động, cùng với phương pháp điều khiển thích nghi tuyến tính hóa chính xác để xử lý thành phần hằng bất định  trong hệ đủ cơ cấu chấp hành. Tính mới
  9. 10. 8 của phương pháp được luận án đề xuất ở đây là để hạn chế ảnh hưởng của thành phần nhiễu ( )n t , luận án sẽ bổ sung thêm vector tín hiệu bù ( )s t thay vì áp dụng nguyên tắc điều khiển trượt vẫn thường sử dụng trong điều khiển các hệ EL đủ cơ cấu chấp hành, nhờ đó sẽ không xảy ra hiện tượng rung không mong muốn trong hệ. 2.1.1. Bộ điều khiển thích nghi ISS với tín hiệu bù Mô hình: / 111 1 21 221 2 2 0 Dq C q f u n M q M q f              (2.3) Giả thiết: ( ) sup ( ) t n t n t    (2.4) là giá trị hữu hạn. vế trái của mô hình (2.3) luôn viết lại được một cách chi tiết thành: / 1 11 1 1 21 22 21 2 2 ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) D q q C q q q f q q F q q q M q q M q q f q q F q q q                            (2.5) Định lý 1: Xét hệ bất định (2.3) thỏa mãn các giả thiết (2.4) và (2.5). Khi đó bộ điều khiển thích nghi bền vững: / 1 2 11 1 ( , ) ( , , ) ( , , ) ( )r u D q d q K e K e C q q d q f q q d s t            (2.6) trong đó:  1 21 , ( ), ( 1) , 0r e q q K diag a K diag a a a      (2.7) có vector hằng d trong / 11( , ), ( , , ), ( , , )D q d C q q d f q q d  được chọn thay cho vector tham số hằng bất định  để:
  10. 11. 9 1 1 max ( , ) , n ij i n j d q d q      (2.8) với  là một giá trị hữu hạn xác định, ( , )ijd q d là các phần tử của ma trận 1 ( , )D q d  và:    1 1 1 1 2 0 ( ) ( , , ) ( , ) ( , , ) , t T s t F q q q D q d F q q q K K x d        (2.9) trong đó  ,x col e e  là ký hiệu của vector sai lệch bám, sẽ luôn đưa vector sai lệch bám x về được lân cận gốc O xác định bởi: 2m x x a         O R (2.10) Chứng minh:  1x Ax B F d s n       (2.12) trong đó 1 1 2 00 , , mIe x A B K Ke D                    (2.13) Do 1 2,K K cho bởi (2.7) là hai ma trận đối xứng xác định dương làm cho ma trận A định nghĩa trong (2.13) là ma trận bền, tức là ma trận có tất cả các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo, nên hệ không có nhiễu: m mx Ax (2.14) là hệ ổn định. Bởi vậy quỹ đạo ( )mx t , không phụ thuộc giá trị đầu (0)mx , khi 0t  luôn bị chặn và tiến tiệm cận về gốc khi t   . Sau đó chứng minh bộ điều khiển bổ sung (2.9) đã cho trong định lý sẽ làm sai lệch mx x luôn bị chặn và tiến về được lân cận gốc xác định bởi (2.10), từ đó khẳng định được tính chất bị chặn cũng như luôn tiến tiệm cận được về lân cận O của quỹ đạo sai lệch ( )x t .
  11. 12. 10 2 22 2T V a x x PBn a x PB x a a x x             (2.18) Điều này chỉ ra rằng khi có: x a   , tức là khi quỹ đạo sai lệch ( )x t còn nằm ngoài lân cận O cho bởi công thức (2.10), sẽ có 0V  , do đó ( )x t vẫn còn đơn điệu giảm (đ.p.c.m).■ Khi có 1 r q q với r q là hằng số, sẽ có: 1 222 2 2 2 2 ( , , ) ( , , , )r r q M q q d f q q q d    (2.20) Bản thân định lý 1 trên cũng chính là các bước thiết kế bộ điều khiển thích nghi bền vững cho thành phần hệ con đủ cơ cấu chấp hành, bất định, bị nhiễu tác động, bám theo được quỹ đạo mẫu với sai lệch tiệm cận không lớn hơn a . Ngoài ra có thể dễ thấy thêm rằng: – Với giá trị a được chọn càng lớn, lân cận O sẽ càng nhỏ. – Luôn tồn tại d để giả thiết (2.8) được thỏa mãn. – Bộ điều khiển (2.6) với tín hiệu bù ( )s t cho bởi (2.9) có cùng chức năng giống như bộ điều khiển trượt là xử lý được sự ảnh hưởng của thành phần bất định hàm ( , )n q t có lẫn trong tín hiệu đầu vào, song khác với điều khiển trượt, nó không sử dụng mặt trượt, không cần giữ quỹ đạo trạng thái của hệ trên mặt trượt, nên nó cũng sẽ không tạo ra hiện tượng rung trong hệ. 2.1.2. Chất lượng thành phần của hệ con thứ hai Để hệ con thứ hai có được 2 0q  , ta đi chọn d để hệ ổn định, khi đó ta sẽ vừa có được 1 r q q nhờ bộ điều khiển nêu trong định lý 1 là (2.6), (2.9), vừa có 2 0q  . Tuy nhiên việc chọn d như thế
  12. 13. 11 nào thì thích hợp còn phụ thuộc vào cấu trúc cụ thể của (2.20) và phụ thuộc vào đặc thù của từng hệ thống. Đối với hệ cẩu treo, việc chọn d thích hợp là khá đơn giản để hệ (2.20) là ổn định với mọi d . 2.2. Điều khiển trượt bậc cao Điều khiển trượt bậc cao được biết đến như một giải pháp chống rung trong điều khiển trượt. Tuy nhiên, những giải pháp đưa ra ở đó là chưa được hoàn chỉnh, ở chỗ: – Chưa chỉ ra được là thời gian quỹ đạo của hệ tiến về mặt trượt là hữu hạn. Điều này rất cần thiết vì nếu chỉ có thể tiệm cận được về mặt trượt, hệ vẫn có thể mất ổn định. – Còn thiếu điều kiện chặt chẽ để hệ trượt trên mặt trượt về đến gốc tọa độ. Do vậy, bên cạnh phương pháp điều khiển ISS và để hoàn thiện hai thiếu sót vừa nêu, luận án sẽ đề xuất thêm bộ điều khiển trượt bậc hai và bộ điều khiển trượt siêu xoắn phục vụ bài toán điều khiển thích nghi bền vững cho các hệ EL thiếu cơ cấu chấp hành. 2.2.1. Khái niệm điều khiển trượt cơ bản và trượt bậc cao 2.2.2. Thiết kế bộ điều khiển trượt bậc hai cho hệ EL bất định thiếu cơ cấu chấp hành Tại một tạp chí quốc tế do một nhóm các nhà khoa học Hàn Quốc nghiên cứu đã giới thiệu một ứng dụng của điều khiển trượt bậc hai vào điều khiển bám ổn định hệ cẩu treo. Song, bộ điều khiển này là chưa hoàn chỉnh vì mới chỉ ra được rằng quỹ đạo của hệ cẩu treo là tiệm cận về mặt trượt chứ chưa chứng minh được nó sẽ về mặt trượt sau một khoảng thời gian hữu hạn. Hơn nữa nó cũng chưa đưa ra được điều kiện để quỹ đạo của hệ sau đó sẽ trượt trên mặt trượt về gốc tọa độ.
  13. 14. 12 Để khắc phục những khiếm khuyết trên, luận án sẽ mở rộng phương pháp giới thiệu tại tài liệu này, vốn được thiết kế riêng cho hệ cẩu treo 3D, như sau: – Mở rộng sang cho cả các hệ EL thiếu cơ cấu chấp hành nhiều biến khớp độc lập (1.1) một cách tổng quát. – Bổ sung phần chứng minh bộ điều khiển đó luôn đưa quỹ đạo của hệ về mặt trượt sau khoảng thời gian hữu hạn. – Bổ sung điều kiện để hệ trượt được trên mặt trượt về tới gốc tọa độ. Thiết kế bộ điều khiển Xét hệ EL thiếu cơ cấu chấp hành có mô hình không tường minh, bị nhiễu tác động ở đâu vào và có số các biến khớp độc lập 1 q nhiều hơn số biến khớp phụ thuộc 2 q , mô tả bởi: ( ) ( , ) ( , , ) ( , ) 0 u n t M q q C q q q g q              (2.39) Mô hình ( ) ( , ) ( ) 0 u M q q C q q q g q            (2.41) Áp dụng phương pháp tách hệ đã được Spong sử dụng, ta sẽ có thành phần hệ con đủ cơ cấu chấp hành tương ứng của (2.41) như sau: 1 ( ) ( , )u D q q h q q    (2.43) Khi mở rộng mặt trượt 0s s  , với nhiệm vụ điều khiển bám 1 r q q , trong đó r q là quỹ đạo mẫu dạng hằng số cho trước, ta sẽ có mặt trượt mở rộng như sau: 1 1 2 ( , )s q q q e q      , 1 r e q q  (2.44)
  14. 15. 13 Ta sẽ tiến hành xây dựng bộ điều khiển trượt bậc hai cho hệ EL có nhiều biến khớp độc lập. Bộ điều khiển trượt khi được mở rộng cho hệ (2.43) cũng sẽ có dạng như sau: sgn( )equ u K s  , ( ) m m iK diag k   R và 0,ik i  , (2.45) trong đó: 2 1 2 2 ( , ) ( ) 2equ h q q D q q e q q             (2.46) Khoảng thời gian tiến về mặt trượt là hữu hạn Ta cần chứng minh luật điều khiển (2.45), (2.46) đưa hệ từ mọi điểm trạng thái đầu thuộc một tập compact trong không gian biến khớp  1 (0), (0)q q  C về đến mặt trượt 1 ( , ) 0s q q  sau đúng một khoảng thời gian hữu hạn. Định lý 2: Nếu tồn tại một vector hằng d mà khi được thay cho vector tham số bất định  trong hệ (2.39) không làm thay đổi vector biến khớp độc lập 1 q thì bộ điều khiển trượt bậc hai (2.45), (2.46) sẽ đưa được hệ (2.39) từ mọi điểm trạng thái đầu  1 (0), (0)q q  C thuộc một miền compact C về tới mặt trượt 1 ( , ) 0s q q  có 1 ( , )s q q cho bởi (2.44) và quỹ đạo đặt r q là hằng số, sau đúng một khoảng thời gian hữu hạn T . Chứng minh: 2 max ( ) (0)V t V t     (2.49) Bất đẳng thức cuối cùng (2.49) này đã xác nhận sự tồn tại của một khoảng thời gian T hữu hạn để có ( ) 0V T  , tức là quỹ đạo biến khớp của hệ sẽ về đến mặt trượt sau một khoảng thời gian hữu hạn (đ.p.c.m). ■ Như vậy với định lý 2 này, bộ điều khiển trượt bậc hai đó sẽ đưa được hệ về mặt trượt sau đúng một khoảng thời gian hữu hạn.
  15. 16. 14 Điều kiện để hệ trượt được trên mặt trượt về gốc tọa độ Cần và đủ để hệ trượt được trên mặt trượt về gốc tọa độ là hệ 1 2 3 ( ) ( ) x x x x x h x                với 1 2 3( ) ( ) x x x x h x               (2.52) phải ổn định tiệm cận, tức là khi và chỉ khi tồn tại một hàm xác định dương / ( )V x sao cho: / ( ) 0, 0 V x x x       (2.53) là hàm xác định âm (theo định lý đảo Lyapunov). 2.3. Kết luận chương 2 Luận án đã đưa ra một số đề xuất về xây dựng bộ điều khiển thích nghi và bền vững cho hệ EL thiếu cơ cấu chấp hành, có tham số hằng bất định  trong mô hình và bị nhiễu ( , )n q t tác động ở đầu vào u , mô tả bởi mô hình tổng quát (1.1), mà cụ thể là: 1) Thứ nhất là đã xây dựng được bộ điều khiển thích nghi ISS (phát biểu trong định lý 1) cho hệ (1.1). Bộ điều khiển này áp dụng được cho hệ vừa chứa tham số hằng bất định, vừa bị nhiễu tác động ở đầu vào. Khác với bộ điều khiển trượt, bộ điều khiển thích nghi ISS này không tạo ra hiện tượng rung trong hệ, nên khả năng ứng dụng vào thực tế là cao hơn. Ngoài ra, tuy rằng bộ điều khiển thích nghi ISS được đề xuất này có nhược điểm là không đưa được sai lệch bám của hệ về 0, mà chỉ đưa về được một lân cận gốc O xác định bởi (2.10), song điều này không quá quan trọng, vì kích thước của lân cận O đó luôn có thể điều chỉnh nhỏ một cách tùy ý thông qua tham số a của bộ điều khiển. 2) Thứ hai là đã tổng quát hóa được bộ điều khiển trượt bậc hai cho hệ cẩu treo 3D dạng tường minh, giới thiệu trong bài báo quốc tế
  16. 17. 15 của nhóm nhiên cứu Hàn Quốc, sang cho cả hệ EL thiếu cơ cấu chấp hành (1.1), có tham số bất định trong mô hình và bị nhiễu tác động ở đầu vào. Ngoài ra, luận án còn chỉ ra được thời gian hệ về mặt trượt luôn là hữu hạn (định lý 2) cũng như bổ sung thêm điều kiện để hệ sai số trượt được trên mặt trượt về gốc tọa độ, điều còn thiếu ở tài liệu này. Cuối cùng, có một vấn đề đặt ra ở đây mà luận án chưa giải quyết được là đối với các hệ EL có hệ con thứ hai không tự ổn định thì cách thức xác định tham số d thay cho tham số bất định  trong hệ (1.1) ban đầu một cách tổng quát, sao cho với nó hệ con thứ hai của hệ là (2.20) sẽ ổn định tiệm cận. Thực tế, tùy đặc thù của từng hệ thống sẽ lựa chọn được d phù hợp chứ cũng không nhất thiết phải xác định trong trường hợp tổng quát. Chương 3: ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN HỆ CẨU TREO 3D 3.1. Mô hình hoá hệ cẩu treo 3.1.1. Cấu trúc vật lý hệ cẩu treo 3.1.2. Mô hình EL hệ cẩu treo 3D ( ) ( , ) ( )M q q Bq C q q q g q Gu       (3.8) trong đó: ( , , , , )T x yq x y l   là vector các biến khớp. ( , , )T x y lu u u u là vector lực tác động vào hệ (tín hiệu đầu vào). Dựa vào mô hình thu được, ta thấy: 1) Hệ mang đặc điểm hụt cơ cấu chấp hành khi các góc lệch ,x y  không được điều khiển một cách trực tiếp mà phải điều khiển gián tiếp thông qua các thành phần lực , ,x y lu u u . 2) Hệ phương trình mô tả hệ cẩu treo 3D là hệ phi tuyến có tính liên kết cao. Hai điều này đã tạo ra nhiều khó khăn trong việc thiết kế bộ điều khiển cho hệ cẩu treo 3D đòi hỏi cần có những phương pháp phù hợp để giải quyết chúng. 3.1.3. Mô hình EL hệ cẩu treo 2D 1 2( ) ( , ) ( ) ( , ,0,0)T M q q C q q q g q u u     (3.10) 3.2. Điều khiển thích nghi ISS
  17. 18. 16 3.2.1. Bộ điều khiển thích nghi ISS cho hệ cẩu treo 3.2.2. Kết quả mô phỏng 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Time(s) x xref x Hình 3.4. Đáp ứng vị trí cẩu treo theo trục x 0 10 20 30 40 50 60 -1 0 1 2 3 4 5 Time (s) z zr z Hình 3.5. Đáp ứng vị trí cẩu treo theo trục z 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10 -3 Time(s) theta(rad) thetax thetay Hình 3.6a. Đáp ứng góc lắc của dây cáp theo các phương ,x y khi chưa có bất định mô hình 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10 -3 Time(s) theta(rad) thetax thetay Hình 3.6b. Đáp ứng góc lắc của dây cáp theo các phương ,x y khi đã có bất định mô hình (tại thời điểm 50 giây).
  18. 19. 17 Phần nội dung trên đã khẳng định phương pháp điều khiển thích nghi ISS giới thiệu ở chương 2 của luận án là áp dụng được tốt cho hệ thống cẩu treo. Bằng cách sử dụng bộ điều khiển này không những đảm bảo được sự bám quỹ đạo cho các chuyển động của cẩu treo mà còn đảm bảo góc lắc của dây cáp theo các phương tiến dần về lân cận không. Không những thế, bộ điều khiển đề xuất trong phần này còn đảm bảo rằng hệ thống vẫn cho đáp ứng tốt khi có ảnh hưởng của nhiễu bên ngoài và có tham số bất định mô hình. Hiệu quả của bộ điều khiển đã được chứng minh thông qua các kết quả mô phỏng thực hiện trên Matlab/Simulink. 3.3. Điều khiển trượt bậc hai 3.3.1. Bộ điều khiển trượt bậc hai cho hệ cẩu treo Bộ điều khiển trượt bậc hai cho hệ EL bất định, thiếu cơ cấu chấp hành cũng áp dụng được cho hệ cẩu treo mô tả bởi (3.8). 3.3.2. Kết quả mô phỏng Kết quả mô phỏng này cho thấy hệ là ổn định. Chất lượng hệ thống có thể được đánh giá là khá tốt. 0 5 10 15 20 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 Sliding Surface Time Displacement Displacement Length Angle Angle
  19. 24. 22 Hình 3.37. Góc y Hình 3.38. Chiều dài cáp Nhận xét Hệ điều khiển đáp ứng được yêu cầu bài toán điều khiển vị trí, đưa được tải trọng từ vị trí đầu tới vị trí cuối trong thời gian ngắn, độ quá điều chỉnh nhỏ. Hạn chế ở đây là khó khăn trong khâu lắp ráp cảm biến góc nghiêng và kết cấu cơ khí chưa thực sự chính xác khi ăn khớp giữa bánh răng nhựa và thanh truyền lực. 3.6. Kết luận chương 3 Tại Chương 3 đã xây dựng được bàn thí nghiệm cẩu treo 3D nhằm kiểm chứng bằng thực nghiệm các kết quả lý thuyết của luận án. Bàn thí nghiệm cũng đã được ghép nối với máy tính. Chương trình điều khiển cài đặt trên máy tính đối với bộ điều khiển trượt siêu xoắn, trong đó đã điều khiển được hệ cẩu treo 3D bám theo được giá trị mong muốn như yêu cầu đặt ra. Mô hình thí nghiệm thực có thể ứng dụng trong ngành Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa nhằm đáp Thời gian Góc[rad]
  20. 25. 23 ứng được yêu cầu bài toán điều khiển đặt ra với chất lượng điều khiển khá tốt, cùng với đó là lực điều khiển phải hạn chế hiện tượng liên tục thay đổi với tần số lớn và là cơ sở để ứng dụng vào thực tiễn. Kết quả thí nghiệm có sai lệch nhỏ so với kết quả mô phỏng lý thuyết, nguyên nhân chính là do kết cấu cơ khí của mô hình có sai lệch trong quá trình chế tạo. Tuy nhiên, nó đã thể hiện được đúng tính chất của bộ điều khiển trượt phản hồi đầu ra (bộ điều khiển trượt siêu xoắn) và đảm bảo theo các thông số của bộ điều khiển trượt. Riêng các bộ điều khiển phản hồi trạng thái, gồm bộ điều khiển thích nghi ISS và bộ điều khiển trượt bậc hai chưa thực hiện được với bàn thí nghiệm cẩu treo 3D do còn thiếu các cảm biến phản hồi giá trị hành trình của quỹ đạo biến khớp về máy tính (BĐK). KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 4.1. Kết luận chung Luận án đã đạt được những kết quả sau đây: 1. Bổ sung thêm được tính thích nghi và bền vững cho bộ điều khiển tuyến tính hóa từng phần đã có. Tính thích nghi bổ sung thêm cho bộ điều khiển này được xây dựng theo nguyên lý giả định rõ (certainty equivalence). Tính bền vững được bổ sung nhờ nguyên lý điều khiển ISS (input to state stable). Kết quả đã được luận án phát biểu dưới dạng định lý 1 ở chương 2. 2. Hoàn thiện được phương pháp điều khiển trượt bậc hai với bộ điều khiển (2.45), (2.46) và (2.47) cho hệ thiếu cơ cấu chấp nói chung. Đồng thời luận án cũng đã: – Bổ sung định lý 2 ở chương 2 để khẳng định rằng bộ điều khiển đó đã đưa được hệ về mặt trượt sau một khoảng thời gian hữu hạn. – Bổ sung thêm được điều kiện (2.53) để hệ sai lệch trượt được trên mặt trượt về 0. Điều kiện này cũng đã được luận án triển khai
  21. 26. 24 một cách chi tiết thành điều kiện (3.15) về các tham số bộ điều khiển khi áp dụng cho hệ cẩu treo 3D. 3. Riêng với đối tượng EL thiếu cơ cấu chấp hành cụ thể là hệ cẩu treo 3D, luận án cũng đã xây dựng được bộ điều khiển trượt siêu xoắn (3.30) ở chương 3 làm việc theo nguyên tắc phản hồi đầu ra. Đồng thời cũng đã chỉ ra được ở công thức (3.31) rằng với bộ điều khiển trượt siêu xoắn này sẽ đưa hệ về mặt trượt sau một khoảng thời gian hữu hạn. 4. Luận án cũng đã xây dựng được bàn thí nghiệm về hệ cẩu treo 3D, ghép nối bàn thí nghiệm với máy tính và thử nghiệm được chất lượng của bộ điều khiển trượt siêu xoắn này trong môi trường thực tế. 4.2. Kiến nghị và hướng nghiên cứu tiếp theo Một số vấn đề phát sinh trong quá trình thực hiện đề tài mà luận án chưa hoàn thiện được, sẽ được NCS xem như là các bài toán cần nghiên cứu tiếp theo của mình trong tương lai. Đó là: 1. Đối với các hệ EL thiếu cơ cấu chấp hành có hệ con (2.20) không tự ổn định cần xây dựng điều kiện đủ cho việc lựa chọn vector tham số d của bộ điều khiển thích nghi ISS mà ứng với nó hệ con tự do (2.20) tương ứng sẽ ổn định tiệm cận khi mà hệ con này, với dạng tương đương (1.22), không thỏa mãn điều kiện đã được trình bày ở mục 1.1.2. 2. Trong quá trình xây dựng bàn thí nghiệm cẩu treo 3D, mặc dù đã có cảm biến đo góc đủ chính xác, tuy nhiên để mô hình gọn hơn mà vẫn đảm bảo đủ chính xác, nghiên cứu sinh đã đặt ra nhiệm vụ xây dựng bộ thuật toán quan sát góc lắc ,x y  từ giá trị đo được của quỹ đạo biến khớp q và tốc độ của nó q thay cho các cảm biến góc, song chưa làm được.
  22. 27. 25 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CÓ LIÊN QUAN ÐẾN LUẬN ÁN Bài báo khoa học 1. Hoàng Đức Quỳnh, Nguyễn Thị Việt Hương, Nguyễn Doãn Phước (2013), “Nhận dạng trạng thái hệ cẩu treo 2 chiều bằng bộ quan sát KALMAN rời rạc”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ Đại học Thái Nguyên, Tập 106, số 06, tr. 15-21. 2. Nguyễn Thị Việt Hương, Đào Phương Nam, Nguyễn Doãn Phước (2013), “Mô hình hóa và mô phỏng có sử dụng bộ quan sát trạng thái trong hệ cần cẩu treo”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ Đại học Thái Nguyên, Tập 110, số 10, tr. 27-36. 3. Nguyễn Thị Việt Hương, Nguyễn Doãn Phước, Vũ Thị Thúy Nga, Đỗ Trung Hải (2014), “Điều khiển cẩu treo 3D chất lượng cao sử dụng bộ điều khiển thích nghi bền vững”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ Đại học Thái Nguyên, Tập 128, số 14, tr. 35-41. 4. Nguyễn Thị Việt Hương, Đào Phương Nam , Nguyễn Quang Hùng (2014), “Nghiên cứu xây dựng bộ quan sát trạng thái trong hệ cần cẩu treo”, Tạp chí nghiên cứu khoa học & công nghệ Quân sự , Số đặc san TĐH’14, 04 – 2014, tr. 25-32. 5. Nguyễn Thị Việt Hương, Trần Vũ Trung, Đào Phương Nam (2015), “High-order Sliding Approach for Robust control of a 3- D Overhead Crane System”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ các trường đại học kỹ thuật, ISSN 2354-1083, số 108, tr. 007-011.
  23. 28. 26 Báo cáo hội nghị khoa học 6. Vũ Thị Thúy Nga, Nguyễn Thị Việt Hương (2013), “Điều khiển không cảm biến chất lượng cao cho động cơ đồng bộ trong toàn dải tốc độ”, Hội nghị toàn quốc lần thứ 2 về điều khiển và tự động hóa VCCA-2013, Bài số 145, Tóm tắt tại trang 9. 7. Nguyễn Thị Việt Hương, Đào Phương Nam, Nguyễn Doãn Phước (2013), “Mô hình hóa và mô phỏng cần cẩu treo”, Hội nghị toàn quốc lần thứ 2 về điều khiển và tự động hóa VCCA-2013, Bài số 31, Tóm tắt tại trang 33.


【#2】Luận Án: Xây Dựng Phương Pháp Điều Hệ Euler Lagrange, Hay

Published on

Download luận án tiến sĩ ngành kĩ thuật với đề tài: Nghiên cứu xây dựng phương pháp điều khiển thích nghi, bền vững hệ Euler Lagrange thiếu cơ cấu chấp hành và ứng dụng cho cẩu treo, cho các bạn làm luận án tham khảo

  1. 3. i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan: Luận án “Nghiên cứu xây dựng phƣơng pháp điều khiển thích nghi, bền vững hệ Euler Lagrange thiếu cơ cấu chấp hành và ứng dụng cho cẩu treo” là công trình nghiên cứu của riêng tôi được hoàn thành dưới sự chỉ bảo tận tình của hai thầy giáo hướng dẫn. Các kết quả nghiên cứu trong luận án là trung thực, một phần được công bố trên các tạp chí khoa học chuyên ngành với sự đồng ý của các đồng tác giả, phần còn lại chưa được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Ngày 12 tháng 6 năm 2021 Tác giả luận án Nguyễn Thị Việt Hƣơng
  2. 4. ii Lời cảm ơn Trong quá trình thực hiện Luận án với tên đề tài: “Nghiên cứu xây dựng phƣơng pháp điều khiển thích nghi, bền vững hệ Euler Lagrange thiếu cơ cấu chấp hành và ứng dụng cho cẩu treo” tôi đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, chúng tôi Nguyễn Doãn Phước – Trưởng Bộ môn Điều khiển tự động, Viện Điện, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội; TS. Đỗ Trung Hải – Trưởng khoa Điện, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên cùng tập thể các thầy cô giáo của bộ môn Điều khiển tự động trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tập thể các thầy cô của Khoa Điện, Phòng Đào tạo trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên, sự giúp đỡ tạo điều kiện về thời gian của lãnh đạo trường cao đẳng Công nghiệp Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến tập thể cán bộ hướng dẫn đã tâm huyết hướng dẫn tôi trong suốt thời gian qua. Với kiến thức chuyên môn có hạn trong quá trình nghiên cứu và viết luận án, không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các nhà khoa học. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Việt Hương
  3. 6. iv 2.1.1 Bộ điều khiển thích nghi ISS với tín hiệu bù………………………………………………25 2.1.2 Chất lượng thành phần của hệ con thứ hai …………………………………………………31 2.2 Điều khiển trượt bậc cao……………………………………………………………………. 32 2.2.1 Khái niệm điều khiển trượt cơ bản và trượt bậc cao……………………………………..33 2.2.2 Thiết kế bộ điều khiển trượt bậc hai cho hệ EL bất định thiếu cơ cấu chấp hành …40 2.3 Kết luận chương 2 ……………………………………………………………………………. 46 CHƢƠNG 3 ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN HỆ CẨU TREO 3D 48 3.1 Mô hình hoá hệ cẩu treo ……………………………………………………………………. 48 3.1.1 Cấu trúc vật lý hệ cẩu treo……………………………………………………………………..48 3.1.2 Mô hình EL hệ cẩu treo 3D ……………………………………………………………………49 3.1.3 Mô hình EL hệ cẩu treo 2D ……………………………………………………………………52 3.2 Điều khiển thích nghi ISS…………………………………………………………………… 54 3.2.1 Bộ điều khiển thích nghi ISS cho hệ cẩu treo……………………………………………..54 3.2.2 Kết quả mô phỏng ……………………………………………………………………………….55 3.3 Điều khiển trượt bậc hai…………………………………………………………………….. 59 3.3.1 Bộ điều khiển trượt bậc hai cho hệ cẩu treo ……………………………………………….59 3.3.2 Kết quả mô phỏng ……………………………………………………………………………….63 3.4 Điều khiển trượt siêu xoắn …………………………………………………………………. 67 3.4.1 Thiết kế bộ điều khiển trượt siêu xoắn cho hệ cẩu treo………………………………….67 3.4.2 Kết quả mô phỏng ……………………………………………………………………………….76 3.5 Xây dựng bàn thí nghiệm cẩu treo 3D………………………………………………….. 83 3.5.1 Vật tư thiết bị……………………………………………………………………………………..83 3.5.2 Xây dựng bản vẽ cơ khí về mô hình thí nghiệm thực ……………………………………83 3.5.3 Thiết kế mạch vòng trong………………………………………………………………………85 3.5.4 Cảm biến vị trí ……………………………………………………………………………………87 3.5.5 Cảm biến góc ……………………………………………………………………………………..87 3.5.6 Truyền thông………………………………………………………………………………………90 3.5.7 Thiết kế mạch vòng ngoài ……………………………………………………………………..91 3.5.8 Lập trình……………………………………………………………………………………………92 Hình 3.31. Giao diện GUI điều khiển và thu thập số liệu ……………………………………….94 3.5.9 Quy trình vận hành bàn thí nghiệm và kết quả ……………………………………………94 3.6 Kết luận chương 3 ……………………………………………………………………………. 97 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ VÀ HƢỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 99 4.1 Kết luận chung …………………………………………………………………………………. 99 4.2 Kiến nghị và hướng nghiên cứu tiếp theo……………………………………………. 100 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………………… 101 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 110 PHỤ LỤC ………………………………………………………………………………………………. 112
  4. 8. vi ( )s t tín hiệu bù sai lệch ( , )n q t ,n nhiễu tác động ở đầu vào , , , 1,2, 1,2ij ij i M C g i j  các ma trận và vector hàm bất định  ,x col e e vector động học sai lệch bám 1 chuẩn bậc nhất của ánh xạ tuyến tính ,Q P ma trận đối xứng xác định dương ( )x , 1 ( , )s q q mặt trượt equ thành phần tín hiệu giữ ( )x t ở lại trên mặt trượt Nu thành phần tín hiệu làm cho ( )x t tiến về mặt trượt trong khoảng thời gian hữu hạn T miền compact cm khối lượng xe cẩu rm khối lượng xà đỡ m khối lượng tải trọng lu lực tạo ra bởi tời quay l độ dài dây cáp buộc tải trọng ,y xu u lực đẩy lần lượt cho xe cẩu chạy dọc trên xà đỡ và cho xà đỡ cùng xe cẩu di chuyển theo trục ox được lấy từ động cơ như một cơ cấu chấp hành. ,y x  lần lượt là góc giữa dây buộc trọng tải với mặt phẳng và xoz và góc giữa hình chiếu của dây buộc lên mặt phẳng xoz với mặt phẳng yoz .
  5. 9. vii Bảng các ký hiệu viết tắt ADC Analog-to-digital converter CLF control-Lyapunov function DCS Distributed control system EL Euler-Lagrange eq Equipvalence principle FC Fuzzy control GAS global asymptotically stable GUI Graphical user interface ISS Input to state stable I2C Inter-Integrated Circuits PD Proportional Derivative PWM Pulse Width Modulation QEI Quadrature Encoder Interface RBF Radial Basis Function SCP Small control property SMC System Management Controller UART Universal Asynchronous Receiver/Transmitter
  6. 11. ix Hình 3.20. Đáp ứng góc y 76 Hình 3.21. Lực điều khiển 76 Hình 3.22. Mặt trượt s 77 Hình 3.23. Đạo hàm của mặt trượt s 77 Hình 3.24. Quỹ đạo s ds 77 Hình 3.25. Kết cấu cơ khí bàn thí nghiệm cẩu treo 3D 79 Hình 3.26. Hệ thống điều khiển 81 Hình 3.27. Cảm biến đo dòng điện 81 Hình 3.28. Sơ đồ mạch vòng trong 82 Hình 3.29. Cảm biến góc 83 Hình 3.30. Sơ đồ mạng truyền thông trong hệ thống 86 Hình 3.31. Giao diện GUI điều khiển và thu thập số liệu 88 Hình 3.32. Hình ảnh hệ thực nghiệm 1 89 Hình 3.33. Hình ảnh hệ thực nghiệm 2 89 Hình 3.34. Tọa độ xà đỡ nằm ngang 90 Hình 3.35. Tọa độ của xe cẩu trên xà đỡ nằm ngang 90 Hình 3.36. Góc x 91 Hình 3.37. Góc y 91 Hình 3.38. Chiều dài cáp 91
  7. 13. 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu về công trình nghiên cứu, lý do lựa chọn đề tài Hệ Euler-Lagrange (EL) nói chung và cẩu treo nói riêng với mô hình biến khớp là lớp hệ thường gặp nhất trong thực tế ở các lĩnh vực cơ khí, cơ điện tử. Giống như ở các hệ có mô hình trạng thái, mô hình hệ EL cũng mang đầy đủ các tính chất khách quan như không tuyệt đối chính xác, thường được lý tưởng hóa là không có nhiễu khi xây dựng mô hình. Bởi vậy bài toán thiết kế, xây dựng bộ điều khiển cho hệ EL trên nền tảng không có được sự chính xác của mô hình, cũng như phải tính tới sự tác động của nhiễu, mà vẫn đảm bảo chất lượng điều khiển đặt ra, luôn có ý nghĩa ứng dụng lớn. Cẩu treo là thiết bị công nghiệp được sử dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như các công trình xây dựng, ở các nhà máy hay tại các bến cảng. Tại Việt Nam hiện nay phần lớn các cẩu treo này được vận hành bằng tay bởi người sử dụng. Khi mà kích thước của cẩu treo lớn hơn và yêu cầu vận chuyển nhanh hơn, cường độ làm việc cao hơn, thì việc vận hành chúng sẽ trở nên khó khăn nếu chưa tự động hóa quá trình này. Cẩu treo di chuyển theo quỹ đạo không cứng nhắc, nhưng nó hoạt động trong điều kiện hết sức khắc nghiệt nên một hệ điều khiển trong vòng kín là thích hợp nhất. Cẩu treo là một thiết bị quan trọng sử dụng rộng rãi trong công nghiệp để vận chuyển các vật nặng và hàng hóa (gọi chung là tải trọng) từ nơi này đến một nơi khác, nó luôn có kết cấu vững chắc để nâng và di chuyển các vật nặng trong nhà máy, trong công trường xây dựng, trên boong tầu đặc biệt là tại các bến cảng. Trong nhà máy, cẩu treo gia tăng quá trình sản xuất bằng cách vận chuyển nguyên liệu với khối lượng rất nặng từ vị trí này đến vị trí khác cũng như di chuyển các sản phẩm ở một dây chuyền sản xuất hay dây chuyển lắp ráp. Ví dụ, trong nhà máy luyện kim cẩu treo vận chuyển cuộn thép, phôi thép hay thùng kim loại nóng chảy để đổ vào khuôn đúc,… Trong xây dựng tòa nhà nhờ sử dụng cẩu treo mà quá trình vận chuyển vật liệu lên những chỗ rất cao hay những nơi trọng yếu khá dễ dàng. Đặc biệt trên boong tàu hay tại bến cảng cẩu treo giúp tiết kiệm thời gian và tiền bạc trong công đoạn xếp và dỡ các container cực kỳ hiệu quả và các hệ cẩu treo, cẩu tháp nói riêng :  ( , ) ( , , ) ( , ) ( )M q q C q q q g q G u n t      (1.1) trong đó:  1 2, , , T nq q q q là vector các biến khớp của hệ.  1 2, , , T p    là vector các tham số hằng không xác định được của mô hình. Nếu mọi tham số của hệ (1.1) là xác định được thì nó sẽ được viết thành:  ( ) ( , ) ( ) ( )M q q C q q q g q G u n t    (1.2) và người ta gọi nó là hệ tường minh (detemined). Ngược lại nó được gọi là hệ bất định (uncertain). ( , )mG col I  là ma trận điều khiển, trong đó mI là ma trận đơn vị m hàng m cột,  là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 và m là số các tín hiệu điều khiển (tín hiệu đầu vào).  1 2, , , T mu u u u  là vector các tín hiệu điều khiển. Nếu ở đây có m n (khi đó một cách tương ứng cũng sẽ có nG I ) thì hệ được gọi là đủ cơ cấu chấp hành. Mô hình tường minh của hệ đủ cơ cấu chấp hành được viết ngắn gọn thành: ( ) ( , ) ( ) ( )M q q C q q q g q u n t    (1.3)
  8. 21. 9 11 12 11 121 1 1 21 22 21 222 2 2 ( )( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) 0 q q g qM q M q C q q C q q u M q M q C q q C q qq q g q                                        Suy ra: 11 121 2 1 21 221 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) 0 M q q M q q f q q u M q q M q q f q q        (1.12) trong đó: 11 121 1 2 1 21 222 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) f q q C q q q C q q q g q f q q C q q q C q q q g q       Như vậy hệ thiếu cơ cấu chấp hành (1.8) ban đầu đã được phân tích thành (1.12) gồm một hệ con đủ cơ cấu chấp hành (phương trình thứ nhất) và một hệ con tự do (phương trình thứ hai). Từ nay trở về sau ta sẽ gọi thành phần biến khớp con 1 q trong hệ con thứ nhất là vector các biến khớp độc lập, vì nó được điều khiển trực tiếp bởi tín hiệu đầu vào u , và thành phần biến khớp con thứ hai 2 q là vector các biến khớp phụ thuộc. 1.1.1 Điều khiển để thành phần hệ con cƣỡng bức, đủ cơ cấu chấp hành là bám ổn định Từ (1.12) ta suy ra được nhờ tính chất đối xứng, xác định dương của ( )M q , tức là cũng từ tính chất không suy biến của 22( )M q ta có với phương trình thứ hai của (1.12): 1 22 21 12 2 ( ) ( ) ( , )q M q M q q f q q      Do đó, khi thay nó vào phương trình thứ nhất của (1.12), sẽ được: 1 ( ) ( , )D q q h q q u  (1.13) trong đó: 1 11 12 22 21 1 12 22 21 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) D q M q M q M q M q h q q f q q M q M q f q q       (1.14) có ( )D q cũng là ma trận đối xứng xác định dương giống như ( )M q . Vậy, khi sử dụng bộ điều khiển phản hồi trạng thái sau cho hệ con thứ nhất của (1.12), tức là cho hệ con đủ cơ cấu chấp hành của (1.8):
  9. 22. 10 ( ) ( , )u D q v h q q  (1.15) có v là vector tín hiệu điều khiển mới, thì ở trường hợp ( )D q cho bởi (1.14) không suy biến, hệ con (1.13) trong hệ (1.1) ban đầu sẽ trở thành tuyến tính, thậm chí còn là hệ tách thành m kênh riêng biệt với mỗi kênh là một khâu tích phân bậc 2 như sau: 1 q v Do đó, khi đã có hệ con tuyến tính (1.15) ta hoàn toàn áp dụng được tiếp những phương pháp điều khiển tuyến tính thông thường khác để mang đến cho hệ các chất lượng mong muốn như ổn định, bám ổn định, bền vững …: 1 1 2 2( ), ( )K diag k K diag k  và 2 2 1 0k k  . (1.20) 1.1.2 Điều kiện đủ để thành phần hệ con tự do là ổn định Do bộ điều khiển (1.15), (1.16) mới chỉ đảm bảo được hệ con (1.13) là bám ổn định theo nghĩa 1 r q q , mô tả bởi (1.18), nên cần thiết người ta phải khảo sát thêm tính chất của hệ con thứ hai của nó để từ đó có thể đưa ra được kết luận bộ điều khiển tuyến tính hóa từng phần (1.15), (1.16) có làm cho 2 0q  hay không. Trước tiên, từ (1.17), (1.18) thì hệ kín bao gồm đối tượng thiếu cơ cấu chấp hành ban đầu (1.8) và bộ điều khiển (1.15), (1.16) sẽ có mô hình tương đương với (1.17) như sau: ( , , ) x Ax x t      (1.21) trong đó ( , )x col e e , A cho bởi (1.19), 2 2 ( , )col q q  và  1 22 21 1 2 2 ( , , ) ( ) ( ) ( , ) n m r I x t M q M q q K e K e f q q                  . Ta có thể thấy thành phần thứ hai của (1.21) là: ( , , )x t   (1.22) có vai trò như một hệ không dừng với tín hiệu đầu vào là x . Để trả lời câu hỏi hệ (1.21) với A là ma trận Hurwitz, có ổn định hay không, tài liệu , hệ cẩu giàn, hệ cẩu tháp áp dụng vào điều khiển hệ cẩu treo nói riêng (có mô hình (3.8) sẽ được trình bày sau ở chương 3) và hệ thiếu cơ cấu chấp hành (1.8) nói chung, nhằm làm giảm góc lắc ,x y  của hàng trong quá trình vận chuyển. Tất nhiên, vì là phương pháp truyền thẳng và chỉ có tác dụng giảm chấn dao động nên khi áp dụng điều khiển hệ cẩu treo, nó cần có giả thiết là hệ không có chứa các thành phần bất định và không bị nhiều tác động ở đầu vào. Hơn thế nữa bản thân nó không thể điều khiển để hệ bám theo được quỹ đạo mẫu mong muốn cho trước. Hình 1.2 lấy từ tài liệu thực chất là những bộ điều khiển mờ xấp xỉ vạn năng. Tất cả các bộ điều khiển mờ xấp xỉ vạn năng này cùng có cấu trúc PD và đều chỉ sử dụng sau khi mô hình cẩu treo đã được tuyến tính hóa từng phần thành: 1 1 22 212 2 ( ) ( ) ( , ) q v q M q M q v f q q         (1.25) nhờ bộ điều khiển (1.15). Như vậy, nếu so sánh với hình 1.1 thì vai trò của những bộ điều khiển nội suy mờ đó chính là thay thế cho bộ điều khiển PD (1.16). Mục đích của chúng là làm cho các tín hiệu ra 1 q bám theo được quỹ đạo đặt r q , đồng thời giảm được dao động 2 q . Hình 1.3 là cấu trúc điều khiển nội suy mờ được lấy từ tài liệu . Hình 1.3. Điều khiển cẩu treo bằng nội suy mờ xu yu lu x y x l y rxq ryq rlq xv yv lv xe ye x y FC4 FC5 FC1 FC2 FC3
  10. 28. 16 Ngoài bộ điều khiển mờ trên còn có những bộ điều khiển mờ khác giới thiệu trong các tài liệu đã đưa ra giải pháp dùng bộ ước lượng hệ số khuếch đại cao kết hợp với bộ điều khiển PD thông thường để đạt được sự ổn định của toàn hệ thống. Không giống như các phương pháp được công bố từ trước sử dụng phương pháp nhiễu đơn . Ông đã sử dụng một máy tính tương tự để mô phỏng các động học của một cần trục dỡ quặng. Bằng cách thử và sai lệch, ông đã đưa ra các định dạng vận tốc tối ưu cho xe đẩy và chuyển động cáp để giảm thiểu
  11. 29. 17 thời gian hành trình trong khi tránh chướng ngại vật trên đường. Chiến lược điều khiển, tuy nhiên, đã không thể điều chỉnh dao động phụ tải. Ở đã đề cập đến điều khiển thích nghi là công cụ khá được ưa chuộng trong thiết kế điều khiển cho các hệ có nhiễu và bất định. Cấu trúc của bộ điều khiển sẽ được thay đổi dựa vào các luật thích nghi để đảm bảo hệ thống bền vững với nhiễu. Ở , đã thống kê một số lượng phong phú các phương pháp điều khiển thích nghi bền vững cho nó. Các phương pháp này chủ yếu
  12. 31. 19 được xây dựng trên nền giả định rõ (certainty equivalence) đã được giới thiệu trong tài liệu . Phương pháp điều khiển trượt cũng đã được áp dụng cho cả cẩu treo như những kết quả được công bố tại cho hệ EL thiếu cơ cấu chấp hành dạng tổng quát (1.1) chuyển được thành dạng tương tự như (1.12) mà ở đó hệ con thứ hai của nó thỏa mãn điều kiện đủ nêu trong tài liệu vẫn thường được áp dụng cho hệ tường minh, đủ cơ cấu chấp hành, mô tả bởi mô hình (1.7). Bộ điều khiển PD bù trọng trường có cấu trúc như sau:  1 2( ) ( , ) ( )u M q w K e K e C q q q g q     (1.37) trong đó ( )w t là tín hiệu mẫu mà quỹ đạo biến khớp q của hệ (1.7) cần phải bám theo, e q w  là sai lệch bám, 1 2,K K là hai ma trận đối xứng xác định dương được chọn trước sao cho:
  13. 32. 20 1 2 0 nI A K K        là ma trận Hurwitz. Khi sử dụng bộ điều khiển PD bù trọng trường (1.37) cho hệ bất định, đủ cơ cấu chấp hành mô tả bởi (1.9) thì do  trong mô hình là không xác định được nên bộ điều khiển PD trên được đổi lại thành:  1 2( , ) ( , , ) ( , )u M q w K e K e C q q q g q       (1.38) sau đó người ta xác định thêm bộ chỉnh định tham số  cho bộ điều khiển (1.38) đó. Nguyên lý chỉnh định được xây dựng trên nền giả định rõ (certainty equivalence). Cơ cấu chỉnh định tham số  cho bộ điều khiển PD bù trọng trường cải biên (1.38) dành cho hệ bất định (1.9) có cấu trúc như sau . Điều đặc biệt là ở đây mặc dù không có được   , tức là cơ cấu chỉnh định (1.39) không có được chức năng như khâu nhận dạng tham số hằng bất định  , song chất lượng bám ổn định của hệ không vì thế mà bị thay đổi. Hơn thế nữa, thực tế ứng dụng còn chỉ ra rằng bộ điều khiển PD thích nghi áp dụng được cho cả trường hợp hệ (1.7) có tham số hằng bất định  thay đổi chậm theo thời gian, mặc dù việc chứng minh chặt chẽ về mặt lý thuyết cho điều đó là chưa có ban đầu dạng tổng quát cũng đã được áp dụng cho lớp hệ EL tường minh, có nhiễu tác động ở đầu vào, mô tả bởi (1.3), trong đó nhiễu được giả thiết là bị chặn theo nghĩa ở công thức (1.5). Bộ điều khiển trượt cho hệ (1.3) có cấu trúc như sau :     ( , ) ( , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , ) M q d q C q q d q g q d u n t M q d q C q q d q g q d M q q C q q q g q                sau đó xem thành phần:    ( ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , )n t M q d q C q q d q g q d M q q C q q q g q            như một nhiễu đầu vào mới, tức là khi đó hệ bất định (1.4) lại trở thành hệ tường minh có nhiễu đầu vào (1.3): ( , ) ( , , ) ( , ) ( , )M q d q C q q d q g q d u q t    Bởi vậy, nếu ký hiệu giá trị chặn trên của thành phần nhiễu mới  này ở đầu vào cũng là  , giống như n với công thức (1.5), thì bộ điều khiển trượt cho hệ bất định (1.4) sẽ là: ( ) ( , ) ( , , ) ( , ) s e u M q d C q q d g q d s       . (1.41) Hai bộ điều khiển trượt nêu trên, (1.40) cho hệ tường minh bị nhiễu tác động và (1.41) cho hệ bất định, bị nhiễu tác động ở đầu vào đều có cùng một hạn chế là tạo ra hiện tượng rung, ảnh hưởng tới tuổi thọ của thiết bị. Điều này đã phần nào hạn chế khả năng ứng dụng của chúng trong thực tế.
  14. 34. 22 1.6.3 Phƣơng pháp Li-Slotine Phương pháp Li-Slotine , các tác giả đã không chỉ ra được một cách chặt chẽ rằng hệ sẽ tiến về mặt trượt: s v q e e     sau đúng một khoảng thời gian hữu hạn. 1.7 Kết luận chƣơng 1 Trong chương I, Nghiên cứu sinh đã hệ thống lại một số các phương pháp điều khiển hệ thiếu cơ cấu chấp hành. Về điều khiển lớp hệ này thì cho tới nay đã có rất nhiều các phương pháp khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp hơn như thích nghi, bền vững và trong nó cũng có nhiều công cụ được sử dụng kết hợp với nhau, chẳng hạn như những phương pháp được giới thiệu ở và hệ thống lại các phương pháp điều khiển hệ EL đủ cơ cấu chấp hành đã được nhiều tác giả trình bày trong . Mặc dù bộ điều khiển trượt bậc hai này có thể mở rộng được cho cả những hệ thiếu cơ cấu chấp hành nói chung chứ không chỉ riêng hệ cẩu treo, song bộ điều khiển giới thiệu ở đó là chưa được hoàn thiện. Tính chưa hoàn thiện này nằm ở chỗ: – Bộ điều khiển chỉ có thể làm cho quỹ đạo hệ tiến tiệm cận về mặt trượt, chứ không đưa được về mặt trượt sau khoảng thời gian hữu hạn. Điều này làm cho ý nghĩa thành phần điều khiển giữ hệ ở lại trên mặt trượt của bộ điều khiển sẽ không còn nữa. – Tính ổn định của hệ chưa được khẳng định khi mặt trượt tiệm cận về 0. Luận án sẽ đề xuất phương pháp hoàn thiện bộ điều khiển trượt bậc cao trên theo hướng làm cho quỹ đạo biến khớp hệ thiếu cơ cấu chấp hành nói chung và quỹ đạo hệ cẩu treo 3D nói riêng tiến về được mặt trượt sau đúng một khoảng thời gian hữu hạn, đồng thời bổ sung thêm điều kiện cho tham số bộ điều khiển sao cho khi mặt trượt bằng 0, hệ sẽ trượt trên mặt trượt về được gốc tọa độ.
  15. 37. 25 2.1 Điều khiển bám ổn định ISS thích nghi nhờ tín hiệu bù Phương pháp điều khiển ổn định ISS (input to state stable) được luận án xây dựng dựa trên sự kết hợp phương pháp tuyến tính hóa từng phần của Spong . Tính mới của phương pháp được luận án đề xuất ở đây là để hạn chế ảnh hưởng của thành phần nhiễu ( )n t , luận án sẽ bổ sung thêm vector tín hiệu bù ( )s t thay vì áp dụng nguyên tắc điều khiển trượt vẫn thường sử dụng trong điều khiển các hệ EL đủ cơ cấu chấp hành, nhờ đó sẽ không xảy ra hiện tượng rung không mong muốn trong hệ. 2.1.1 Bộ điều khiển thích nghi ISS với tín hiệu bù Xét lại hệ bất định, có nhiễu tác động, mô tả bởi (1.1) mà ở đó, tín hiệu nhiễu còn có thể phụ thuộc vào các thành phần biến khớp: ( , ) ( , ) ( , , ) ( , ) 0 u n q t M q q C q q q g q            (2.1) trong đó: 1 2 1 2 , ( , ), , ,m m n m mI D q col q q q q u         R R R với mI là ma trận đơn vị kiểu m m , 1 q là m thành phần đầu tiên của vector các biến khớp q được trực tiếp điều khiển bởi tín hiệu vào u , 2 q là những thành phần còn lại của q . Mô hình (2.1) có chứa trong nó những thành phần bất định hằng, viết chung thành vector p  R , là các tham số hằng không thể xác định được chính xác của mô hình, và ( , )n q t là nhiễu tác động ở đầu vào. Nhiễu này có thể độc lập với hệ thống, song cũng có thể là nhiễu sinh ra bởi tác động phản hồi của hệ. Để đơn giản, sau này nhiễu đầu vào đó sẽ được viết ngắn gọn thành vector n .
  16. 38. 26 Ma trận ( , )M q  trong (2.1) là ma trận quán tính. Đây là một ma trận đối xứng xác định dương với mọi vector  , ma trận ( , , )C q q  là ma trận hệ số coriolis và lực hướng tâm. Tương tự như Spong đã làm trong và cũng đã được nhắc lại ở mục 1.1.2. Điều này là hoàn toàn có thể vì trong (2.20) ta có d là tùy chọn. Do đó, ở các hệ EL thiếu cơ cấu chấp hành có hệ con (2.20) không tự ổn định thì khi xem d như tín hiệu đầu vào, ta hoàn toàn có thể xây dựng thêm bộ điều khiển phản hồi trạng thái 2( , )rd q q để nó ổn định. Trong trường hợp như vậy, ta sẽ vừa có được 1 r q q nhờ bộ điều khiển nêu trong định lý 1 là (2.6), (2.9), vừa có 2 0q  nhờ bộ điều khiển 2( , )rd q q , việc chọn d như thế nào thì thích hợp còn phụ thuộc vào cấu trúc cụ thể của (2.20) và phụ thuộc vào đặc thù của từng hệ thống. Trong thực tế, nhiều hệ EL thiếu cơ cấu chấp hành, chẳng hạn như hệ cẩu treo mà có hệ con (2.20) tự ổn định với mọi d , tức là đã thỏa mãn điều kiện ở mục 1.1.2 trích từ tài liệu . Tuy nhiên, như đã được phân tích ở phần đầu chương, mặc dù ở các tài liệu , sau đây ta sẽ hệ thống lại các nội dung chính của điều khiển trượt cơ bản. Xét hệ không dừng bậc n có mô hình trạng thái: ( , ) ( , )x f x t H x t u  với 1 2, ( , , , )n m mx u u u u   R R (2.21) và một đa tạp có số chiều ( )n m , thường được gọi là mặt trượt:  1 2( ) ( ), ( ), , ( ) 0 T mx x x x      (2.21) chứa tất cả các quỹ đạo trạng thái mong muốn ( )x t của hệ (theo một chỉ tiêu chất lượng cho trước). Nhiệm vụ của điều khiển trượt là phải xác định tín hiệu điều khiển u để đưa hệ (2.21) tiến về mặt trượt (2.21) và giữ nó lại trên đó. Tín hiệu điều khiển cần tìm eq Nu u u  sẽ gồm 2 thành phần, trong đó: equ là thành phần tín hiệu giữ ( )x t ở lại trên mặt trượt, tức là nếu đã có: 0( ) 0x  với 00 ( )x x t thì cũng sẽ có 1x 2x 0x ( )x t mặt trượt chỉ tiệm cận về mặt trượt về mặt trượt sau khoảng thời gian hữu hạn 0
  17. 46. 34 ( ) 0x  khi 0t t (2.22) Nu là thành phần tín hiệu làm cho ( )x t tiến về mặt trượt trong khoảng thời gian hữu hạn T . Như vậy khi sử dụng hàm xác định dương: 1 ( ) 2 T V    thì đủ để ( )x t tiến về mặt trượt là Nu phải tạo ra được: ( ) 0T V     khi ( ) 0x  và ( ) 0V   khi t T (2.23) Khi đó các thành phần ,eq Nu u sẽ được xác định như sau: 1) Điều khiển giữ trên mặt trượt. Từ điều kiện (2.22) có: 0 ( , ) ( , ) eqf x t H x t u x         Vậy nếu ma trận ( , ) m m H x t x     R không suy biến thì: 1 ( , ) ( , )equ H x t f x t x x             (2.24) 2) Điều khiển tiến về mặt trượt. Từ điều kiện đủ (2.23) trên và với:  ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) eq N eq N N x x f x t H x t u u x x f x t H x t u H x t u H x t u x x x                           cũng như (2.24), người ta đã đi đến một số tín hiệu điều khiển u cho hệ (2.21) nay được ký hiệu là 1 2( , , , )T N N mNNu u u u  , trong trường hợp mặt trượt lý tưởng: ( , )H x t I x    (ma trận đơn vị) như sau:  Bộ điều khiển relay:  ( ) ( ) , 1,2, ,kN k ku x sign x k m     trong đó ( ) 0,k x x   và
  18. 47. 35 1 khi 0 ( ) 1 khi 0 0 khi 0 x sign x x x         Bộ điều khiển phản hồi tuyến tính: ( )Nu L x  với 0T L L  tùy chọn.  Bộ điều khiển vector đơn vị: ( ) ( )N x u k x     với 0k  tùy chọn. Điều khiển trƣợt cho hệ bất định Dựa trên nội dung đã nghiên cứu của các tác giả tại ): 1 2 3 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) x V x t x V V f x t x t x             (2.26) với ( ) , 1,2,3i r i   , tức là những hàm của biến thực không âm 0r  , đơn điệu tăng, thỏa mãn (0) 0i  và lim ( )i r r   . Tiếp theo ta xác định Nu để có:  ( , ) ( , ) 0N V V V V V V x f x t H x t u e t x t x x                    (2.27) khi t T và 0V  khi t T . Rõ ràng, cùng với (2.22), thì đủ để có bất đẳng thức trên nếu Nu thỏa mãn:
  19. 48. 36  minmax ( , ) 0, , N N u e V H x t u e x t T x       (2.28) và đây cũng là công thức để xác định 1 2( , , , )T N N mNNu u u u  . Chẳng hạn như khi ký hiệu ( , ), 1,2, ,kh x t k m  là các vector cột của ( , )H x t :  1 2( , ) ( , ), ( , ), , ( , )mH x t h x t h x t h x t  thì Nu thỏa mãn (2.27) sẽ có các phần tử , 1,2, ,kNu k m là: ( , ) ( , )kN k V u x t sign h x t x          Điều khiển trƣợt bậc cao Dựa trên nội dung đã nghiên cứu của các tác giả tại , Levant . – Bộ điều khiển trượt cận tối ưu (sub-optimal algorithm) của Bartolini và Levant [50], là bộ điều khiển áp dụng cho hệ (2.32), trong đó u được xem như tham số và: u v là tín hiệu vào. Hai thành phần bất định hàm ( ), ( )   trong hệ được giả thiết là bị chặn: ( )    và 1 20 ( )G G    (2.34) Nói cách khác, bộ điều khiển xoắn được áp dụng cho hệ bất định: 1 2 2 ( ) ( ) y y y v        (2.35)


【#3】Sách: Phương Pháp Số Phức Và Hình Học Phẳng

1. Lời nói đầu

Do nhu cầu phát triển của toán học, số phức đã ra đời từ thế kỷ trước. đến lượt nó số phức lại thúc đẩy phát triển không những Toán học mà còn các ngành khoa học khác. Ngày nay, số phức không thể thiếu được trong các ngành khoa học lý thuyết cũng như kỹ thuật. Thế mà số phức được học trong các trường phổ thông ở những năm cuối cùng, mang tính chất giới thiệu. Chúng tôi biên soạn cuốn sách này không phải để phổ biến số phức, mà chỉ dùng số phức như là công cụ giải những bài toán hình học điển hình ở phổ thông. Do vậy, chúng tôi trình bầy sơ lược về số phức mà ta sẽ dùng chứ không đi sâu nghiên cứu số phức, phần quan trọng là dùng số phức để giải bài toán hình học, chúng tôi cố gắng phân loại những bài toán hình học theo một dạng nào đấy để thấy mặt mạnh của phương pháp số phức. Ngoài ra những bài tập trong cuốn sách này là chọn lọc những bài toán hay trong hình học.

Để đọc tài liệu này, không cần yêu cầu bạn đọc biết trước về số phức, chúng tôi sẽ giới thiệu ngắn gọn và các tính chất của số phức để dùng sau này. Nếu bạn đọc còn bỡ ngỡ và tìm hiểu theo một hướng khác, thì nên xem:

A.I. Markusevits, Số phức và ánh xạ bảo giác, NXB KHKT, 1987

N.C. Toàn, Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học, NXB GD, 1992.

Ngày nay số phức cũng là khởi đầu một ngành nghiên cứu mới trong toán học đó là hình học Fractal của thời đại vi tính. Hy vọng chúng tôi sẽ giới thiệu loại hình học mới này trong một cuốn sách khác tiếp theo.

Hà nội, 1998

2. Nội dung

Lời nói đầu i

Nội dung iii

1. Khái niệm về số phức 1

1.1. Định nghĩa số phức 1

1.2. Biểu diễn đại số của số phức 2

1.3. Dạng lượng giác của số phức 4

1.4. Công thức Moavrơ 7

2. Độ đo góc của hai tia 10

2.1. Góc định hướng 10

2.2. Ví dụ 12

2.3. Bài tập 15

3. Phương trình đường thẳng 18

3.1. Đường thẳng qua hai điểm 18

3.2. Phương trình tham số 19

3.3. Ví dụ 19

3.4. Bài tập 25

4. Phương trình đường tròn 27

4.1. Phương trình tổng quát 27

4.2. Đường tròn đơn vị 30

4.3. Giao điểm hai cát tuyến 31

4.4. Giao điểm hai tiếp tuyến 33

4.5. Chân đường vuông góc ở dây cung 34

4.6. Bài tập 36

5. Đường thẳng và đường tròn Euler 38

5.1. Nhãn của những điểm đặc biệt trong tam giác 38

5.2. Ví dụ 40

5.3. Bài tập 42

6. Đường thẳng Simson 45

6.1. Ba điểm trên đường thẳng Simson 45

6.2. Ví dụ 46

6.3. Bài tập 49

7. Tứ giác nội tiếp đường tròn 52

7.1. Những điểm đặc biệt của tứ giác nội tiếp 52

7.2. Ví dụ 53

7.3. Bài tập 56

8. Đường tròn đơn vị nội tiếp 59

8.1. Hệ tọa độ đơn vị mớ i 59

8.2. Ví dụ 60

8.3. Bài tập 67

9. Tam giác đồng dạng 69

9.1. Quan hệ đồng dạng của hai tam giác 69

9.2. Ví dụ 70

9.3. Bài tập 72

10. Đa giác đều 75

10.1. Nhãn của đỉnh các đa giác đều 75

10.2. Ví dụ 76

10.3. Bài tập 80

11. Diện tích đa giác 82

11.1. Công thức tính diện tích 82

11.2. Ví dụ 83

11.3. Bài tập 87

12. Lời giải và hướng dẫn bài tập 89

13. Vấn đề tiếp tục và bài tập tự giải 139

13.1. Vai trò như nhau của các nhãn điểm 139

13.2. Những định lý nổi tiếng trong hình học phẳng 141

13.3. Lời cuối cùng 149

13.4. Bài tập tự giải 150

Tài liệu tham khảo 154


【#4】Tài Liệu Phương Pháp Số Trong Công Nghệ Hóa Học

PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG CÔNG NGHỆ HÓA HỌC Mã học phần: CH3454 TS. Nguyễn Đặng Bình Thành BM:Máy & TBCN Hóa chất Numerical Methods in Chemical Engineering MỞ ĐẦU Phương pháp số được dùng để phân tích và giải gần đúng các bài toán với sai số nằm trong giới hạn cho phép. …bởi vì hầu hết các bài toán khoa học kỹ thuật đều không có các lời giải chính xác. Phương pháp số thường được bắt đầu từ việc xây dựng mô hình, lựa chọn thuật toán, và đưa ra các đáp số gần đúng. MỞ ĐẦU Phương pháp số có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như: Thiên văn học, nông nghiệp, kiến trúc, … Và tất nhiên rất quan trọng trong kỹ thuật. MỞ ĐẦU Phương pháp số trong Kỹ thuật hóa học: Mô tả bằng toán học các quá trình và và thiết bị trong công nghệ hóa học. Tính toán thiết kế các quá trình và thiết bị hoạt động trong lĩnh vực kỹ thuật hóa học. Tính toán tối ưu hóa các điều kiện làm việc và kết cấu các thiết bị hóa chất. Xác định các hằng số thực nghiệm bằng phương pháp hồi quy. … NỘI DUNG Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình. Chương 2. Phương pháp tính tích phân Chương 3. Phương trình và hệ phương trình vi phân Chương 4. Tối ưu hóa NỘI DUNG Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.1 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng 1.1.1 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss và phương pháp nghịch đảo ma trận 1.1.2 Ứng dụng để tính toán cân bằng vật chất của hệ thống CNHH NỘI DUNG Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến 1.2.1 Giải phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp đơn giản và phương pháp Newton-Raphson 1.2.2 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp đơn giản và phương pháp Newton-Raphson 1.3 Ứng dụng NỘI DUNG Chương 2. Phương pháp tính tích phân 2.1 Tính tích phân xác định bằng phương pháp hình thang 2.2 Tính tích phân xác định bằng phương pháp Simpson 2.3 Ứng dụng 2.3.1 Tính toán tháp chưng luyện 2.3.2 Tính toán tháp hấp thụ NỘI DUNG Chương 3. Phương trình và hệ phương trình vi phân 3.1 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler 3.2 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Runge-Kutta 3.3 Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp Euler 3.4 Giải hệ phương trình phi phân bằng phương pháp Runge-Kutta 3.5 Ứng dụng tính toán hệ phản ứng hóa học NỘI DUNG Chương 4. Tối ưu hóa 4.1 Tìm cực trị hàm một biến: phương pháp điểm vàng, phương pháp gradien 4.2 Tìm cực trị hàm nhiều biến: phương pháp gradien, phương pháp đơn hình 4.3 Cực trị có ràng buộc: phương pháp hàm phạt TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bin. Các quá trình và thiết bị công nghệ hóa chất T1, 2, 3, NXB KHKT, 2001. K. Johnson. Numerical Methods in Chemistry, Mc. Graw Hill, 1978. of real; ma = array of real; a: array [1..50, 1..100] of real; Nhắc lại kiến thức về lập trình Pascal Các loại chương trình con Dùng chương trình con khi cần thực hiện một đoạn chương trình lặp đi lặp lại nhiều lần. Do đó: khi cần đến những đoạn chương trình như vậy thì chỉ cần gọi tên chương trình con đó. Thuận lợi: -Chương trình chính đơn giản -Mức độ khái quát hóa chương trình cao -Dễ kiểm tra lỗi cho toàn bộ chương trình -Thuận lợi cho người sử dụng Nhắc lại kiến thức về lập trình Pascal Các loại chương trình con Trong Pascal có hai loại chương trình con: -Hàm (function) Hàm chỉ trả lại một kiểu dữ liệu và một giá trị duy nhất -Thủ tục (procedure) Thủ tục có thể trả lại nhiều kiểu dữ liệu khác nhau và có thể trả lại nhiều giá trị


【#5】Phương Pháp Số Trong Công Nghệ Hóa Học

PHƯƠNG PHÁP SỐTRONG CÔNG NGHỆ HÓA HỌC Mã học phần: CH3454 TS. Nguyễn Đặng Bình Thành BM:Máy & TBCN Hóa chất Numerical Methods in Chemical Engineering MỞ ĐẦU Phương pháp số được dùng để phân tích và giải gần đúng các bài toán với sai số nằm trong giới hạn cho phép. …bởi vì hầu hết các bài toán khoa học kỹ thuật đều không có các lời giải chính xác. Phương pháp số thường được bắt đầu từ việc xây dựng mô hình, lựa chọn thuật toán, và đưa ra các đáp số gần đúng. MỞ ĐẦU Phương pháp số có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như: Thiên văn học, nông nghiệp, kiến trúc, … Và tất nhiên rất quan trọng trong kỹ thuật. MỞ ĐẦU Phương pháp số trong Kỹ thuật hóa học: Mô tả bằng toán học các quá trình và và thiết bị trong công nghệ hóa học. Tính toán thiết kế các quá trình và thiết bị hoạt động trong lĩnh vực kỹ thuật hóa học. Tính toán tối ưu hóa các điều kiện làm việc và kết cấu các thiết bị hóa chất. Xác định các hằng số thực nghiệm bằng phương pháp hồi quy. … NỘI DUNG Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình. Chương 2. Phương pháp tính tích phân Chương 3. Phương trình và hệ phương trình vi phân Chương 4. Tối ưu hóa NỘI DUNG Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.1 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng 1.1.1 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss và phương pháp nghịch đảo ma trận 1.1.2 Ứng dụng để tính toán cân bằng vật chất của hệ thống CNHH NỘI DUNG Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến 1.2.1 Giải phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp đơn giản và phương pháp Newton-Raphson 1.2.2 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp đơn giản và phương pháp Newton-Raphson 1.3 Ứng dụng NỘI DUNG Chương 2. Phương pháp tính tích phân 2.1 Tính tích phân xác định bằng phương pháp hình thang 2.2 Tính tích phân xác định bằng phương pháp Simpson 2.3 Ứng dụng 2.3.1 Tính toán tháp chưng luyện 2.3.2 Tính toán tháp hấp thụ NỘI DUNG Chương 3. Phương trình và hệ phương trình vi phân 3.1 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler 3.2 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Runge-Kutta 3.3 Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp Euler 3.4 Giải hệ phương trình phi phân bằng phương pháp Runge-Kutta 3.5 Ứng dụng tính toán hệ phản ứng hóa học NỘI DUNG Chương 4. Tối ưu hóa 4.1 Tìm cực trị hàm một biến: phương pháp điểm vàng, phương pháp gradien 4.2 Tìm cực trị hàm nhiều biến: phương pháp gradien, phương pháp đơn hình 4.3 Cực trị có ràng buộc: phương pháp hàm phạt TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bin. Các quá trình và thiết bị công nghệ hóa chất T1, 2, 3, NXB KHKT, 2001. K. Johnson. Numerical Methods in Chemistry, Mc. Graw Hill, 1978. of real; ma = array of real; a: array ; b) Tìm giá trị nhỏ nhất i:=1; xmin:= một số rất lớn??? Nếu x; i:=i+1; Hoặc cách khác??? Có cần chương trình con??? Ví dụ áp dụng Ví dụ 2 Cho dãy số thực x1, x2,…,xn và hàm số yi = 2xi2 + 3xi – 7 Hãy tính tổng S của các giá trị yi Tìm giá trị nhỏ nhất của dãy yi Thuật toán? a) Tính tổng i:=0;S:=0; i:=i + 1; y; b) Tìm giá trị nhỏ nhất i:=1; ymin:= một số rất lớn??? Nếu y; i:=i+1; Hoặc cách khác??? Có cần chương trình con??? Bài tập!!! 1) Thực hiện lại ví dụ 1 và ví dụ 2 bằng chương trình Pascal 2) Cho dãy số thực tăng dần x1, x2,…,xn và một số thực xs. Hãy xác định vị trí của xs trong dãy số trên, biết x1 < xs <xn


【#6】Phương Pháp Runge Kutta Giải Gần Đúng Hệ Phương Trình Vi Phân Đại Số

, University of Le Quy Don Technical

Published on

Luận văn thạc sĩ Toán học

Mô tả cách giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân bằng phương pháp số. Có ứng dụng MATLAB để giải

  1. 1. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ HUY BÌNH PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 .46 .01 .12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN – 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  2. 2. Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Minh Phản biên 1: TS. Nguyễn Anh Tuấn Phản biên 2: TS. Nguyễn Thị Thu Thủy Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Ngày 18 tháng 11 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại Thư viện Đại học Thái Nguyên 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  3. 4. 2 2.2.2 Công thức lấy vi ngược (BDF) cho các hệ phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Phương pháp Runge-Kutta cơ bản . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Các phương pháp Runge-Kutta ẩn () . . . . . . 28 2.3.3 Tóm tắt các kết quả hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.4 Các phương pháp nhiễu đơn . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.5 Các phương pháp bán tường minh . . . . . . . . . . 34 2.4 Sự hội tụ đối với các bài toán chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . 35 2.4.1 Giải phương trình vi phân thường tương đương . . . 35 2.4.2 Phương pháp tiếp cận trực tiếp . . . . . . . . . . . . 36 2.4.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.4 Khai triển tiệm cận của sai số toàn cục . . . . . . . 38 2.5 Phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số một cách tiếp cận mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.2 Cách tiếp cận mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.3 Sự hội tụ đối với các hệ phương trình vi phân đại số có thể chuyển sang hệ số hằng . . . . . . . . . . . . 48 2.5.4 Sự co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 52 3.1 Ví dụ giải gần đúng phương trình vi phân thường (ODE) . 52 3.2 Ví dụ giải gần đúng hệ phương trình vi phân đại số (DAE) cài đặt bằng Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  4. 5. 3 MỞ ĐẦU Hệ phương trình vi phân đại số là lớp phương trình có ý nghĩa ứng dụng thực tế cao, xuất hiện trong lý thuyết điều khiển, mô phỏng mạch điện, phản ứng hóa học những vấn đề trong điều khiển đòi hỏi chúng ta phải quan tâm giải quyết những hệ phương trình dạng: A(t)x + B(t)x + f(t) = 0 trong đó A, B là những ma trận hằng hoặc ma trận hàm liên tục cấp n, detA(t) = 0, gọi là hệ phương trình vi phân đại số (chú ý rằng nếu det A(t) = 0 thì đưa về dạng: x = −A−1 B(x) là phương trình vi phân thường). Lý thuyết phương trình vi phân thường đã được Newton-Leibnitz xây dựng vào cuối thế kỷ 17 đã được nghiên cứu, phát triển mở rộng theo nhiều hướng và thu được nhiều kết quả hoàn chỉnh. Hệ phương trình vi phân đại số đóng vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực như: Toán hoc, kĩ thuật, vật lí, kinh tế và một số ngành khác. Nội dung của luận văn nhằm giải quyết hai vấn đề chính: Vấn đề 1: Những khái niệm cơ bản của hệ phương trình vi phân đại số. Vấn đề 2: Đưa ra phương pháp Runge-Kutta giải gần đúng phương trình vi phân đại số và ứng dụng của phương pháp này giải bài toán cụ thể. Luận văn này được chia làm ba chương. Chương 1: Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình vi phân đại số. Nội dung chương 1 trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết của phương trình vi phân thường, một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số: Chỉ số, nghiệm, phân loại, bài toán cơ bản dẫn đến hệ phương trình vi phân đại số. Chương 2: Phương pháp Runge-Kutta giải gần đúng hệ phương trình vi phân đại số. Nội dung chương 2 nhắc lại phương pháp số để giải gần đúng phương trình vi phân thường, phương pháp số cho hệ phương trình vi phân đại số trong đó có phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số, cách tiếp cận mới của phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số. 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  5. 6. 4 Chương 3: Thực hiện với ví dụ cụ thể. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Văn Minh. Tác giả xin được tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và góp ý để tác giả hoàn thiện luận văn của mình. Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học- Đại hoc Thái Nguyên. Những thầy cô đã tận tình dạy bảo cho tác giả trong suốt thời gian học. Đã trang bị cho tác giả và tập thể lớp những kiến thức và tạo mọi điều kiện cho lớp học tập tại trường. Dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót nhất định, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 09 năm 2012 Tác giả Vũ Huy Bình 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  6. 7. 5 Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân thường cấp 1 1.1.1 Vài mô hình đơn giản Sự rơi tự do: Xét một vật có khối lượng m được thả rơi tự do trong khí quyển gần mặt đất. Theo định luật II Newton, chuyển động của vật thể đó có thể mô tả bởi phương trình F = ma (1.1.1) Trong đó F là hợp lực tác động lên vật và a là gia tốc chuyển động. Hợp lực F có thể giả thiết chỉ bao gồm lực hấp dẫn (tỷ lệ với khối lượng của vật và hướng xuống) và lực cản (tỷ lệ với vận tốc chuyển động và hướng lên trên). Ngoài ra do gia tốc chuyển động a = dv dt nên (1.1.1) có thể viết dưới dạng m dv dt = mg − αv. (1.1.2) Trong đó g ≈ 9, 8m s2 là gia tốc trọng trường, còn α là hệ số cản. Vậy vận tốc v của vật rơi tự do thỏa mãn phương trình (1.1.2) với sự xuất hiện của đạo hàm của v. Những phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  7. 8. 6 Dung dịch hóa học: Giả sử tại thời điểm ban đầu t = t0 một thùng chứa x0 kg muối hòa tan trong 1000 lít nước. Ta cho chảy vào thùng một loại nước muối nồng độ a (kg/lít) với lưu lượng r (lít/phút) và khuấy đều. Đồng thời cho hốn hợp đó chảy ra khỏi thùng cũng với tốc độ như trên. Gọi x = x(t) là lượng muối trong thùng tại thời điểm bất kỳ. Rõ ràng tỷ lệ thay đổi lượng muối trong thùng dx dt bằng hiệu của tỷ lệ muối chảy vào (kg/phút) trừ đi tỷ lệ muối chảy ra tại thời điểm đang xét rx 1000 . (kg/phút). Vậy ta có phương trình vi phân dx dt = ar − rx 1000 (1.1.3) với dữ kiện ban đầu x(t0) = x0 1.1.2 Một số khái niệm Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x, y, y , y , …, y(n) ) = 0. (1.1.4) Trong đó y = y(x) là ẩn hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm (đến cấp nào đó) của ẩn. Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến (xuất hiện các đạo hàm riêng) thì phương trình vi phân còn gọi là phương trình đạo hàm riêng. Để phân biệt người ta thường gọi phương trình với ẩn hàm là hàm một biến là phương trình vi phân thường là đối tượng chính được nói trong mục này. Thông thường ta xét các phương trình với ẩn hàm là hàm số một biến thực y = y(x) xác định trên khoảng mở I ⊂ R, khi đó hàm F trong đẳng thức trên xác định trong một tập mở G của R × Rn+1 . Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là véc tơ hàm (hàm với giá trị véc tơ) y(x) = (y1(x), …, ym(x))T ∈ Rm , F là một ánh xạ nhận giá trị trong Rm và (1.1.4) được hiểu là hệ phương trình vi phân. Ta nói một phương trình vi phân có cấp n nếu n là cấp lớn nhất của đạo hàm ẩn xuất hiện trong phương trình. Phương trình vi phân thường cấp I có dạng tổng quát F(x, y, y ) = 0 trong đó F(x, y, y ) được giả thiết là liên tục với các đạo hàm riêng của nó trên miền G ⊂ R3 . Với một số giả thiết thích hợp, phương trình vi phân 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  8. 9. 7 thường cấp I có thể viết được dưới dạng sau (gọi là dạng giải ra đối với đạo hàm) y = f(x, y) (1.1.5) với f liên tục trong một miền D ⊂ R2 . Ví dụ: Các phương trình ey + ey cosx = 1 (y )2 − 2xy = ln x ∂2 u ∂x2 + ∂2 u ∂y2 = 0 lần lượt là các phương trình vi phân thường cấp I, cấp III và phương trình đạo hàm riêng cấp II. 1.1.3 Bài toán Cauchy Nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tùy ý nào đó. Để xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện nào đó về nghiệm (tùy theo cấp của phương trình vi phân). Chẳng hạn, y = x3 3 + C là nghiệm tổng quát của phương trình y = x2 . Dễ thấy y = x3 3 + 1 là nghiệm (duy nhất) thỏa mãn y(0) = 1. Ta xét bài toán sau đây đặt ra đối với phương trình F(x, y, y ) = 0, gọi là bài toán Cauchy (hay bài toán giá trị ban đầu): Bài toán y(x) thỏa y = f(x, y) y(x0) = y0 (1.1.6) trong đó (x0, y0) ∈ D được gọi là điều kiện ban đầu. Chú ý: Không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có nghiệm, và khi có nghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm. Chẳng hạn phương trình y = x2 , y(0) = 0 có duy nhất một nghiệm là y = x3 3 phương trình xy = y, y(0) = 1 không có nghiệm nào, phương trình y = y1/3 , y(0) = 0 có ít nhất hai nghiệm là y ≡ 0 và y2 = 8 27 x3 . 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  9. 13. 11 của C cho bởi (1.1.7) khi (x0, y0) chạy khắp D Khi đó hệ thức ϕ(x, y) = C được gọi là tích phân tổng quát của phương trình y = f(x, y). Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm của phương trình (1.1.5) mà tại mỗi điểm (x0, y0) của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được thỏa mãn được gọi là nghiệm riêng. Ngược lại nghiệm của phương trình (1.1.5) mà tại mỗi điểm của nó tính chất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị vi phạm được gọi là nghiệm kỳ dị. Nhận xét: Từ định nghĩa nghiệm tổng quát, ta suy ra rằng với mỗi điều kiện ban đầu (x0, y0) ∈ D, ta luôn tìm được C0 = ϕ(x0, y0) là nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng. Nói cách khác, bằng cách chọn các giá trị thích hợp cho hằng số, ta có thể thu được các nghiệm riêng tùy ý của phương trình, không kể các nghiệm kỳ dị. Giải (hay còn gọi là tích phân) một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm (biểu thức nghiệm tổng quát) của phương trình đó hoặc nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện ban đầu cho trước. 1.2 Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính: A(t)x (t) + B(t)x(t) = q(t) (1.2.8) trong đó: A, B ∈ C(I, L(Rn )), q liên tục trên I, detA(t) = 0 hay A(t) suy biến (không khả nghịch) với mọi t ∈ I, là hệ phương trình vi phân đại số. Chú ý rằng nếu A(t) không suy biến thì (1.2.8) là phương trình vi phân thường x (t) = −A−1 (t)B(t)x + A−1 f(t), t ∈ I Ví dụ 1.2.2. Về hệ phương trình vi phân đại số Trong số nhiều phương pháp khác nhau, phương pháp mô hình hóa với các phương trình vi phân đại số đóng một vai trò quan trọng đối với các hệ cơ học có ràng buộc, các mạch điện và phản ứng hóa học. Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra ví dụ về mô hình hóa phương trình vi phân đại số đối với hệ cơ học có ràng buộc để thấy được các phương trình vi phân 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  10. 14. 12 đại số nảy sinh từ lĩnh vực này như thế nào. Chúng ta sẽ chỉ ra các đặc điểm quan trọng của phương trình vi phân đại số, phân biệt chúng với các phương trình vi phân thường. Xét con lắc toán học trong hình 1.1. Đặt m là khối lượng của con lắc Hình 1.1: Con lắc toán học được gắn vào một thanh chiều dài l. Để mô tả con lắc trong hệ tọa độ Descarter, chúng ta viết ra thế năng U(x, y) = mgh = mgl − mgy (1.2.9) Ở đây (x(t), y(t)) là vị trí của quả nặng tại thời điểm t. Gia tốc trọng trường của trái đất là g, chiều cao của con lắc là h. Nếu chúng ta kí hiệu đạo hàm của x và y là ˙x và ˙y thì động năng là T( ˙x, ˙y) = 1 2 m( ˙x2 + ˙y2 ) (1.2.10) Số hạng ˙x2 + ˙y2 mô tả vận tốc của con lắc. Ràng buộc sẽ là 0 = g(x, y) = x2 + y2 − l2 (1.2.11) (1.2.9) (1.2.11) được sử dụng để tạo thành hàm Lagrange L(q, ˙q) = T( ˙x, ˙y) − U(x, y) − λg(x, y) Ở đây q kí hiệu cho vector q = (x, y, λ) Lưu ý rằng λ đóng vai trò như một nhân tử Lagrange. Bây giờ, các phương trình chuyển động được cho bởi phương trình Euler d dt ( ∂L ∂ ˙qk ) − ∂L ∂qk = 0, k = 1, 2, 3 Chúng ta được hệ m¨x + 2λx = 0, m¨y − mg + 2λy = 0, g(x, y) = 0 (1.2.12) 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  11. 15. 13 Bằng cách đưa vào các biến bổ sung u = ˙x và v = ˙y, chúng ta thấy rằng (1.2.12) là một hệ phương trình vi phân đại số. Khi giải(1.2.12) như một bài toán giá trị ban đầu, chúng ta thấy rằng mỗi giá trị ban đầu (x(t0), y(t0)) = (x0, y0) phải thỏa mãn các ràng buộc (1.2.11) (khởi tạo phù hợp). Không có điều kiện ban đầu nào có thể được đặt ra cho λ, khi λ được ngầm xác định bởi (1.2.12). Tất nhiên, con lắc có thể được mô hình hóa bởi phương trình vi phân thường bậc hai ¨ϕ = − g l sin ϕ Khi góc ϕ được sử dụng như biến phụ thuộc. Tuy nhiên đối với các bài toán thực tế, phát biểu theo hệ phương trình vi phân thường không rõ ràng, nhiều khi là không thể. Ví dụ 1.2.3. Hệ x1 − ˙x1 + 1 = 0 ˙x1x2 + 2 = 0 (1.2.13) là một hệ phương trình vi phân đại số để thấy được điều này chúng ta xác định Jacobian ∂F ∂ ˙x của F (t, x, ˙x) = x1 − ˙x1 + 1 = 0 ˙x1x2 + 2 = 0 với ˙x = ˙x1 ˙x2 sao cho ∂F ∂ ˙x =    ∂F1 ∂ ˙x1 ∂F1 ∂ ˙x2 ∂F2 ∂ ˙x1 ∂F2 ∂ ˙x2    = −1 0 x2 0 chúng ta thấy rằng det ∂F ∂ ˙x = 0 Vậy Jacobian là ma trận suy biến bất kể giá trị của x2 Nhận xét: Trong ví dụ này đạo hàm ˙x2 không xuất hiện chúng ta tìm ˙x1 từ phương trình thứ nhất x1 − ˙x1 + 1 = 0 thu được kết quả ˙x1 = x1 + 1 thay ˙x1 vào phương trình thứ hai ˙x1x2 + 2 = 0 để viết ra một hệ phương trình vi phân đại số ˙x1 = x1 + 1 (x1 + 1) x2 + 2 = 0 Trong hệ phương trình vi phân đại số này: Phương trình ˙x1 = x1 + 1 là phương trình vi phân. Phương trình (x1 + 1) x2 + 2 = 0 là phương trình đại số. 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  12. 16. 14 1.3 Phân loại hệ phương trình vi phân đại số (, suy ra d dt ) 2.1.1 Phương pháp Runge – Kutta Bài toán Cauchy hay còn gọi là bài toán giá trị ban đầu: Tìm y(x) thỏa mãn điều kiện: y = f(x, y) x0 ≤ x ≤ ¯x y(x0) = y0 (2.1.1) Đặt y1 = y0 + ∆y0, trong đó ∆y0 = pr1k1(h) + … + prrkr(h) ki(h) = hf(ξi, ζi); ξi = x0 + αih; α1 = 0 ; i = 1, 2, …, r ζi = y0 + βi1k1(h) + … + βi,i−1ki−1(h) Gọi ϕr(h) := y(x0 + h) − y1 = y(x0 + h) − y(x0) − ∆y0 Nếu ϕ (s+1) r (0) = 0 thì ϕr(h) = r i=0 ϕi r(0) i! hi + O(hs+1 ) Runge-Kutta chọn các hệ số αi, βij, prj từ điều kiện ϕi r(0) = 0 i = 0, 1, …, s; ϕ (s+1) r (0) = 0 với s càng lớn càng tốt. Như vậy ϕi r(0) = y (i) 0 − pr1k (i) 1 (0) + … + prrk (i) r (0) = 0(i = 0, 1, …, s), hay ta có hệ phương trình phi tuyến để xác định các hệ số αi, βij, prj ta cần giải hệ phương trình phi tuyến 23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  13. 24. 22 pr1k (i) 1 (0) + pr1k (i) 1 (0) + … + prrk (i) r (0) = y (i) 0 i = 0, 1, …, s (2.1.2) 2.1.2 Phương pháp Euler Ta xét trường hợp riêng của phương pháp Runge-Kutta khi r = 1. Ta có ∆y0 = p11k1(h); k1(h) = hf(x0, y0) y1 = y0 + ∆y0 = y0 + p11k1(h) = y0 + p11hf(x0, y0) mà ϕ1(h) := y(x0 + h) − y1 nên ϕ1(h) := y(x0 + h) − y0 − p11hf(x0, y0); ϕ1(0) = 0; ϕ1(0) = y0 − p11f(x0, y0) = f(x0, y0) − p11f(x0, y0) = (1 − p11)f(x0, y0). Để ϕ1(0) = 0 với mọi hàm f, ta phải có p11 = 1. Nói chung ϕ1 (0) = y0 = 0 vậy ∆y0 = p11k1(h) = hf(x0, y0) Ta nhận được công thức Euler: y1 = y0 + hf(x0, y0) (2.1.3) Nói chung yn+1 = yn + hf(xn, yn), xn = x0 + nh Sai số địa phương: Xét sai số mắc phải trên một bước với giả thiết bước trước đó tính đúng. Tại bước thứ i ta xét hàm ¯y(x) là nghiệm của bài toán ¯y = f(x, ¯y(x)) ¯y(xi)=yi Nghiệm đúng của bài toán này ¯y(xi+1) = ¯y(xi) + hf(xi, ¯y(xi)) 1! + o(h2 ) Bởi ¯y(xi) = yi và yi+1 = yi + hf(xi, yi) nên ¯y(xi+1) = yi + hf(xi, yi) + o(h2 ) = yi+1 + o(h2 ) Từ đó suy ra ¯y(xi+1) − yi+1 = o(h2 ) 2.1.3 Phương pháp Euler cải tiến Trong phương pháp Runge -Kutta (RK), ta xét trường hợp r = 2 ∆y0 = p21k1(h) + p22k2(h) Phương trình ( 2.1.2) trong trường hợp này có dạng: y (l) 0 = p21k (l) 1 (0) + p22k (l) 2 (0) (l = 1, 2 ) (2.1.4) 24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  14. 25. 23 Vì k1(h) = hf(x0, y0) nên k1(0) = 0; k1(0) = f(x0, y0) và k1 (0) = 0 tiếp theo k2(h) = hf(ξ2, ζ2) trong đó ξ2 = x0 + α2h; ζ2 = y0 + β21k1(h) ta có k2(h) = h f(ξ2, ζ2)+h ∂f ∂x α2 + ∂f ∂y β21k1(h) ≡ f(ξ2, ζ2)+h ∂f ∂x α2 + ∂f ∂y β21k1(h) Dế thấy k2(0) = 0; k2(0) = f(x0, y0). Tiếp theo k2 (h) = ∂f ∂x α2 + ∂f ∂y β21k1(h) + ∂f ∂x α2 + ∂f ∂y β21k1(h) +h ∂f ∂x α2 + ∂f ∂y β21k1(h) nên k2 (0) = 2 ∂f ∂x α2 + ∂f ∂y β21k1(h) h=0 = 2(α2 ∂f0 ∂x + β21f0 ∂f0 ∂y ). Ở đây chúng ta dùng ký hiệu f0 := f(x0, y0); ∂f0 ∂x , ∂f0 ∂y là đạo hàm ∂f ∂x , ∂f ∂y tương ứng tính tại điểm (x0, y0). Từ hệ thức (2.1.4) ta suy ra    y0 = f0 = p21f0 + p22f0 y0 = p21k1 (0) + p22k2 (0) = 2p22(α2 ∂f0 ∂x + β21f0 ∂f0 ∂y ) (2.1.5) Từ phương trình đầu của (2.1.5) suy ra p21 + p22 = 1. Biến đổi phương trình thứ hai của hệ (2.1.5)ta được (1 − 2α2p22) ∂f0 ∂x + (1 − 2p22β21)f0 ∂f0 ∂y = 0 (2.1.6) Vì công thức RK2 (ứng với r = 2) đúng cho mọi hàm f nên để (2.1.6) nghiệm đúng, cần 1 − 2α2p22 = 1 − 2p22β21 = 0. Như vậy α2 = β21 = 1; p21 = p22 = 1 2 và ∆y0 = 1 2h {f(x0, y0) + f(x0 + h, y0 + hf(x0, y0))} Ta nhận được công thức RK2, còn gọi là công thức Euler cải tiến. ¯y0 := y0 + hf(x0, y0) y1 = y0 + 1 2h , và điều kiện C(q) có nghĩa là đa thức ít nhất là đến bậc q −1 được lấy tích phân chính xác trên khoảng n + εn + εn, n, n, n + O(ε2 hq−2 ) (2.3.32) zn − z(xn) = n, là xn+1 = xn + h s i=1 biXni (2.5.63) 42Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  15. 45. 43 2.5.2 Cách tiếp cận mới Để đưa ra cách tiếp cận mới cho các hệ phương trình vi phân đại số, chúng ta nhớ lại rằng nguồn gốc của công thức Runge-Kutta là công thức cầu phương chúng ta xét các giá trị c = cj đối với và và X = e ⊗ Anxn + h(A ⊗ I)F(Tn) (2.5.71) Định lý 2.5.2. Nếu ma trận A không suy biến và chùm (A, B −A ) chính quy thì tồn tại một h0 sao cho khi h ≤ h0 hệ (2.5.71) có một nghiệm duy nhất 45Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  16. 46. 44 Chứng minh. Chúng ta phải chứng minh tính chính quy của ma trận DA +h(A⊗I)DB−A có thể được viết là Is ⊗An +h(A⊗(Bn −An))+v(h) Từ tính chính quy của chùm (A, B − A ) và ma trận hệ số A, chúng ta có thể thu được tính chính quy của Is ⊗ An + h(A ⊗ (Bn − An)) và do đó đạt được kết quả mong muốn. Trong phần sau đây chúng ta sẽ giả sử rằng A không suy biến và chùm (A, B −A ) chính quy chúng ta thấy rằng đối với phương pháp tiếp cận cổ điển chúng ta cần sự chính quy của chùm(A, B) trong khi đó đối với cách tiếp cận mới chúng ta cần sự chính quy của chùm (A, B − A ) hai ví dụ đơn giản cho chúng ta thấy rằng chúng ta có thể có các hệ phương trình vi phân đại số trong đó chỉ có thể áp dụng một phương pháp và không thể áp dụng phương pháp kia. Ví dụ 1: Trong hệ phương trình vi phân đại số: 0 0 1 −t x (t) + 1 −t 0 0 x(t) = f(t) . Chùm (A, B) suy biến (nhớ rằng hệ phương trình vi phân đại số này có nghiệm duy nhất mặc dù chùm suy biến) nhưng chùm (A, B − A ) chính quy. Ví dụ 2: Trong hệ phương trình vi phân đại số: 0 1 1 t x (t) + 1 0 t 1 x(t) = f(t) . Chùm (A, B − A ) chính quy nhưng chùm (A, B) suy biến. Chúng ta biết rằng tính dễ xử lý với chỉ số 2 của chùm (A, B), đàm bảo sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm với các điều kiện ban đầu phù hợp, tương đương với tính chính quy với chỉ số 2 của chùm cục bộ hiệu chỉnh (A, B−AP ) nhưng không tính đến tính chính quy của chùm (A, B) Trường hợp trên không xảy ra cho chỉ số 1, Qua−1 A(t)x(t) + Qs(t)−1 f(tn+1) (2.5.74) Nếu phương pháp chính xác cứng mà chúng ta chọn giai đoạn bện trong thứ s là gần đúng tại tn+1, ¯xn+1 = Xs một phần của nghiệm giống như (2.5.72)-(2.5.74). Định lý 2.5.6. Đối với các phương pháp chính xác cứng un+1 trong (2.5.73) trùng với Ps,n+1Xs Chứng minh. Đối với các phương pháp chính xác cứng, thực sự An+1xn+1 = An+1xs vì thế un+1 = (An+1 + Bn+1Qs,n+1)−1 An+1xn+1 = (An+1 + Bn+1Qs,n+1)−1 An+1Xs = Ps,n+1Xs Đối với một hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1, Qs,n+1Xs và vn+1 trong (2.5.74) cũng trùng nhau. Định lý 2.5.7. Đối với phương pháp chính xác cứng và các hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 với A hằng số thì phép chiếu (2.5.73) và (2.5.74) và ¯xn+1 = Xs, cho cùng một gần đúng. Chứng minh. Vì A là hằng số chúng ta có thể viết (2.5.71) là DBX = 1 hDA(A−1 ⊗ I)(e ⊗ xn − X) + F(Tn) hoặc nếu chúng ta ký hiệu A1 = (A + BQs) DQs X = −DA−1 1 BPs X = 1 hDA−1 1 A(A−1 ⊗ I)(e ⊗ xn − X) + DA−1 1 F(Tn) Chúng ta nhân với DQs và sử dụng A−1 1 A = Ps, Qs A−1 1 A = Qs để thu được DQs X = DQs A−1 1 F(Tn) đặc biệt đối với giai đoạn cuối cùng điều đó muốn nói đến (2.5.74). 48Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  17. 49. 47 Nếu A không phải là hằng số đối với một hệ phương trình vi phân đại số thuần nhất, thì phép chiếu và ¯xn+1 = Xs vẫn cho cùng một giá trị gần đúng. Định lý 2.5.8. Đối với phương pháp chính xác cứng và các hệ phương trình vi phân đại số thuần nhất nếu Img(A(t)) = R không phụ thuộc t và A (t)P(t) = 0 thì Xs ∈ S(tn+1). Chứng minh. Thực sự (2.5.71) cho ta DB−A X = 1 h(A ⊗ I)−1 (e ⊗ Anxn − DAX) Hoặc nếu chúng ta dùng A (t) = A (t)P(t) + A (t)Q(t) = A (t)P(t) − A (t)Q(t) và A (t)P(t) = 0 DBX = −DAQ X + 1 h(A ⊗ I)−1 (e ⊗ Anxn − DAX) ∈ R và đặc biệt đối với giai đoạn bên trong cuối cùng Bn+1Xs ∈ R và do đó Xs ∈ S(tn+1). Hệ quả 2.5.9. Đối với phương pháp chính xác cứng và các hệ phương trình vi phân đại số thuần nhất nếu Img(A(t)) = R không phụ thuộc vào t và A (t)P(t) = 0 thì phép chiếu và ¯xn+1 = Xs cho cùng một giá trị gần đúng. Chứng minh. Từ định lý trên Xs ∈ S(tn+1) vì vậy Qs,n+1Xs = 0 Từ hệ quả (2.5.5) và công thức (2.4.53) đối với các phương pháp chính xác cứng, nếu ma trận A là hằng số, phương pháp tiếp cận mới .¯xn+1 = Xs hoặc phép chiếu (2.5.73) và (2.5.74) và phương pháp tiếp cận cũ cho cùng một giá trị gần đúng. Đối với phương pháp chính xác không cứng, ngay cả khi A là hằng số, phương pháp cổ điển và phương pháp tiếp cận mới cho kết quả khác nhau. Nếu chúng ta sử dụng (2.5.72) và (2.5.73) để thu được cách tiếp cận mới, dưới dạng A˜xn+1 = Axn+1 chúng ta thu được Ps(tn+1)xn+1 = Ps(tn+1)˜xn+1 một phần trong S(tn+1) giống nhau trong cả hai cách tiếp cận. Tuy nhiên, nói chung. Qs(tn+1)xn+1 = Qs(tn+1)˜xn+1 = Qs(tn+1). Cách tiếp cận cổ điển tương ứng với phương pháp tiếp cận trực tiếp. Chú ý: Đối với các phương pháp Lobatto IIIA, ma trận A suy biến nhưng 49Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  18. 50. 48 ma trận con A = (aij)i,j≥2 khả nghịch và phương pháp chính xác cứng. Phương pháp mới này cũng có thể được áp dụng giống như được thực hiện cho các hệ phương trình vi phân đại số 2.5.3 Sự hội tụ đối với các hệ phương trình vi phân đại số có thể chuyển sang hệ số hằng Đối với một phương pháp BDF k bước nhất định j=0k αkjxn−j = hfn các phương pháp k bước cải biên được định nghĩa cho các hệ phương trình vi phân đại số hệ số biến đổi tuyến tính (2.5.62) là = (An+1 + Bn+1Qs,n+1)−1 (2.5.78) Chúng ta nghiên cứu bậc hội tụ cho các phương pháp mới áp dụng cho các hệ phương trình vi phân đại số có thể chuyển sang hệ số hằng. Đối với chùm (A, B) chỉ số v dạng chuẩn tắc Kronecker là PAQ = diag(I, N),PBQ = diag(C, I) trong đó P và Q là các ma trận chính quy, và N là lũy linh với bậc lũy linh là v. Nếu chúng ta nhân với P và thực hiện phép đổi biến x = Q(yt , zt )t chúng ta tách hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng. Dạng chuẩn tắc Kronecker cho phép chúng ta tách (2.5.69) và (2.5.70) để thu được yn là nghiệm số cho phương trình vi phân thường y(t) + Cy(t) = f(t) Vì vậy, nếu phương pháp có bậc p đối với các phương 51Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  19. 52. 50 trình vi phân thường, chúng ta có yn − y(tn) = v(hp ). Nếu hệ phương trình vi phân đại số có chỉ số 1 và có thể chuyển sang hệ số hằng, hệ phương trình vi phân đại số mới cũng có chỉ số 1. Trong các định lý sau, chúng ta đưa ra bậc sai số Cy(tn) − Cyn trong (2.5.77). Định lý 2.5.11. Xét một hệ phương trình vi phân đại số hệ số hằng tuyến tính với chỉ số v = 1 Nếu phương pháp Runge-Kutta có bậc Kd đối các phương trình vi phân thường thì nghiệm số thu được với phương pháp mới thỏa mãn Ax(tn) − A¯xn = v(hkd ). Chứng minh. Đối với bài toán chỉ số 1, chúng ta có, đối với ma trận chính quy P cho chúng ta dạng chuẩn tắc Kronecker Ax(tn+1) − Axn+1 = P I 0 y(tn+1) − yn+1 z(tn+1) − zn+1 = P y(tn+1)−yn+1 0 = v(hp) Từ định lý này và công thức (2.5.77), chúng ta phát biểu định lý sau đây. Định lý 2.5.12. Hãy xét một hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 tuyến tính có thể chuyển sang hệ số hằng. Nếu phương pháp Runge-Kutta có bậc Kd đối với các phương trình vi phân thường, thì nghiệm số thu được với phương pháp mới qua phép chiếu (2.5.74) và (2.5.73) thỏa mãn x(tn) − ¯xn = v(hkd ). Đối với các hệ phương trình vi phân đại số chỉ số cao có thể chuyển sang hệ số hằng, chúng ta có kết quả sau. Định lý 2.5.13. Chúng ta xét một hệ phương trình vi phân đại số (2.5.62) có thể chuyển sang hệ phương trình vi phân đại số hệ số hằng. Nếu phương pháp Runge-Kutta chính xác cứng và có bậc Kd đối với các phương trình vi phân thường, thì giá trị gần đúng tính bằng phương pháp số mới ¯xn+1 = Xs cho thấy rằng x(tn+1) − Xs = v(hkv ) với Kv = min 2≤i≤v (p, Ka,i − i + 2) và Ka,l số nguyên lớn nhất sao cho bt A−i e = bt A−l cl−i (l − i)! , i = 1, 2, …, l − 1 bt A−i ci = i(i − 1)…(i − l + 2), i = l, l + 1, …, kal . Chứng minh. Hệ quả (2.5.5) phát biểu rằng phương pháp tiếp cận mới với ¯xn+1 = Xs và phương pháp tiếp cận cổ điển cho cùng một gần đúng. Do đó x(tn+1)−Xs = v(hkv ) với Kv là bậc của phương pháp Runge-Kutta cho một hệ phương trình vi phân đại số hệ số hằng tuyến tính với chỉ số v ≤ 0 Thì An+1xn+1 ≤ AnXn . Chứng minh. Nếu chúng ta kí hiệu Wni = h(Bni − Ani)Xni,M = BA + At B − bbt , mi,j là các yếu tố (i, j) của M, và theo Anixni 2 ≤ Anxn . Đối với trường hợp chỉ số 1, nếu Img(A(t)) là hằng số và A P = 0, thì theo hệ quả (2.5.9), các giai đoạn bên trong Xni và nghiệm chính xác tại điểm tni nằm trong cùng một không gian con S(tni). Vì thế, chúng ta có thể chọn Vni = S(tni) 53Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  20. 54. 52 Chương 3 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 3.1 Ví dụ giải gần đúng phương trình vi phân thường (ODE) Ví dụ Dùng công thức Runge-Kutta tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy y = y − x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1 y(0) = 0.5 Với n = 5 Tính sai số biết nghiệm chính xác là : y(x) = (x + 1)2 −0.5ex Bai giải. Ta có h = 0.2 x0= 0,x1= 0.2,x2= 0.4,x3= 0.6,x4= 0.8,x5= 1 Công thức Runge-Kutta bậc 4 yk+1 = yk + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6 k1 = hf(xk, yk) k2 = hf(xk + h 2 , yk + k1 2 ) k3 = hf(xk + h 2 , yk + k2 2 ) k4 = hf(xk + h, yk + k3) (3.1.1) Áp dụng công thức Runge-Kutta bậc 4 ta có k1 = hf(xk, yk) = 0.2(yk − x2 k + 1) 54Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  21. 55. 53 k2 = hf(xk + h 2 , yk + k1 2 ) = 0.2 yk + 0.1(yk − x2 k + 1) − (xk + 0.1)2 + 1 = 0.2(1.1yk − 1.1×2 k − 0.2xk + 1.09) k3 = hf(xk + h 2 , yk + k2 2 ) = 0.2 yk + 0.1(1.1yk − 1.1×2 k − 0.2xk + 1.09) − (xk + 0.1)2 + 1 = 0.2(1.11yk − 1.11×2 k − 0.22xk + 1.099) k4 = hf(xk + h, yk + k3) = 0.2 yk + 0.2(1.11yk − 1.11×2 k − 0.22xk + 1.099) − (xk + 0.2)2 + 1 = 0.2(1.222yk − 1.222×2 k − 0.444xk + 1.1798) Xây dựng hàm rk4 trong matlab để giải phương trình vi phân theo phương pháp trên. function; x(1) = ; y(1) = [y0]; for i = 1 : n K1 = h ∗ f(x(i), y(i)); K2 = h ∗ f(x(i) + h/2, y(i) + K1/2); K3 = h ∗ f(x(i) + h/2, y(i) + K2/2); K4 = h ∗ f(x(i) + h, y(i) + K3); y(i + 1) = y(i) + (K1 + 2 ∗ K2 + 2 ∗ K3 + K4)/6; end; 55Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn


【#7】Sáng Kiến Kinh Nghiệm Sử Dụng Phương Pháp Qui Nạp Để Giải Một Số Bài Toán Không Mẫu Mực

ố kinh nghiệm , kiến thức về giải các bài toán không mẫu mực bằng phương pháp qui nạp nên xin được trao đổi chút ít kinh nghiệm của mình để có thể giúp các bạn tham khảo. Đồng thời mong muốn được trưng cầu ý kiến đóng góp bổ sung của các đồng nghiệp để ngày càng hoàn thiện hơn giúp chúng ta đạt được kết quả ngày càng cao hơn trong công tác bồi dưỡng học sinh khá giỏi. II/ Thực trạng của vấn đề nghiên cứu : ở cấp trung học cơ sở khi hướng dẫn bồi dưỡng học sinh giỏi, đa số giáo viên chỉ dừng ở mức độ thông báo về cách giải bài tập bằng phương pháp qui nạp, các bước của giải bài toán bằng phương pháp qui nạp, các dạng bài tập chỉ ở mức độ đơn giản ít khai thác, phân tích mở rộng bài toán dẫn đến khi người học gặp bài -Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài toán không mẫu mực nói riêng một cách chủ động và sáng tạo hơn, nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em chủ động trong việc tiếp thu các kiến thức mơí đặc biệt là kiến thức khó. -Gây hứng thú cho học sinh trong việc tìm ra lời giải của bài toán khó bằng phương pháp độc đáo qua đó vun đắp lòng say mê học toán của học sinh. -Rèn luyện tính cần cù, năng động sáng tạo trong giải toán của học sinh. B. Giải quyết vấn đề: I/ Các giải pháp thực hiện : - Thông qua bài toán cụ thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của phương pháp giải bài toán bằng qui nạp, các bước giải bài toán bằng qui nạp và cách giải bài toán bằng qui nạp -Giải một số bài toán mẫu để giúp học sinh áp dụng dễ dàng hơn phương pháp này vào việc giải các bài toán khó đặc biệt chỉ rõ cho học sinh thấy và nhận biết được từng bước cụ thể trong phương pháp giải bài toán bằng qui nạp. II/ Các biện pháp để tổ chức thực hiện: 1/ Hướng dẫn học sinh giải một bái toán cụ thể bằng phương pháp qui nạp. -Xét đẳng thức 1 + 8 + 27 + 64 = 100. -Ta có thể nhận xét gì về vế trái của đẳng thức này ? +Vế trái của đẳng thức này là lập phương của những số nguyên liên tiếp còn vế phải là một bình phương. -Vậy ta có thể viết đẳng thức trên ở dạng nào? + 13 + 23 + 33 + 43 = 102 *Vậy vấn đề đặt ra là tổng những lập phương của những số tự nhiên liên tiếp có luôn là một bình phương không? -Xét tổng các lập phương liên tiếp. 13 +23 + 33 +....+ n3 -Như vậy chúng ta đã đi từ trường hợp riêng n=4 mà đi tới bài toán tổng quát . -Hãy giải bài toán tổng quát đó ? +Xét những trường hợp riêng khác ta có bảng sau. 1 = 1 = 12 1 + 8 = 9 = 32 1 + 8 + 27 = 36 =62 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102 1 + 8 + 27 + 64 +125 = 225 = 152 ...... -Như vậy ta có thể suy ra tính chất nào ? "Tổng của lập phương n số tự nhiên khác 0 đầu tiên là một bình phương" -Vậy tại sao tổng các lập phương liên tiếp lại là một bình phương? - Ta xét thêm những trường hợp mới n = 6 ; 7...kết quả cũng nhận được tương tự. Quay về những trường hợp n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 mà ta đã sắp xếp thành một bảng. -Tại sao tất cả những tổng đó đều là những bình phương? -Ta có thể nói gì về những bình phương đó? +Căn bậc hai của chúng theo thứ tự bằng : 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15. -Ta có nhận xét gì về những căn bậc hai đó? +Chúng tăng dần và theo một qui luật nhất định . Đó là hiệu giữa hai căn liên tiếp của chuỗi đó cũng tăng dần: 3 - 1 = 2 6 - 3 = 3 10 - 6 = 4 15 - 10 = 5 -Những hiệu đó tăng theo qui luật nào? +Ta có thể nhận thấy qui luật của dãy số 1 , 3 , 6 , 10 , 15 như sau 1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 -Nếu sự đều đặn đó là tổng quát thì tính chất trên chúng ta vẫn chưa chắc chắn rằng với n bất kì thì định lí trên vẫn đúng. Vậy để khẳng định tính chất đó ta xét thêm một trường hợp nữa chính xác hơn. Với n = 1 , 2 , 3 ,... ta có 13 +23 + 33 +....+ n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 -Hãy chứng minh kết quả này là đúng ? +Ta đã biết rằng: 1 +2 + 3 +....+ n = +Như vậy có thể biến đổi kết quả trên như sau: 13 +23 + 33 +....+ n3 = (1) +Thử cho trường hợp đầu tiên chưa xét tức là với n=6 với giá trị này công thức cho ta. 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 = ()2 +Đẳng thức này đúng vì cả hai vế đều bằng 441 ta có thể tiếp tục thử nhiều nữa. Công thức có thể là tổng quát tức là đúng với mọi giá trị của n. -Nhưng nó còn đúng không khi ta đi từ một giá trị n bất kì tới giá trị tiếp theo là n+1? +áp dụng công thức trên ta phải có. 13 +23 + 33 +....+ n3 + (n + 1)3 = -Hãy kiểm tra xem công thức này có đúng không? +Trừ đẳng thức này với đẳng thức (1) ở trên ta có: (n+1)3 = Vế phải = = Vế trái +Như vậy công thức ta tìm được bằng thực nghiệm đã được thử lại chặt chẽ. -Vậy đẳng thức sau đây có đúng không ? 13 +23 + 33 +....+ n3 = -Nếu công thức này đúng thì bằng cách thêm vào đẳng thức đã thiết lập được ở trên suy ra đẳng thức sau đây cũng đúng. 13 +23 + 33 +....+ n3 + (n + 1)3 = -Đây chính là biểu thức (1) chỉ khác là thay n bằng n+1, nhưng ta đã biết rằng điều giả định của ta đã đúng với n= 1 , 2, 3, 4 , 5 , 6. theo công thức trên đã đúng với n=6 thì phải đúng với n=7, đúng với n=7 cũng sẽ đúng với n=8 và cứ như thế mà tiếp tục. Công thức đúng với mọi giá trị của n vậy nó là tổng quát. -Chứng minh trên có thể áp dụng cho rất nhiều trường hợp tương tự. -Vậy những nét cơ bản của nó là gì? + Điều khẳng định mà ta cần chứng minh phải được phát biểu rõ ràng , chính xác trước. + Nó phụ thuộc một số tự nhiên n. + Điều khẳng định đó phải được xác định đến mức khiến ta có thể thử được là nó còn đúng không khi đi từ số tự nhiên n sang số tự nhiên n+1 +Nếu ta thử được điều đó thì ta có thể kết luận rằng điều khẳng định phải đúng với n+1 nếu như nó đã đúng với n, có được điều đó rồi thì nếu điều khẳng định đúng với n=1 , khi đó nó sẽ đúng với n=2, n=3 , ... và cứ thế tiếp tục. Bằng cách đi từ một số nguyên bất kì tới một số nguyên liền sau nó, ta đã chứng minh tính chất tổng quát của điều khẳng định . -Phương pháp chứng minh này có thể gọi là phép chứng minh từ n tới n+1 hay là phép chuyển tới một số nguyên tiếp sau trong toán học gọi chung lại là "qui nạp toán học". -Như vậy nguyên lí qui nạp là: -Nếu khẳng định S(n) thoã mãn hai điều kiện sau. 1) Đúng với n=k0 (số tự nhiên nhỏ nhất mà S(n) xác định) . 2) Từ tính đúng đắn của S(n) đối với n=t suy ra tính đúng đắn của S(n) đối với n=t+1 , thì S(n) đúng đối với mọi nk0 +Phương pháp chứng minh bằng qui nạp là -Giả sử khẳng định T(n) xác định với mọi nto . Để chứng minh T(n) đúng với mọi nt0 bằng qui nạp, ta cần thực hiện hai bước. a) Cơ sở qui nạp +Thực hiện bước này tức là ta thử xem sự đúng đắn của T(n) với n=t0 nghĩa là xét T(t0) có đúng hay không? b) Qui nạp +Giả sử khẳng định T(n) đã đúng đối với n=t .Trên cơ sở giả thiết này mà suy ra tính đúng đắn của T(n) đối với n=t+1, tức T(t+1) đúng. -Nếu cả hai bước trên đều thoã mãn, thì theo nguyên lí qui nạp T(n) đúng với mọi nt0 Chú ý: Trong quá trình qui nạp nếu không thựchiện đầy đủ cả hai bước : cơ sở qui nạp và qui nạp thì có thể dẫn đến kết luận sai lầm, chẳng hạn. -Do bỏ bứơc cơ sở qui nạp, ta đưa ra kết luận không đúng: "Mọi số tự nhiên đều bằng nhau" Bằng cách qui nạp như sau. +Giả sử các số tự nhiên không vượt quá k + 1 đã bằng nhau. Khi đó ta có: k = k + 1 Thêm vào mỗi vế của đẳng thức trên một đơn vị ta sẽ có: k + 1 = k + 1 +1 = k + 2 Cứ như vậy suy ra mọi số tự nhiên không nhỏ hơn k đều bằng nhau. Kết hợp với giả thiết qui nạp : Mọi số tự nhiên không vượt quá k đều bằng nhau, đi đến kết luận sai lầm : Tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau! -Một ví dụ rất thực tế là do bỏ qua khâu qui nạp nên nhà toán học Pháp P.Fermat (1601-1665) đã cho rằng các số có dạng + 1 đều là số nguyên tố. P.Fermat xét 5 số đầu tiên: Với n = 0 cho + 1 = 21 + 1 = 3 là số nguyên tố n = 1 cho + 1 = 22 + 1 = 5 là số nguyên tố n = 2 cho + 1 = 24 + 1 = 17 là số nguyên tố n = 3 cho + 1 = 28 + 1 = 257 là số nguyên tố n = 4 cho + 1 = 216+ 1 = 65537 là số nguyên tố. Nhưng vào thế kỉ 18 Euler đã phát hiện với n = 5 khẳng định trên không đúng bởi vì: = 4294967297 = 641 x 6700417 là hợp số. 2/ áp dụng phương pháp qui nạp để giải một số bài toán không mẫu mực a/ Giải một số bài toán logic bằng qui nạp Bài 1: Chứng minh rằng : Nếu trong túi có một số tiền nguyên (nghìn) không ít hơn 8000đ, thì luôn luôn có thể tiêu hết bẳng cách mua vé sổ số loại 5000đ và 3000đ. Giải: 1) Cơ sở qui nạp: Nếu trong túi có số tiền ít nhất, tức 8000đ thì ta mua một vé sổ số loại 5000đ và một vé sổ số loại 3000đ. Khi đó: 1 x 5000đ + 1 x 3000đ = 8000đ và ta đã tiêu hết được số tiền có trong túi. 2) Qui nạp: Giả sử với k (k 8000đ) ta đã tiêu hết bằng cách mua các vé sổ số loại 5000đ và loại 3000đ . Nếu có thêm 1000đ nữa ta cung có thể tiêu được bằng cách sau đây. * Nếu trong các vé sổ số đã mua có ít nhất ba vé loại 3000đ , thì trả lại ba vé 3000đ đưa thêm 1000đ và lấy về hai vé loại 5000đ. Khi đó: 3 x 3000đ + 1000đ = 2 x 5000đ * Nếu trong các vé sổ số đã mua có không quá hai vé loại 3000đ, thì phải có ít nhất một vé loại 5000đ. Bởi vì số tiền trong túi không ít hơn 8000đ mà đã tiêu hết . Khi đó đem trả lại một vé loại 5000đ , đưa thêm 1000đ và lấy về hai vé loại 3000đ, ta có: 1 x 5000đ + 1000đ = 2 x 3000đ Như vậy trong mọi trường hợp từ kết quả tiêu k nghìn đầu tiên đã suy ra được cách tiêu nghìn thứ k+1, nên bài toán đã được giải quyết./. Bài 2: Em An cầm một tờ giấyvà lấy kéo cắt thành 7 mảnh . Sau đó nhặt một trong những mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh . Và em An cứ tiếp tục cắt nhưvậy. Sau một hồi em An thu tất cả các mẩu giấy đã cắt ra và đếm được 122 mảnh. Liệu em An đếm đúng hay sai? Giải: * Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh tức là ta đã tạo thêm 6 mảnh giấy, nên công thức tính số mảnh giấy theo n bước thực hiện một mảnh giấy thành 7 mảnh có dạng: S(n) = 6n + 1 * Ta khẳng định tính đúng đắn của công thức S(n) bằng qui nạp theo n. 1) Cơ sở qui nạp. Với n = 1 , em An cắt mảnh giấy có trong tay thành 7 mảnh nên ta có: S(1) = 6.1 + 1 = 6 + 1 = 7 2) Qui nạp. Giả sử sau k bước em An đã nhận được số mảnh giấy là: S(k) = 6k + 1 Sang bước k + 1 em An lấy một trong những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh, tức em An đã lấy đi một trong S(k) mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra nên: S(k+1) = S(k) - 1 + 7 = 6k + 1 - 1 + 7 = 6k + 7 = 6k + 6 + 1 = 6(k + 1) + 1 Vậy số mảnh giấy em An nhận được sau n bước cắt giấy là S(n). * Do S(n) = 6n + 1 1 (mod 6), nhưng 122 = 6.20 + 2 2 (mod 6). Nên em An đếm không đúng./. Bài3: Chứng minh rằng trên một mặt phẳng n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm, chia mặt phẳng thành 2n phần khác nhau. Giải: 1) Cơ sở qui nạp. Với n = 1 ta có một đường thẳng . Nó chia mặt phẳng thành hai phần , nên khẳng định đúng. 2) Qui nạp. Giả sử với n = k khẳng định đã đúng , nghĩa là k đường thẳng tuỳ ý cùng đi qua một điểm M đã chia mặt phẳng thành 2k phần khác nhau. Xét n = 2k + 1 đường thẳng khác nhau tuỳ ý cùng đi qua một điểm. Kí hiệu các đường này, một cách tương ứng là . Theo giả thiết qui nạp k đường thẳng đã chia mặt phẳng thành 2k phần khác nhau: Vì các đường thẳng đều khác nhau và cùng đi qua điểm I , nên tồn tại các chỉ số s , t ( 1 s , t k ) để là đường thẳng duy nhất nằm trong góc được lập nên bởi và . Khi đó chia hai phần mặt phẳng được giới hạn bởi và thành 4 phần .Bởi vậy k + 1 đường thẳng chia mặt phẳng thành. 2k - 2 + 4 = 2(k + 1) phần khác nhau và khẳng định đã được chứng minh. b/ Tô màu bằng qui nạp. Trên mặt phẳng cho n hình tròn (n1) . Chứng minh rằng với bất kì cách sắp đặt nào, thì hình nhận được cũng có thể tô bằng hai màu, để cho hai phần mặt phẳng kề nhau (có biên chung) cũng được tô bằng hai màu khác nhau. Giải: 1) Cơ sở qui nạp: Với n=1 , trên mặt phẳng chỉ có một hình tròn. Ta tô hình tròn bằng màu đen. Khi đó phần mặt phẳng còn lại kề với hình tròn được để trắng, nên hai phần của mặt phẳng kề nhau có màu khác nhau. 2) Qui nạp: Giả sử khẳng định đã đúng với bức tranh gồm n hình tròn . Giả sử trên mặt phẳng cho n + 1 hình tròn tuỳ ý. Xoá đi một trong những hình tròn sẽ được bức tranh gồm n hình tròn (H.1) . Theo giả thiết qui nạp, bức tranh này chỉ cần sơn bằng hai màu, chẳng hạn , đen và trắng mà hai miền kề nhau đều có màu khác nhau. Khôi phục lại hình đã xoá đi, tức là trở lại hình xuất phát gồm n + 1 hình tròn, rồi theo một phía đối với hình tròn vừa khôi phục, chẳng hạn phía trong của hình tròn này thay đổi các màu đã tô bằng màu ngược lại, sẽ được bức tranh gồm n + 1 hình tròn được tô bằng hai màu , mà hai miền kề nhau tuỳ ý đều có màu khác nhau (H.2) H .1 H .2 c/ Chắp hình bằng qui nạp. Cho n ( ) hình vuông tuỳ ý. Chứng minh rằng từ các hình vuông này có thể cắt và chắp thành một hình vuông lớn. Giải: 1) Cơ sở qui nạp. Với n = 1. Khi đó có một hình vuông nên hiển nhiên, khẳng định đúng. Với n = 2, có hai hình vuông : ABCD và abcd. Khi đó có thể cắt và chắp thành một hình vuông như sau: Giả sử hình vuông ABCD không nhỏ hơn hình abcd. Kí hiệu x là độ dài cạnh hình vuông ABCD, y là độ dài cạnh hình vuông abcd (). Ta cắt các hình vuông ABCD và chắp thành hình vuông A'B'C'D' (như hình vẽ) 2) Qui nạp. Giả sử khẳng định đã đúng với n ( n1) hình vuông. Nếu có n + 1 hình vuông tuỳ ý V1, V2, ...., Vn , Vn+1. Chúng ta chọn hai hình vuông tuỳ ý, chẳng hạn Vn và Vn+1, rồi cắt và chắp thành hình vuông V'n. Theo giả thiết qui nạp, đối với n hình vuông: V1, V2, ...., Vn , V'n. Ta có thể cắt và chắp thành một hình vuông V. Như vậy, từ n + 1 hình vuông V1, V2, ...., Vn , Vn+1. Ta đã cắt và chắp thành hình vuông V. Bài toán được giải quyết. d/ Chứng minh tính chất bằng qui nạp. VD. Cho , là một số nguyên. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số cũng là số nguyên. Giải: 1) Cơ sở qui nạp. -Với n=1 có là số nguyên, theo giả thiết. 2) Qui nạp. Giả sử T(n,x) đúng với mọi số nguyên k nghĩa là. là số nguyên Với n=k+1 số theo giả thiết qui nạp các số đều nguyên, nên T(k+1,x) là số nguyên và công thức đúng với mọi số nguyên dương n. e/ Chứng minh tính chia hết bằng qui nạp. VD; Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n số + 1 chia hết cho 3n+1 và không chia hết cho 3n+2 Giải: Đặt + 1 = An. 1) Cơ sở qui nạp . với n=1 ta có nên và Với n=2 ta có , nên và 2) Qui nạp Giả sử khẳng đinh đúng với , nghĩa là và Vì nên (1) Xét n=k+1 . * Khi đó , nên với mọi sốnguyên dương n đều có . * a) Vì [theo(1)] , nên (2) b) Do nên và Bởi vậy : (3) Giả sử .Khi đó , nhưng nên (4) Từ (3) và (4) suy ra : (5) Từ (2) và (5) suy ra: , nên với mọi số nguyên dương n số An không chia hết cho 3n+2./ g/ Chứng minh bất đẳng thức bằng qui nạp. VD. Cho n (n1) số dương x1 , x2 , ... , xn thoã mãn. x1.x2....xn-1.xn = 1 chứng minh rằng : x1 + x2 + ... + xn-1 + xn n và dấu bằng xảy ra khi x1 = x2 = ... = xn Giải: 1) Cơ sở qui nạp: Với n= 1 ta chỉ có số x1 = 1 nên x1 thoã mãn bất đẳng thức x11. 2)Qui nạp: Giả sử khẳng đinh đã đúng với k số dương tuỳ ý có tích bằng 1. Xét k+1 số dương tuỳ ý x1 , x2 , ... , xk , xk+1 , Với x1.x2...xk.xk+1 = 1 Có hai khả năng đặt ra. a) Nếu x1 = x2 = ... = xk = xk+1 , thì xi = 1 Khi đó: x1 + x2 + ... + xk + xk+1 = k+1 và khẳng định được chứng minh. b) Nếu k+1 số được xét x1 , x2 , ... , xk+1 không đồng thời bằng nhau, thì do tích của chúng bằng 1 và các số này đều dương, nên phải có ít nhất một số lớn hơn 1 và một số bé hơn 1. Không mất tính tổng quát, giả sử xk1. Khi đó: Từ đẳng thức: x1.x2...xk-1.(xk.xk+1) = x1.x2....xk-1xk.xk+1 = 1 suy ra k số dương x1 , x2 , ... , xk-1 , xkxk+1 có tích bằng 1 , nên theo giả thiết qui nạp, ta có: x1 + x2 + ... + xk + xk+1 x1 + x2 + ... + xk.xk+1 k (2) Từ bất đẳng thức (1) và (2) ta có: x1 + x2 + ... + xk + xk+1 x1 + x2 + ... + xk.xk+1 + 1 k + 1 Khẳng định đã được chứng minh. Với n số dương tuỳ ý x1 = x2 = ... = xn và x1.x2 ... xn = 1 suy ra xi = 1 nên x1 + x2 + ... + xn = n. e/ Tìm chữ số tận cùng bằng qui nạp: VD. Với mọi số nguyên k ≥ 2 hãy tìm chữ số tận cùng của số 1) Cơ sở qui nạp. Với k = 2 số A2 = + 1 = 17 . 2) Qui nạp. Giả sử với k = n ≥ 2 số An đã có chữ số tận cùng là 7. Xét số An+1 = Do An tận cùng số 7 nên tồn tại số nguyên dương m, để An = 10m + 7. Từ đó An - 1 = 10m + 6 An+1 = = (10m + 6)2 + 1 = 100m2 + 120m + 36 +1 = 10(10m2 + 12m) +37 = 10(10m2 + 12m + 3) +7 Nên An+1 tận cùng bằng chữ số 7 . Vậy với mọi k 2 số Ak có tận cùng bằng chữ số 7./. 3/ Một số đề tự giải Bài 1: Cho n hình vuông tuỳ ý. Chứng minh rằng từ các hình vuông này có thể cắt và chắp thành một hình vuông lớn. Bài 2 : Trên mặt phẳng cho 2n + 1 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Hãy dựng một đa giác 2n + 1 đỉnh, sao cho 2n + 1 điểm đã cho trở thành trung điểm thuộc các cạnh của đa giác. Bài 3 : Hãy tính số tam giác (T(n)) của một đa giác n đỉnh được chia bởi các đường chéo không cắt nhau. Bài 4 : Các số a1 ; a2 ; .... ; an thoả mãn quan hệ chứng minh rằng có thể chọn các dáu trong tổng để Bài 5 : Cho n số nguyên dương x1 ; x2 ; chúng tôi thoả mãn điều kiện : x1.x2......xn-1.xn = 1 Chứng minh rằng: x1 + x2 + ... + xn-1 + xn n và dấu bằng chỉ xảy ra khi x1 = x2 = .... = xn-1 = xn = 1. C. Kết luận 1/ Kết quả đạt được: -Sau khi hướng dẫn học giải các bài toán không mẫu mực bằng phương pháp qui nạp trong quá trình giảng dạy bản thân đã đạt được các kết quả hết sức khả quan. * Học sinh chủ động sáng tạo hơn trong việc giải các bài toán khó. * Học sinh hứng thú hơn trong việc giải các bài toán khó, cẩn thận hơn trong khi giải toán. -Cụ thể áp dụng đối với 20 học sinh khá và giỏi môn toán của lớp 9B năm học 2006-2007 thì kết quả đạt được là: *Trước khi chưa hướng dẫn học sinh phương pháp giải này thì trong số 20 em học sinh này chỉ có 2 học sinh là biết giải bài toán bằng phương pháp qui nạp nhưng cũng chỉ ở dạng đơn giản, 5 học sinh nắm được các bước để trình bày bài toán bằng phương pháp qui nạp và hiểu thế nào là qui nạp còn lại chỉ lơ mơ không rõ giải bằng phương pháp này như thế nào. *Sau khi hướng dẫn học sinh cụ thể về như thế nào là qui nạp, nguyên lí qui nạp là gì và đặc biệt là học sinh hiểu được phương pháp chứng minh bằng qui nạp là gì, cách trình bày các bước như thế nào thì kết quả thật bất ngờ. +Trong 20 em được học về phương pháp này đã có tới 10 em biết giải bài toán bằng phương pháp qui nạp trong đó 7 em biết và say mê giải các bài toán khó, bài toán không mẫu mực bằng phương pháp qui nạp. Số còn lại cũng đã hiểu được thế nào là qui nạp, nắm được các bước trình bày bài toán qui nạp đơn giản. 2/ Bài học kinh nghiệm: Trong việc giải một bài toán cũng như phát minh ra một vấn đề mới, nếu khơi gợi được trí tò mò , sự sáng tạo của học sinh để có thể có được niềm vui thắng lợi khi giải được bài toán khó.những tình huống như vậy có thể khuấy động sự ham thích những suy nghĩ, cá tính của học sinh đặc biệt là những học sinh yêu thích môn toán. Nếu người thầy cứ mãi chú trọng vào các bài toán dễ, tầm thường thì sẽ làm học sinh đặc biệt là những học sinh giỏi toán mất hết hứng thú không phát huy hết được những khả năng tốt nhất của mình. Ngược lại nếu người thầy khêu gợi được trí tò mò của học sinh bằng cách ra cho học sinh những bài tập những câu hỏi hợp trình độ, giúp học sinh giải bằng các phương pháp khác nhau để mang lại cho học sinh cái hứng thú về suy nghĩ độc lập, độc đáo trong từng bài toán cụ thể thì có thể đạt được kết quả như mình mong muốn./. D. tài liệu tham khảo 1) Một số phương pháp giải toán sơ cấp. 2) Tài liệu thực hành giải toán dùng trong các trường CĐSP. 3) Một số phương pháp giải bài toán logic (Đặng Huy Ruận)


【#8】Luận Văn: Phương Pháp Mô Phỏng Monte Carlo, Hay, 9Đ

Published on

Download luận văn thạc sĩ ngành thống kê toán học với đề tài: Phương pháp mô phỏng Monte carlo và ứng dụng vào tài chính, cho các bạn làm luận văn tham khảo

  1. 1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Hoàng Thị Hồng Minh PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO VÀ ỨNG DỤNG VÀO TOÁN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60 46 15 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊNH Hà Nội – 2012
  2. 3. MỤC LỤC 2.2 Định nghĩa quyền chọn bằng lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Kiến thức cơ bản về quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.2 Giới thiệu sơ lược về định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3 Định giá quyền chọn và phương pháp Monte – Carlo trong việc xây dựng mô hình Black – Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 Những hạn chế của mô hình Black – Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Kết luận 64 Phụ lục 65 Tài liệu tham khảo 76 ii
  3. 4. Lời nói đầu Ngày nay, mô phỏng số chiếm một vị trí quan trọng trong nghiên cứu khoa học, bao gồm cả mặt lý thuyết và thực nghiệm. Với sự phát triển nhanh và ngày càng phức tạp của các ngành khoa học nói chung và toán tài chính nói riêng, các phương pháp lý thuyết gặp nhiều khó khăn, bởi lẽ ở đó thường sử dụng tới các phép tính gần đúng. Mô phỏng số có thể kiểm chứng những phép tính gần đúng từ lý thuyết, từ đó góp phần hạn chế sai số. Các kết quả định lượng để mô phỏng số còn được sử dụng để so sánh với các kết quả nghiên cứu thực nghiệm. Ngoài ra, mô phỏng còn được xem như là bước “số hóa thực nghiệm”, nó được tiến hành trước bước thực nghiệm để thu được kết quả tốt hơn, tiết kiệm được chi phí cho các lần thực nghiệm. Một trong những phương pháp mô phỏng phổ biến được ứng dụng trong toán tài chính là phương pháp Monte Carlo với sự giúp đỡ của máy tính. Tên gọi “phương pháp Monte Carlo” xuất hiện trong từ điển toán học vào những năm 1949-1950, nhưng thật ra nó ra đời trong những năm 1943-1944 gần như cùng thời với máy tính điện tử đầu tiên ở Mỹ, và được giới thiệu vào nước ta từ những năm 1963-1964, nhưng thực sự được áp dụng phổ biến từ sau những năm 1975-1977. Phương pháp Monte Carlo là phương pháp thường được dùng để mô phỏng các hiện tượng xác suất, những hiện tượng không thay đổi đặc tính theo thời gian, nó cũng được sử dụng để tính toán các biểu thức không theo xác suất bằng cách sử dụng phương pháp theo xác suất. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo được ứng dụng phổ biến trong các ngành công nghiệp tài chính và bảo hiểm. Nó là công cụ cần thiết cho các kỹ sư và chuyên gia tính toán tài chính khi phải tính toán các loại giá cả hay tính toán rủi ro phức tạp. Do đó, tác giả đã chọn cách tiếp cận kết hợp trình bày lý thuyết phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các cách cải tiến và ứng dụng của nó trong việc mô phỏng nghiệm của các quá trình vi phân ngẫu nhiên, cũng như các ứng dụng để định giá quyền chọn trong lĩnh vực toán tài chính. Bố cục luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, tác giả giới thiệu về phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các định lí cơ bản, và trình bày các phương pháp khác nhau để tăng tốc độ tính toán mà được gọi 1
  4. 5. MỤC LỤC chung là phương pháp giảm phương sai. Tiếp theo, tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục và mô phỏng Monte Carlo cho chuyển động Brown. Ngoài ra, tác giả còn mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên bằng phương pháp xấp xỉ Milstein và xấp xỉ Euler-Maruyama. Chương 2: Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình toán tài chính Trong chương này, tác giả chủ yếu đề cập đến mô hình Black Scholes, một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black – Scholes. Tác giả cũng trình bày cách xác định các hệ số thị trường chứng khoán (µ: tỉ lệ trung bình của giá cổ phiếu luân chuyển; σ: độ biến động giá của cổ phiếu). Tác giả đã trình bày hai loại định giá quyền chọn, quyền chọn bán và quyền chọn mua, bằng lý thuyết. Tác giả cũng đã thu thập một bộ dữ liệu thật về giá cổ phiếu và dùng nhiều phương pháp khác nhau để tính toán sau đó so sánh các kết quả chạy máy này với các kết quả do lý thuyết chứng minh được. Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn đọc. Tác giả xin chân thành cảm ơn! 2
  5. 6. Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Thịnh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tác giả xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2010 – 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho bản luận văn của tác giả. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình. Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn Hoàng Thị Hồng Minh 3
  6. 7. Chương 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo Phương pháp mô phỏng Monte Carlo hay còn gọi là phương pháp thử thống kê được định nghĩa như là phương pháp tính, bằng cách biểu diễn nghiệm các bài toán dưới dạng các tham số của một đám đông lý thuyết và sử dụng dãy số ngẫu nhiên để xây dựng mẫu đám đông mà từ đó ta thu được ước lượng thống kê của các tham số. Nói cách khác, phương pháp Monte Carlo cung cấp những lời giải gần đúng cho các bài toán bằng cách thực hiện các thí nghiệm lấy mẫu thống kê sử dụng số ngẫu nhiên. Ý tưởng chính của phương pháp Monte Carlo là xấp xỉ một kỳ vọng E(X) bởi trung bình cộng các kết quả của nhiều lần thí nghiệm độc lập, trong đó các biến ngẫu nhiên X có cùng phân phối. Cơ sở lý thuyết của phương pháp này là một trong những kết quả quan trọng của lý thuyết xác suất, đó là Luật mạnh số lớn. 1.1.1 Luật mạnh số lớn Định lí 1.1.1. Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối và được xác định trên một không gian xác suất (Ω, ,P). Đặt : µ = E(X1) Khi đó, với mọi ω ∈ Ω: 1 n n ∑ i=1 Xi(ω) n→∞ −−−→ µ,P−h.c.c (Xem chứng minh trong ) Định lí 1.1.4. (Định lí giới hạn trung tâm) Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với X, được xác định trên một không gian xác suất (Ω, ,P). Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn σ2 = Var(X). Khi đó: ∑n i=1 Xi −n.µ √ n.σ D −→ N (0;1); khi n → ∞ (Xem chứng minh trong 2. Thí nghiệm được thực hiện bằng cách lấy ngẫu nhiên các điểm P1,P2,…,Pn của hình vuông đơn vị và giả sử rằng: Xi = 1Pi∈C 5
  7. 9. Chương 1. Cơ sở lý thuyết Khi đó : Pi ∈ int(C ) hoặc Pi ∈ bound(C ) Do đó, ta ngầm giả sử rằng điểm được chọn có phân bố đều trên của ước lượng Monte Carlo được tính : n 100 10.000 100.000 ˆπlow 2.477 3.0938 3.13105 ˆπup 3.203 3.1598 3.15183 Bảng 1.2 (Ước lượng Monte Carlo cho khoảng tin cậy 95% của π) Ví dụ 2. (Ước lượng xác suất của một biến cố) Ước lượng xác suất của một biến cố là một trong những ứng dụng quan trọng của phương pháp Monte Carlo. Giả sử A là một biến cố nào đó. Ước lượng P(A)? Xét : 1A(ω) =    1 nếu ω ∈ A 0 nếu ω /∈ A 6
  8. 10. Chương 1. Cơ sở lý thuyết Suy ra E(1A) = P(A) và khi đó ước lượng Monte Carlo cho P(A) là tần suất tương đối của số lần xuất hiện của A trong n lần thí nghiệm độc lập. Một cách hình thức, giả sử Ai là số lần xuất hiện A trong thí nghiệm thứ i, khi đó ta định nghĩa ước lượng Monte Carlo cho P(A) như sau: rfn(A) = 1 n . n ∑ i=1 1Ai Khi đó ta cũng có: Var(1A) = P(A).(1−P(A)), ˆσn = rfn(A).(1−rfn(A)) và khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho P(A) là: d g(x)dx (g(x) là hàm bị chặn, nhận giá trị thực.) Hàm mật độ f(x) của phân bố đều d chiều trên d (x); x ∈ Rd Khi đó, với X ∼ U (d g(x)dx = f(x)g(x)dx = E(g(X)) Giả sử X1,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân bố đều trên . Khi đó ước lượng Monte Carlo “thô” sẽ là: f(X) = 1 n . n ∑ i=1 f(Xi) với Xi là các thành phần độc lập của X. Ta sử dụng các số 1−X1,…,1−Xn và định nghĩa ước lượng Monte Carlo xung khắc: fanti(X) = 1 2 .( 1 n n ∑ i=1 f(Xi)+ 1 n n ∑ i=1 f(1−Xi)) (1.1) Chú ý rằng khi cả X và 1 − X có cùng phân bố, thì cả hai tổng ở vế phải của đẳng thức (1.1) đều là ước lượng không chệch của E(f(X)). Do đó ước lượng xung khắc cũng là không chệch. Đặt σ2 = Var(f(X)). Khi đó phương sai của ước lượng xung khắc được cho bởi: Var(fanti(X)) = σ2 2n + 1 2n Cov(f(X), f(1−X)) Mệnh đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Chebyschev.) Giả sử X là một biến ngẫu nhiên giá trị thực. Giả sử f,g là các hàm không giảm với Cov(f(X),g(X)) hữu hạn. Khi đó ta có: E(f(X)g(X)) ≥ E(f(X))E(g(X)) Bằng việc chọn g(x) = −f(1 − x), ta có mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ mệnh đề trên: Mệnh đề 1.2.2. (Giảm phương sai trong trường hợp phân bố đều). Giả sử f là hàm không giảm hoặc không tăng, giả sử X có phân bố đều trên , g(1) = g(0) = 0, max , thì ta sử dụng phân phối tam giác cho biến ngẫu nhiên X, tức là nó có mật độ xác suất : ˜f(x) =    0, nếu x ≤ 0 hoặc x ≥ 1 4x, nếu 0 < x < 1 2 4−4x, nếu 1 2 ≤ x < 1 (1.4) (Xem hình 1.2 và hình 1.3) Hình 1.2: Khi đó giá trị của tích phân sẽ không thay đổi nếu ta lấy mẫu theo hàm mật độ ˜f, ta có: 1 0 x.(1−x)dx = 1 0 x.(1−x) ˜f(x) ˜f(x)dx Điều này có nghĩa rằng khi chúng ta sử dụng phân phối mới, chúng ta có mẫu X(1−X) f(X) để có được ước lượng Monte Carlo mới: Iimp = 1 N N ∑ i=1 Xi(1−Xi) ˜f(Xi) Chú ý rằng, Xi có phân phối theo mật độ ˜f(.) . Một so sánh đơn giản của việc sử dụng ước lượng Monte Carlo giữa xấp xỉ đều và xấp xỉ tam giác với N = 1.000 cho thấy sự vượt trội của phương pháp mới. Kết quả thu được là: 16
  9. 21. Chương 1. Cơ sở lý thuyết và độ đo xác suất của nó là ˜P . Ta có: E(g(X)) = g(x)f(x)dx = g(x) f(x) ˜f(x) ˜f(x)dx = ˜E g(X) f(X) ˜f(X) = ˜E( ˜g(X)) (1.6) Ở đây ˜E(.) là kỳ vọng tương ứng với ˜P. Hàm có trọng số f(X) ˜f(X) được gọi là hàm tỷ số hợp lý của sự thay đổi từ độ đo xác suất P sang ˜P. Ước lượng mẫu chính của µ = E(g(X)) được định nghĩa như sau: Iimp, ˜f,N(g(X)) = 1 N N ∑ i=1 ˜g(Xi) = 1 N N ∑ i=1 g(Xi) f(Xi) ˜f(Xi) Trong đó các Xi là độc lập và có phân phối theo hàm mật độ ˜f của mẫu chính. Nhận xét rằng, ước lượng của mẫu chính là ước lượng không chệch và ước lượng vững. Phương sai của nó được cho bởi: σ2 imp, ˜f,N = ˜Var(Iimp, ˜f,N(g(X))) = 1 N ˜Var( ˜g(X)) = 1 N ˜E ˜g(X)2 − µ2 = 1 N   g(x)2 f(x) ˜f(x) f(x)dx− µ2   (1.7) Khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho E(g(X)): Iimp, ˜f,N(g(X))−1.96 ˜σimp, ˜f,N √ N , Iimp, ˜f,N(g(X))+1.96 ˜σimp, ˜f,N √ N trong đó ˜σimp, ˜f,N là độ lệch tiêu chuẩn mẫu của ước lượng mẫu chính. Nếu g(x) ≥ 0, ∀x ∈ Rd, ta chọn: ˜f(x) = c.f(x).g(x) = f(x).g(x) f(y).g(y)dy thì ˜f là hàm mật độ trên Rd và ta có ˜g(X) = 1 c , tức là: ˜Var Iimp, ˜f,N(g(X)) = 0 Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp là tìm hằng số c bằng phương pháp Monte Carlo, ở đó: µ = 1 c . 18
  10. 26. Chương 1. Cơ sở lý thuyết Hình 1.5: Mật độ ban đầu f(x) và mật độ tỷ lệ mẫu chính ˜f(x) Hình 1.6: Mật độ dịch chuyển ˜f(x) và mật độ dịch chuyển có điều kiện ˜fcond(x) 1.3 Các quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục Quá trình ngẫu nhiên là mô hình toán học của rất nhiều bài toán thực tế xuất hiện trong khoa học và công nghệ. Nó mô tả sự tiến hóa theo thời gian của một hệ thống chịu sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên. Tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ xem xét các hiện tượng như giá cổ phiếu, lãi suất và quá trình bảo hiểm, nhưng người ta cũng có thể xem xét các hiện tượng thiên nhiên như thời tiết hoặc các vấn đề về kỹ thuật như dòng chảy của các hạt tương tác thông qua một số bộ lọc. Quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được xem như một hàm ngẫu nhiên nào đó và sự mô tả các hàm ngẫu nhiên này thường được thông qua các phương trình vi phân ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.3.1. Cho (Ω, ,P) là một không gian xác suất với không gian mẫu Ω, σ- trường F, và độ đo xác suất P. Giả sử I là một tập chỉ số. (a) Họ {Ft}t∈I của σ-trường con của F với Fs ⊂ Ft nếu s < t;s,t ∈ I, được gọi là một lọc. 23
  11. 27. Chương 1. Cơ sở lý thuyết (b) Một họ {(Xt,Ft)}t∈I, gồm một lọc {Ft}t∈I và một họ {Xt}t∈I các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong Rn, sao cho Xt là Ft – đo được, được gọi là một quá trình ngẫu nhiên tương ứng với lọc {Ft}t∈I. (c) Với mỗi ω ∈ Ω cố định, tập: X.(ω) := {Xt}t∈I = {X(t,ω)}t∈I được gọi là một quỹ đạo mẫu. Định nghĩa 1.3.2. Nếu những quỹ đạo mẫu của một quá trình ngẫu nhiên X.(ω) là liên tục (liên tục phải, liên tục trái) thì ta gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục (liên tục phải, liên tục trái). Định nghĩa 1.3.3. (a) Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈I được gọi là có gia số độc lập nếu với mọi r ≤ u ≤ s ≤ t,(r,u,s,t ∈ I) ta có: Xt −Xs độc lập với Xu −Xr (b) Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈I được gọi là có gia số “dừng” nếu với mọi s ≤ t,(s,t ∈ I) ta có: Xt −Xs ∼ Xt−s Nhận xét. Hai tính chất trên sẽ giúp việc phân tích và đặc biệt là mô phỏng quá trình ngẫu nhiên đơn giản hơn. * Nếu quá trình ngẫu nhiên X có các gia số độc lập thì nó sẽ cho dự báo kết quả trong tương lai, tại thời điểm t là Xt. * Nếu quá trình ngẫu nhiên X có gia số dừng thì các tính chất phân phối của quá trình không thay đổi theo thời gian. Điều này không có nghĩa là các Xt có cùng phân bố, mà phân bố của gia số Xt −Xs chỉ phụ thuộc vào sự chênh lệch về thời gian t −s. Do đó ta sẽ nghiên cứu hai lớp cơ bản của quá trình ngẫu nhiên khái quát hai thuộc tính này: * Thuộc tính thứ nhất (với gia số độc lập): là lớp các quá trình Markov mà ở đó phân bố của các giá trị tương lai của quá trình này chỉ phụ thuộc vào quá khứ thông qua giá trị hiện tại của nó. * Thuộc tính thứ hai là của mac-tin-gan, khái quát về ý tưởng của một trò chơi công bằng. Định nghĩa 1.3.4. Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈I nhận giá trị trên Rd, xác định trên một không gian xác suất (Ω, ,P) được gọi mà một quá trình Markov với phân bố ban đầu ν nếu ta có: P(X0 ∈ A) = ν(A), ∀A ∈ B(Rd ) 24
  12. 31. Chương 1. Cơ sở lý thuyết 1.3.2.2 Hội tụ yếu và định lí Donsker Định nghĩa 1.3.11. Giả sử (S,B(S)) là một không gian metric với metric ρ và σ−trường Borel B(S) của S. Gọi P,Pn, n ∈ N là các độ đo xác suất trên (S,B(S)). Khi đó, ta nói dãy Pn hội tụ yếu tới P nếu với mỗi hàm f liên tục, bị chặn, nhận giá trị thực trên S, ta có: S f dPn n→∞ −−−→ S f dP Định nghĩa 1.3.12. Giả sử Xn = {Xn(t)}t∈,R) Như vậy ta có: E(f(Xn)) = f dPn, E(f(X)) = f dP hội tụ yếu của quá trình ngẫu nhiên có nghĩa là hội tụ yếu của các phân phối xác suất cơ bản Pn → P. Định lí 1.3.13. Giả sử P,Pn, n ∈ N là các độ đo xác suất trên không gian metric (S,B(S)) với metric ρ. Hơn nữa, gọi h : S → S là một ánh xạ đo vào không gian metric S với metric ρ và σ− trường Borel B(S ). Giả sử Dh – tập các điểm gián đoạn của h là một tập không, tức là: P(Dh) = 0 Khi đó sự hội tụ theo phân phối được bảo toàn qua ánh xạ h: Pn n→∞ −−−→ P theo phân phối ⇒ Pn.h−1 n→∞ −−−→ P.h−1theo phân phối Nhận xét. Các ánh xạ liên tục bảo toàn sự hội tụ theo phân phối. (Rk,B(Rk)) cũng là một không gian xác suất. Giả sử Xn,X là các quá trình ngẫu nhiên liên tục, giá trị thực. Cố định k thời điểm: 0 ≤ t1 < … < tk ≤ 1, theo định lí 1.3.13 ta có: Xn n→∞ −−−→ X theo phân phối khi đó (Xn(t1),…,Xn(tk)) n→∞ −−−→ (X(t1),…,X(tk)) theo phân phối Định lí 1.3.14. (Donsker) Giả sử {ξn}n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, với E(ξi) = 0, 0 < Var(ξi) = σ2 < ∞. Đặt: S0 = 0, Sn = n ∑ i=1 ξn 28
  13. 34. Chương 1. Cơ sở lý thuyết Hình 1.8: Mô phỏng các quỹ đạo mẫu của một cầu Brown từ 0 tới 1 (n = 100) (b) Với một quá trình đơn giản {Xt}t∈: It(X) := t 0 Xs dWs := ∑ 1≤i≤p Φi(Wti∧t −Wti−1∧t) Định lí 1.3.23. (Những tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhiên) Giả sử X là một quá trình đơn giản. Khi đó ta có: (a) {(It(X),Ft)}t∈ (b) Phương sai của tích phân Itô được xác định như sau: E   t 0 Xs dWs   2 = E   t 0 X2 s dWs   ∀t ∈ ×Ω → Rn , (s,ω) → Xs(ω) 31
  14. 44. Chương 1. Cơ sở lý thuyết * Dùng ký hiệu cho tích phân Itô lặp trên khoảng thời gian . Trường hợp 2: Với m = 1 và d ∈ {1,2,…}, thành phần thứ k của sơ đồ Euler – Maruyama cho (1.22) có dạng: Yk n+1 = Yk n +ak (tn,Yn)∆+bk (tn,Yn)∆W (k = 1,…,d) Trường hợp 3 (tổng quát): Với m ∈ {1,2,…} và d ∈ {1,2,…}, thành phần thứ k của sơ đồ Euler – Maruyama cho (1.22) có dạng: Yk n+1 = Yk n +ak (tn,Yn)∆+ m ∑ j=1 bk j (tn,Yn)∆W j (k = 1,…,d) với ∆W j = W j tn+1 −W j tn ∼ N(0;∆) (j ∈ {1,…,m}) là số gia của thành phần thứ j của quá trình Wiener m−chiều Wt trên } là quá trình Itô 1 – chiều thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính: dXt = 2Xtdt +XtdWt Phương trình này có nghiệm đúng là: Xt = X0e 3 2t+Wt 41
  15. 45. Chương 1. Cơ sở lý thuyết Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian ∆ của , sơ đồ Milstein cho Xt xấp xỉ như sau:    Yn+1 = Yn +2Yn∆+Yn∆W + 1 2Yn (∆W)2 −∆ Y0 = X0 (1.26) Cho T = 1,X0 = 1 ta có một quỹ đạo mô phỏng của nghiệm đúng (với bước thời gian dt = 2−8) và một quỹ đạo mô phỏng của xấp xỉ Milstein (với bước thời gian ∆ = Dt = 16dt = 2−4). Hình 1.11: Nghiệm số của SDE tính bởi Milstein 43
  16. 52. Chương 2. Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính Như vậy rõ ràng là giá cổ phiếu là một hàm theo thời gian và chuyển động Brown: f(t,W(t)). Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên với một cổ phiếu: dS1(t) = µS1(t)dt +σS1(t)dB(t) (2.10) dt và dB(t) là các hàm bậc nhất của S1(t) (giá của một cổ phiếu tại thời điểm t), µ và σ là các hằng số. Lời giải của phương trình (2.10) là một quá trình ngẫu nhiên S1(t) = S1(t,ω) có dạng : S1(t) = S1(0).exp σBt + µ − σ2 2 t (2.11) Quá trình S1(t) này được gọi là một chuyển động Brown hình học, S1(0) là giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểm t = 0. 2.1.2 Xác định các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học S(t) Nhận xét rằng, nếu ta có thể ước lượng các tham số µ và σ thì sẽ ước lượng được giá S1(0) của cổ phiếu tại thời điểm t. Giả sử xét giá cổ phiếu S1(t) trong một khoảng thời gian quan sát với n khoảng đều như nhau có độ dài ∆t = ti −ti−1, ∀i = 0,…,n, thì giả sử là đã biết giá chứng khoán tại thời điểm cuối ti+1 của mỗi khoảng nhỏ [ti;ti+1]. Vậy ta có n+1 quan sát S1,S2,…,Sn+1. Bước 1. Tạo ra một dãy số liệu: Zi = ln(Si+1)−ln(Si) (2.12) Z1,Z2,…,Zn là một dãy số. Theo công thức của chuyển động Brown hình học (2.11) ta có biểu thức: Zi = σ (Bti+1 −Bti)+ µ − σ2 2 ∆t (2.13) Bước 2. Tìm trung bình và phương sai của dãy số liệu Z1,Z2,…,Zn theo công thức thống kê: * Trung bình mẫu: ˜Z = 1 n ∑n i=1 Zi, * Phương sai mẫu: S2 = 1 n−1 ∑n i=1 Zi − ˜Z 2 Đó là những ước lượng cho trung bình và phương sai lý thuyết của biến ngẫu nhiên Z mà thể hiện là (Z1,Z2,…,Zn). Nếu chỉ căn cứ vào biểu thức (2.13) thì ta tính ra trung bình và phương sai của Z sẽ là: * Trung bình: µ − σ2 2 ∆t 49
  17. 53. Chương 2. Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính * Phương sai: σ2∆t Bước 3. Giải các phương trình sau đây đối với µ và σ : ˜Z = µ − σ2 2 ∆t S2 = σ2 ∆t Ta sẽ được: µ = ˜Z + S2 2 ∆t và σ = S √ ∆ Ví dụ 11. Giá cổ phiếu KSS (Tổng Công Ty Cổ Phần Khoáng Sản NaRi Hamico) lúc đóng cửa trong khoảng thời gian từ ngày 29/02/2012 đến ngày 17/05/2012 được thống kê lại gồm 40 số liệu như sau (tính theo đơn vị một nghìn Việt Nam đồng (1000 vnđ)): 7,8 8,1 8,2 8,1 7,8 8,1 8,4 8,2 8,5 8,9 9,3 9,4 9,5 9,1 8,8 8,4 8,3 8,7 8,5 8,9 8,9 8,6 9.0 9.4 9.8 10,2 11,2 11,7 12,2 12,8 13,4 12,7 13,3 12,7 12,1 11,9 12,4 11,8 11,3 10,8 Bằng các công thức trên, ta tính được: ˜Z = 0,0083442 S = 0,04 Trong bước 3, ta ước lượng µ và σ theo tỉ lệ xích hàng năm: ∆t = 1 365 Vậy các ước lượng của tham số µ và σ của giá cổ phiếu sẽ là: ˆµ = ˜Z + S2 2 ∆t = 3,34 và ˆσ = S √ ∆ = 0,76 Khi đó theo công thức (2.11), giá một cổ phiếu vào bất kỳ một ngày t nào đó sẽ được ước lượng bởi: ˜S1(t) = S1(0).e0,76Bt+3,0512t 50
  18. 56. Chương 2. Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính * Đến ngày đáo hạn , người mua hợp đồng có thể trả cho người bán hợp đồng số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng. * Nếu người bán hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người mua trả, thì người bán phải giao một cổ phần chứng khoán cho người mua vào ngày đáo hạn. Gần như lúc nào cũng vậy, hợp đồng quyền chọn mua sẽ được xếp đặt sao cho người bán phải trả cho người mua khoản chệnh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực thi. Gọi ST là giá của cổ phiếu tại thời điểm t = T trong tương lai và K là giá thực thi vào ngày đáo hạn. Khi đó số tiền mà người mua hợp đồng quyền chọn phải trả là: Số tiền chi trả = max{ST −K,0} = (ST −K)+ 2.2.1.2 Quyền chọn bán Người ta có thể mua một cơ hội được phép bán một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một giá đảm bảo, ngay cả khi mà người ta không sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả. Đó là nội dung của các hợp đồng Quyền Chọn Bán hay gọi tắt là Quyền Chọn Bán. Các điều kiện của quyền chọn bán: * Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này có thể đưa cho người viết một cổ phần chứng khoán, hoặc tương đương, một số tiền theo giá thị trường lúc ấy của một cổ phần chứng khoán. * Nếu người viết hợp đồng nhận cổ phần chứng khoán hoặc số tiền tương đương do người giữ hợp đồng giao cho, thì anh ta phải trả chi phí thực thi cho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng. Thông thường thì với hợp đồng quyền chọn bán này, thì hoặc là hợp đồng không được thực thi, hoặc là người viết hợp đồng sẽ trả cho người giữ hợp đồng một khoản chênh lệch giữa giá thực thi và giá chứng khoán vào ngày đáo hạn. Gọi ST là giá chứng khoán lúc đáo hạn và K là giá thực thi, khi đó ta có thể nói rằng thu hoạch của người giữ quyền bán này là: Thu hoạch quyền bán = max{K −ST ;0} = (K −ST )+ 2.2.2 Giới thiệu sơ lược về định giá quyền chọn 2.2.2.1 Lịch sử vắn tắt của định giá quyền chọn Lý thuyết hiện đại của định giá quyền chọn bắt đầu với các luận án Theorie de la Sp eculation của L. F. Bachelier. Do đó, với mô hình giá cổ phiếu là một chuyển động Brown với độ biến động, Bachelier muốn có lý thuyết giá cho quyền chọn cho các cổ phiếu để so sánh chúng với giá thực tế trên thị trường. Ông đề nghị sử dụng giá trị kỳ vọng của các tài 53


【#9】30 Bài Toán Phương Pháp Tính

Published on

30 bài toán phương pháp tính

  1. 11. Bài tập 6: Dùng phương pháp Gauss để giải những hệ phương trình Ax=b. Các phép tính lấy đến 5 số lẻ sau dấu phẩy: a. 1,5 0,1 0,1 0,1 1,5 0,1 0,3 0, 2 0,5 A                 0, 4 0,8 0, 2 b            x     1   2      x x x 3 0, 4 0,8 0, 2 B            Bài giải: Lập bảng gauss : Quá trình ai1 ai2 ai3 ai4 ij a (cột kiểm tra) Thuận 1,5 0,1 -0,3 -0,2 1,5 0,2 0,1 -0,1 -0,5 0,4 0,8 0,2 1 0 0 -0,13333 1,48667 1,6 0,06667 0,09333 -0,48 0,26667 0,82667 0,28 1 1 0,06278 -1,48448 0,55605 -0,33326 1 1 1 0,22449 0,54196 0,32397 Vậy nghiệm của phương trình là : (0,32397 ; 0,54196 ;0,22449 ) b) 2, 6 4,5 2, 0 3, 0 3, 0 4,3 6, 0 3, 5 3, 0 A               19, 07 3, 21 18, 25 b             x     1   2      x x x 3 19, 07 3, 21 18, 25 B             Bài giải: Lập bảng gauss :
  2. 13. X(1) X(2) X(3) -0,74375 -0,89453125 -0,961835937 -3,575 -3,865 -3,94484375 -2,58125 -2,8296875 -2,939882875 Đánh giá sai số x(3) x(3)- x(2) = max (0,067304687;0,07984375;0,110195375) Áp dụng công thức (3.36) SGK ta có x(3) – 2  0,5  1 0,5 .0,110195375 = 0,110195375 Vậy ta có nghiệm của phương trình là: X= -0,961835937  0,110195375 Y= -3,94484337  0,110195375 Z= -2,939882875  0,110195375 Bâi 8 : Giải hệ phương trình x x x x x x x x x 24, 21 2, 42 3,85 30, 24 2,31 31, 49 1,52 40,95 3, 49 4,85 28, 72 42,81    1 2 3     1 2 3     1 2 3  x 1, 24907 0, 09995 x 0,15902 x x 1,30041 0, 07335 x 0, 04826 x x 1, 49059 0,1215 x 0,1689 x     1 2 3      2 1 3     3 1 2        1             2                  3      0 0, 09995 0,15902 1, 24907 0, 07335 0 0, 04826 1,30041 0,12151 0,16887 0 1, 49059 x x f x x Ta có: 1 2 3 0, 25897 1 0,12171 1 0, 29038 1 r r r           pt hội tụ Lập bảng: 1 x 2 x 3 x B 0 -0,07335 -0,12151 -0,09995 0 -0,16887 -0,15902 -0,04826 0 x 1,24907 1,30041 1,49059 0 x1 0,98201 1,13685 1,11921 x2 0,95747 1,17437 1,17928 x3 0,94416 1,17326 1,17773 x4 0,94452 1,17431 1,17774
  3. 14. x5 x6 x7 0,94441 0,94452 0,94444 1,17429 1,17431 1,17429 1,17751 1,17753 1,17751 Nghiệm bằng: (0,94444; 1,17429; 1,17751) Bài 9 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm y=f(x) cho dưới dạng bảng X 0 2 3 5 Y 1 3 2 5 Giải: ở đây ta thấy n=3 nên đa thức nội suy là một đa thức bậc 3 có dạng P3(x)= yo + lo (x) + y1L1(x) + y2 l2(x) + y3 l3(x)  p3(x)= x  x  x  +3. ( 2)( 3)( 5)    (0 2)(0 3)(0 5) x  x  x  +2. ( 0)( 3)( 5)    (2 0)(2 3)(2 5) x  x  x  + 5. ( 0)( 2)( 5)    (3 0)(3 2)(3 5) x  x  x  ( 0)( 2)( 3)    (5 0)(5 2)(5 3)  p3(x) = x 3  10 x 2  31 x  30 + 30  x3  8×2 15x + 6 x3 5×2  6x 30  p3(x) = 9×3 65×2 124x  30 30 Vậy đa thức Lagrange cần tìm la : p3(x) = 9×3 65×2 124x  30 30 Bài 10 : Cho bảng giá trị của hàm số y= f(x) X 321,0 322,0 324,0 325,0 Y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188 Tính gần đúng t (324,5) bằng đa thức nội suy Lagrange ? Giải : Gọi x* =323,5  y(x* ) =p3 (x* ) = y0l0(x* )+ y1l1(x* ) +y2l2(x* ) + y3l3(x* ) Ta có l0(x* ) = (323,5 322,8)(323,5 324,2)(323,5 325,0)    = – 0,031901041 (321,0  322,8)(321,0  324,2)(321,0  325,0) = -0,03190
  4. 15. L1(x* )= (323,5 321,0)(323,5 324,2)(323,5 325,0)    = 0,473484848 (322,8  321,0)(322,8  324,2)(322,8  325,0) = 0,43748 L2(x* )= (323,5 321,0)(323,5 322,8)(323,5 325,0)    =0,732421875 (324,2  321,0)(324,2  322,8)(324,2  325,0) =0,73242 L3(x* )= (323,5 321,0)(323,5 322,8)(323,5 324,2)    =-0,174005681 (325,0  321,0)(325,0  322,8)(325,0  324,2) = -0,17401  y (323,5)= 2,50651.(- 0,03190)+2,50893.0,47348+2,51081.0,73242+2,51188.(-0,17401) =2,50985 Bài 11: Cho bảng giá trị của hàm số y =f(x) X -1 0 3 6 7 Y 3 -6 39 822 1011 a. Xây dựng đa thức nội suy Niwton tiến xuất phát từ nút x0 =-1 của y = f(x) b. Dùng đa thức nội suy nhận được tính giá trị f(0,25) Giải : Đa thức vừa lặp là đa thức nội suy Niwton bước không đều a. Ta có bảng ký hiệu X Y THC1 THC2 THC3 THC4 -1 0 3 6 3 -6 39 822 -9 15 261 6 41 132 5 13 1
  5. 21. Giải: Lập bảng tỉ hiệu: x y y 2 y 3y 4 y 0,12 8,333333 – 55,555533 – 39,215700 – 29,411767 – 22,727250 326,796666 196,078660 133,690340 -1633,975075 – 891,261714 7427,133610 0,15 6,666667 0,17 5,882353 0,2 5,000000 0,22 4,545455 ( ) 4  P x = 8,333333 – 55,555533 ( x -0,12) + 326,796666(x  0,12)(x  0,15) 1633,975075(x – 0,12). (x  0,15) .( x -0,17) + 7427,133610 (x  0,12) (x  0,15) .( x -0,17)( (x  0,2) .  ( ) 4 P x = 7427,133610 x4  6387,340585×3  2173,927294×2  365,847435x  30,427706 / ( ) 29708,53444 3 19162,02176 2 4347,854588 365,847435 4  P x  x  x  x  Vậy ta có y / (0,12) = / (0,12) 29708,53444.0,123 19162,02176 2 4347,854588 365,847435 4 P   x  x  = -68,689650. Câu 18. Tính gần đúng y/(1) của hàm y = y(x) dựa vào bảng giá trị : x 0,98 1,00 1,02 y  y(x) 0,7739332 0,7651977 0,7563321 Giải: Theo bài ra ta có h = 0,02 Áp dụng công thức Taylo, ta có:   f x f ( x h ) f ( x ) ( ) 0 0 . 0 / h  y  f  f f / (1) / (1) (1,02) (1,00) 0,7563321 0,7651977   Thay số ta có: 0,44328 0,02 0,02    Vậy y/ (1)   0,44328. Câu 19. Cho tính phân:   dx 1,1 0,1 (1 4x)2 a. Tính gần đúng tích phân trên bằng công thức hình thang tổng quát chia đoạn 0,1;1,1 thành 10 đoạn bằng nhau. b. Đánh giá sai số của giá trị gần đúng tìm được. Giải: a. Theo bài ra ta có h b a 1,1  0,1  0,1 . 10    n Lập bảng giá trị : i x y 0 0,1 0,510204081 1 0,2 0,308641975 2 0,3 0,206611570 3 0,4 0,147928994 4 0,5 0,111111111
  6. 22. 5 0,6 0,086505190 6 0,7 0,069252077 7 0,8 0,056689342 8 0,9 0,047258979 9 1,0 0,040000000 10 1,1 0,034293552 Áp dụng công thức hình thang IT =    0 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 h y  y  y  y  y  y  y  y  y  y  y . Thay số ta có: IT =  0,1 0,510204081 +0,034293552 + 2(0,308641975 + 0,206611570 2 + + 0,147928994 +0,111111111+ 0,086505190 + 0,069252077 + 0,056689342 + 0,047258979 + 0,040000000 ) = 0,134624805 Vậy IT = 0,134624805. . 2 I I M h b a T    Với M Max f // (x) , với mọi xa,b. b. Đánh giá sai số, ta có: . ; 12 / x 32 8  ( ) 1 ( ) 1      Ta có 2 4 / 2 (1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) x x f x x f x          / 4 3 384 96 x x x 32(1 4 ) 16(1 4 ) ( 32 8)          8 5  ( ) 32 8 4 // (1 4 ) (1 4 )   (1 4 ) x x x x f x x           (0,1) 384.0,1 96 5 //  Ta nhận thấy, Max f // (x) = 24,98958767 (1  4.0,1)  f  24,98958767.0,12.(1,1 0,1)  .  Sai số T I  I  0,020824656 12  x . 1 dx 3,5  2 1 Câu 20. Cho tích phân:   x a. Tích gần đúng tích phân bằng công thức Símson tổng quát chia đoạn 2;3,5 thành 12 đoạn bằng nhau. b. Đánh giá sai số giá trị vừa tìm được. Giải: 3,5  2  h b a a. Theo bài ra ta có 0,125 12    n Lập bảng giá trị : i x y 0 2 -3 1 2,125 -2, 777777778 2 2,25 -2,6 3 2,375 -2,454545455 4 2,5 -2, 333333333 5 2,625 -2,230769231 6 2,75 -2,142857143 7 2,875 -2,066666667 8 3,0 -2
  7. 23. 9 3,125 -1,941176471 10 3,25 -1, 888888889 11 3,375 -1,842105263 12 3,5 -1,8 Áp dụng công thức Símson     4(      )  2(     )  3 0 12 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 IS h y y y y y y y y y y y y y  0,125   3  1,8  4.(-2, 777777778 – 2,454545455- 2,230769231- 2,066666667 – 1,941176471 – 3 -1,842105263)  2.( -2,6 -2, 333333333 -2,142857143 -2 -1, 888888889) = = -3.332596758 Vậy I  -3.332596758 S . 4 b. Đánh giá sai số: .( ) I I M h b a S    180 Trong đó M Max f //// (x) với a  x  b Ta có: ( ) 2  f ( x ) 1 x f x x ( ) 64.(1 ) 2 4 //// f x x x    ( ) 12 24 20 2 3 2 /// 2 2 f // x x 2 /  (1 2 ) (1 2 ) ( ) 4  4 (1 2 ) 1 2 1 x x x x x x x x f x x                   Ta nhận thấy: Max 0,0001302083333 4 ( ) (2) 64 64.0,125 .(3,5 2) //// ////  180 S  f x  f   I  I  . CHƯƠNG 6: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 21 1 1 Dùng công thức Simpson tổng quát để tính gần đúng tích phân: dx  0 x  3 1 . 1  0  Chia thành 16 đoạn bằng nhau, suy ra h = 16 = 0,1 Ta tính ra bảng sau : Thứ tự x f(x) = x x sin 2  1 cos 0 – 0,8 0.934412 1 – 0,7 0.855826 2 – 0,6 0.762860 3 – 0,5 0.656932 4 -0,4 0.539743 5 -0,3 0.413236 6 -0,2 0.279557 7 -0,1 0.141009 8 0 0.000141 9 0,1 0.141009 10 0,2 0.279557 11 0,3 0.413236 12 0,4 0.539743 13 0,5 0.656932 14 0,6 0.762860 15 0,7 0.855826 16 0,8 0.934412 Áp dụng công thức Simpson :
  8. 25. h , chọn bước h= 0,1. Bài giải: Theo đầu bài ta có: h= 0,1; U0= y(1)= 1, x0 = 1 Áp dụng công thức Euler: Ui+1= Ui+ hf(xi ; yi) Ta tính được U1= U0+ hf(x0 ; y0) = 1+ 0,1(12-12)= 1 U2= U1+ hf(x1 ; y1) = 1+ 0,1(12-1,12)= 0,979 U3= U2+ hf(x2 ; y2) = 1+ 0,1(0,9792-1,22)= 0,9308441 U4= U3+ hf(x3 ; y3) = 1+ 0,1(0,93084412-1,32)= 0,848491173 U5= U4+ hf(x4 ; y4) = 1+ 0,1(0,8484911732-1,42)= 0,724484901 U6= U5+ hf(x5 ; y5) = 1+ 0,1(0,7244849012-1,52)= 0,551972738 U7= U6+ hf(x6 ; y6) = 1+ 0,1(0,5519727382-1,62)= 0,326440128
  9. 26. U8= U7+ hf(x7 ; y7) = 1+ 0,1(0,3264401282-1,72)= 0,048096444 U9= U8+ hf(x8 ; y8) = 1+ 0,1(0,0480964442-1,82)= – 0,275672228 U10= U9+ hf(; y9) = 1+ 0,1[(- 0,275672228)2-1,92) = – 0,629072711 U11= U10+ hf(x10 ; y10) = 1+ 0,1- 0,629072711)2-22) = – 0,989499463 Vậy nghiệm gần đúng cần tìm là: U11= α =- 0,989499463 Câu 25. Cho bài toán Cauchy. y /  y  2x y y(0) = 1, 0  x  1. Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến ( chỉ lặp 1 lần),chọn bước h = 0,2 và so sánh kết quả với nghiệm đúng. Giải: Theo bài ra ta có 0 (0) 1; u  y  h  0,2. Vì xi x ih   0 , ta có bảng giá trị của x : 0 x 0,0 1 x 0,2 2 x 0,4 3 x 0,6 4 x 0,8 5 x 1,0 Theo phương pháp Euler cải tiến ( Phương pháp hình thang). (0) ( , ) i 1 i i i u  u  hf x u  (1)  ( , ) ( , )  2 1 u ( m  1)  u  h i f x u  f x u ( m ) . (2)  1 i i i i  1 i  Từ (1) và (2) ta có ( , ) 0 0 0  1 0,2(1 0  . (0) 1 u  u  hf x u ) 1,2 1  ( , ) ( , )  2   u (1)  u  h f x u  f x u (0) 1 0 0 0 1 1  1 0,1 1 2.0 = 1,186667.   1,356585         1,2 2.0,2       1,2 1 0,2 ( , (1) ) 1,186667 0,2 1,186667 2.0,2 u  u  f x u     . 1,186667 1 1 (1) 1 ) 0 (2    ( , )  ( , )   u u h f x u f x u 2 ) 0 (2 2 (1) 1 1 (1) 1 ) 1(2 1,348325   1,186667 0,1 1,186667 2.0 1,356585 2.0,4 1,186667 1,356585                 u  u  f x u    1,499325 . 4 , 0 . 2 348325 , 1 2 , 0 348325 , 1 ) , ( 2 , 0 ) 1(2 2 1,348325 ) 1(2 ) 0 (3         ( , )  ( , )   ) 1(3u u h f x u f x u 2 ) 0 (3 3 ) 1(2 2 ) 1(2 1,493721   1,348325 0,1 1,348325 2.0,4 1,499325 2.0,6 1,348325 1,499325                 u  u  f x u    1,631793 . 6 , 0 . 2 493721 , 1 2 , 0 493721 , 1 ) , ( 2 , 0 ) 1(3 3 1,493721 ) 1(3 ) 0 (4     
  10. 27.    ( , )  ( , )   u u h f x u f x u 2 ) 0 (4 4 ) 1(3 3 ) 1(3 ) 1(4 1,627884   1,493721 0,1 1,493721 2.0,6 1,631793 2.0,8 1,493721 1,631793                 u  u  h f x u    1,756887 . 8 , 0 . 2 627884 , 1 2 , 0 627884 , 1 ) , ( . ) 1(4 4 1,627884 ) 1(4 ) 0 (5         ( , )  ( , )   u u h f x u f x u 2 ) 0 (5 5 ) 1(4 4 ) 1(4 ) 1(5 1,754236.   1,627884 0,1 1,627884 2.0,8 1,756887 2.1 1,756887  5   ( 1,627884 Vậy nghiệm gần đúng cần tính là 1)             u =  1,754236 Câu 26. Cho bài toán Cauchy y/  x  y . y(0)= 1. Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến với độ chính xác đến 4 chữ số lẻ thập phân trùng nhau, giá trị của y(0,1). chọn bước h = 0,05. Giải: Theo bài bước h = 0,05. f(x,y) = x + y Theo công thức Euler cải tiến ta có:  ( , ) ( , ) 2 m i f x u f x u u u h   (  1)    ( m ) (1)  1 i i i i 1 i 1 u (0)  u  hf ( x , u ) (2) i  1 i i i Từ (1) và (2) ta có: u (0)  u  hf ( x , u )  1  0,05(0  1)  1,05 1 0 0 0   0 1 0,05 1,05 1,0525 u (1) u  h f ( x , u )  f ( x , u )  1  0,05     1 2 2 (0) 0 0 0 1 1   0 1 0,05 1,0525 1,05256 u (2) u  h f ( x , u )  f ( x , u (1) )  1  0,05     1 0 2 0 0 1 1 2 Ta thấy (2) 1 u – (1) 1 u = 1,05256 – 1,0525 = 0,00006 < 10-4 đạt yêu cầu chính xác, lấy gần đúng 1 u = 1,0526. Tính tiếp cho 2 u , ta có: .  ,  1,0526 0,05(0,05 1,0526) 1,1077. 1 1 1 ) 0 (2 u  u  h f x u       0,05 1,0526 0,1 1,1077 1,11036 u u  h f ( x , u )  f ( x , u )  1,0526  0,05     2 ) 0 (2 1 1 1 2 2 ) 1(2   0,05 1,0526 0,1 1,11036 1,11042 2 u (2 2 ) u  h f ( x , u )  f ( x , u 1) )  1,0526  0,05     2 1 2 1 1 2 2 Cũng như với u ta có 2 )  (1 (u = 0,00006<10-4. Ta có thể lấy y(0,1) = u(0,1) = u ) 1(2  2 u 1,1104. Câu 27. Cho bài toán Cauchy / 1 2 y y   y (0)  0 Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Runge – Kutta cấp 4 trên 0;0,6. Chọn bước h= 0,2. Giải Theo bài ra, ta có 3 x b h 0, 0,6, 0,2    0,6 0 0,2 0 0     n b x   h
  11. 28. Ta có bảng: 0 x 0 1 x 0,2 2 x 0,4 3 x 0,6 * Tính u1 với      0 0 0 x 0 u Ta có 2 k h f x u . ( , ) 0,2(1 0 ) 0,2     1 0 0 k h f x h u k . ( 0,5 ; 0,5 ) 0,2(1 0,1 ) 0,202       k h f x h u k . ( 0,5. ; 0,5. ) 0,2(1 0,101 ) 0,2020402       k h f x h u k . ( ; ) 0,2(1 2021402 ) 0,208164048 ( 2 2 ) 0 1 6            0,202707408 (0,2 2.0,202 2.0,2020402 0,208164048) 6 1 1 0 1 2 3 4 2 4 0 0 3 2 3 0 0 2 2 2 0 0 1        u u k k k k *Tính 2 u với      0,2 0,202707408 1 x 1 u Ta có: k h f x u . ( , ) 0,2(1 0,202707408 ) 0,208218058     k h f x h u k . ( 0,5 ; 0,5 ) 0,2(1 0,306816437 ) 0,218827265       k h f x h u k . ( 0,5. ; 0,5. ) 0,2(1 0,31212104 ) 0,219483908       k h f x h u k . ( ; ) 0,2(1 0,422191316 ) 0,235649101       ( 2 2 ) 0,202707408 1 6 u u k k k k           2.0,219483908 0,235649101) 0,422788992. (0,208218058 2.0,218827265 6 1 2 1 1 2 3 4 2 4 1 1 3 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1    *Tính 3 u với      0,4 0,422788992 2 x 2 u Ta có: k h f x u . ( , ) 0,2(1 0,422788992 ) 0,235750106     k h f x h u k . ( 0,5 ; 0,5 ) 0,2(1 0,540664045 ) 0,258463521       k h f x h u k . ( 0,5. ; 0,5. ) 0,2(1 0,552020752 ) 0,260945382       k h f x h u k . ( ; ) 0,2(1 0,683734374 ) 0,293498538       ( 2 2 ) 0,422788992 1 6 u u k k k k           2.0,260945382 0,293498538) 0,6841334. (0,235750106 2.0,258463521 6 1 3 2 1 2 3 4 2 4 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2    *Tính 4 u với      0,6 0,6841334 3 x 3 u
  12. 29. k h f x u . ( , ) 0,2(1 0,6841334 ) 0,293607701     k h f x h u k . ( 0,5 ; 0,5 ) 0,2(1 0,83093725 ) 0,338091342       k h f x h u k . ( 0,5. ; 0,5. ) 0,2(1 0,853179071 ) 0,345582905       k h f x h u k . ( ; ) 0,2(1 1,029716305 ) 0,412063133       ( 2 2 ) 0,6841334 1 6 u u k k k k           2.0,345582905 0,412063133) 1,029636621 (0,293607701 2.0,338091342 6 1 4 3 1 2 3 4 2 4 3 3 3 2 3 3 3 2 2 2 3 3 1 2 1 3 3    Bài 28: Dùng phương pháp trung điểm giải bài toán sau: ݕᇱ = ݕ − ܿ݋ݏݔ ݕ Với 0 ≤ ݔ ≤ 1; y(0) =1, chọn bước h =0,2. Kết quả làm tròn 6 chữ số lẻ thập phân. Bài giải Ta có: U0= y(0) =1 Áp dụng phương pháp trung điểm ta tính được: + ܷഥ1= U0 + ௛ ଶ (U0- ௖௢௦௫బ ௎బ ) = 1  U1= U0 + h(ܷഥ1- ୡ୭ୱ (௫బା଴,ହ௛) ௎ഥ భ )) = 1,000999 + ܷഥ2= U1 + ௛ ଶ (U1- ௖௢௦௫భ ௎భ ) = 1,003088  U2= U1 + h(ܷഥ2- ୡ୭ୱ (௫భା଴,ହ௛) ௎ഥ మ )) = 1,010495 + ܷഥ3= U2 + ௛ ଶ (U2- ௖௢௦௫మ ௎మ ) = 1,019277  U3= U2 + h(ܷഥ3- ୡ୭ୱ (௫మା଴,ହ௛) ௎ഥ య )) = 1,037935 + ܷഥ4= U3 + ௛ ଶ (U3- ௖௢௦௫య ௎య ) = 1,057977  U4= U3 + h(ܷഥ4- ୡ୭ୱ (௫యା଴,ହ௛) ௎ഥ ర )) = 1,091733 + ܷഥ5= U4 + ௛ ଶ (U4- ௖௢௦௫ర ௎ర ) = 1,126575  U5= U4 + h(ܷഥ5- ୡ୭ୱ (௫రା଴,ହ௛) ௎ഥ ఱ )) = 1,177547 + ܷഥ6= U5 + ௛ ଶ (U5- ௖௢௦௫ఱ ௎ఱ ) = 1,229245  U6= U5 + h(ܷഥ6- ୡ୭ୱ (௫ఱା଴,ହ௛) ௎ഥ ల )) = 1,2982670 Bài 29: Dùng phương pháp trung điểm giải bài toán sau: ݕᇱ = ݕ − ݁௫ܿ݋ݏݔ ݕ Với 0,3 ≤ ݔ ≤ 0,5; y(0,3) =0,943747, chọn bước h =0,1. Kết quả làm tròn 6 chữ số lẻ thập phân.
  13. 30. Bài giải Ta có: U0= y(0) =0,943747 Áp dụng phương pháp trung điểm ta tính được: +) ܷഥଵ = ܷ଴ + ௛ ଶ (ܷ଴ − ௘ೣబ.௖௢௦௫బ ௎బ ) = 0,926822832  ܷଵ = ܷ଴ + ℎ(ܷഥଵ − ௘(ೣబశబ,ఱ೓).௖௢௦(௫బା଴,ହ௛) ௎ഥ భ ) = 0,891524 ଶ (ܷଵ − ௘ೣభ.௖௢௦௫భ +) ܷഥଶ = ܷଵ + ௛ ௎భ ) = 0,859038  ܷଶ = ܷଵ + ℎ(ܷഥଶ − ௘(ೣభశబ,ఱ೓).௖௢௦(௫భା଴,ହ௛) ௎ഥ మ ) = 0,813037 ଶ (ܷଶ − ௘ೣమ.௖௢௦௫మ +) ܷഥଷ = ܷଶ + ௛ ௎మ ) = 0,764708  ܷଷ = ܷଶ + ℎ(ܷഥଷ − ௘(ೣమశబ,ఱ೓).ୡ୭ୱ (௫మା଴,ହ௛) ௎ഥ య ) = 0,696278 Vậy nghiệm gần đúng cần tìm là: U3= α= 0,696278


【#10】Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Fem

Nghiên cứu hoặc phân tích hiện tượng với FEM thường được gọi là phân tích phần tử hữu hạn (FEA).

1.1/ Lịch sử ra đời và phát triển

Phương pháp phần tử hữu hạn bắt nguồn từ sự cần thiết phải giải quyết các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không. Nó được bắt đầu và phát triển bởi A. Hrennikoff vào đầu những năm 1940. Một nhà tiên phong khác là Ioannis Argyris. Ở Liên Xô, sự ra đời của ứng dụng thực tế của phương pháp này thường được nhắc đến với tên của Leonard Oganesyan. [6] Ở Trung Quốc, vào những năm 1950 và đầu những năm 1960, dựa trên tính toán các công trình đập, K. Feng đã đề xuất một phương pháp số có hệ thống để giải các phương trình vi phân từng phần. Phương pháp này được gọi là phương pháp sai phân hữu hạn dựa trên nguyên tắc biến đổi, đó là một phát minh độc lập khác của phương pháp phần tử hữu hạn. Mặc dù các phương pháp tiếp cận được sử dụng bởi những người tiên phong này là khác nhau, họ đều có chung một quan điểm: chia lưới của một miền liên tục thành một tập hợp các tên miền con rời rạc, thường được gọi là các phần tử.

Hrennikoff rời rạc hóa miền liên tục bằng cách sử dụng lưới tương tự, trong khi Courant chia lưới tam giác cho cách giải thứ hai của phương trình vi phân từng phần (PDEs) nó được phát sinh từ bài toán xoắn của một hình trụ. Đóng góp của Courant là là một bước tiến, từ kết quả trước đó cho các PDE được phát triên bởi Rayleigh, Ritz và Galerkin.

Một loạt các chuyên ngành thuộc lĩnh vực kĩ thuật cơ khí (như ngành hàng hông, cơ khí, ô tô,..) thường sử dụng FEM tích hợp trong thiết kế và phát triển sản phẩm. Một số phần mềm FEM hiện đại bao gồm các thành phần cụ thể như môi trường làm việc nhiệt, điện từ, chất lỏng và cấu trúc. Trong một mô phỏng cấu trúc, FEM giúp rất nhiều trong việc tạo ra độ cứng và ứng suất và cũng như trong việc giảm thiểu trọng lượng, vật liệu và chi phí.

FEM đã cải thiện đáng kể các tiêu chuẩn thiết kế kĩ thuật và phương pháp, quá trình thiết kế trong nhiều ứng dụng của công nghiệp. Làm giảm đáng kể thời gian để đưa một sản phẩm từ khái niệm vào sản xuất. Tóm lại lợi ích khi sử dụng FEM gồm độ chính xác cao, hiểu rõ các thông số thiết kế quan trọng, tạo mẫu ảo, ít tốn phần cứng, chu trình thiết kế nhanh hơn, ít tốn kém hơn, tăng năng suất và doanh thu.

Chia nhỏ những miền liên tục thành những miền con rời rạc có một số ưu điểm:

  • Biểu diễn chính xác hình học phức tạp
  • Bao hàm các thuộc tính vật liệu không giống nhau
  • Dễ dàng biểu diễn giải pháp cụ thể
  • Ghi lại phản ứng cục bộ

Một công việc điển hình trong phương pháp này bao gồm phân chia miền của vấn đề thành một tập hợp các tên miền phụ, với mỗi tên miền phụ được biểu diễn bằng một tập hợp các phương trình phần tử cho bài toán gốc, sau đó (2) hệ thống kết hợp lại tất cả các phương trình phần tử vào một hệ phương trình tuyến tính cho phép tính cuối cùng. Hệ phương trình tuyến tính đã biết cách giải, và có thể được tính toán từ các giá trị ban đầu của bài toán gốc để có được một câu trả lời bằng số.

Trong bước đầu tiên ở trên, các phương trình phần tử là các phương trình đơn giản mà xấp xỉ so với phương trình phức tạp ban đầu được nghiên cứu, trong đó các phương trình ban đầu thường là phương trình vi phân từng phần (PDE). Để giải thích sự xấp xỉ đó, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) thường được giới thiệu như một trường hợp đặc biệt của phương pháp Galerkin. Quá trình này trong ngôn ngữ toán học là để xây dựng một tích phân của tích số bên trong của số dư và hàm trọng số và thiết lập tích phân bằng 0. Nói một cách đơn giản, nó là một phương pháp giảm thiểu sai số xấp xỉ bằng cách gắn các hàm thử nghiệm vào PDE. Phần còn lại là lỗi do các hàm thử nghiệm gây ra, và các hàm trọng số là các hàm xấp xỉ đa thức dự tính số dư. Quá trình loại bỏ tất cả các dẫn xuất không gian từ PDE, do đó xấp xỉ PDE cục bộ với:

  • Một tập hợp các phương trình đại số cho các vấn đề trạng thái ổn định
  • Một tập hợp các phương trình vi phân thông thường cho các vấn đề nhất thời

Các phương trình này là các phương trình phần tử. Chúng là tuyến tính nếu PDE cơ bản là tuyến tính và ngược lại. Các phương trình đại số phát sinh trong các bài toán trạng thái ổn định được giải bằng phương pháp đại số tuyến tính số, trong khi các phương trình vi phân thường phát sinh trong các vấn đề tạm thời được giải quyết bằng tích phân số bằng các kỹ thuật tiêu chuẩn như phương pháp Euler hoặc phương pháp Runge-Kutta.

FEM được hiểu rõ nhất từ ứng dụng thực tế của nó, được gọi là phân tích phần tử hữu hạn (FEA). FEA được áp dụng trong kỹ thuật như là một công cụ tính toán để thực hiện phân tích kỹ thuật. Nó bao gồm việc sử dụng kỹ thuật tạo lưới để phân chia một miền phức tạp thành các phần tử nhỏ, cũng như việc sử dụng chương trình phần mềm được mã hóa bằng thuật toán FEM. Khi áp dụng FEA, vấn đề phức tạp thường là một hệ vật lý với cơ sở dựa vào phương trình chùm Euler-Bernoulli, phương trình nhiệt, hoặc phương trình Navier-Stokes thể hiện trong cả hai phương trình tích phân hoặc PDE, trong khi chia nhỏ phần tử của vấn đề phức tạp đại diện cho các khu vực khác nhau trong hệ thống vật lý.

FEM là lựa chọn tốt để phân tích các bài toán trên các miền phức tạp (như ô tô, đường ống dẫn dầu,…), khi miền thay đổi (như trong một phản ứng trạng thái với biên thay đổi), khi độ chính xác kì vọng thay đổi trên toàn bộ miền hoặc khi giải pháp thiếu độ mịn. Mô phỏng FEA cung cấp một nguồn tài nguyên có giá trị khi chúng loại bỏ trường hợp tạo và thử nghiệm các mẫu thử cứng cho các tình huống độ trung thực cao khác nhau. Ví dụ, trong một mô phỏng tai nạn ở phía trước có thể tăng độ chính xác dự đoán trong các khu vực “quan trọng” như mặt trước của xe và giảm nó ở phía sau của nó (do đó làm giảm chi phí của mô phỏng). Một ví dụ khác là ứng dụng trong dự báo thời tiết, nơi quan trọng hơn để có những dự đoán chính xác về việc phát triển các hiện tượng phi tuyến cao (chẳng hạn như lốc xoáy nhiệt đới trong khí quyển, hoặc xoáy trong đại dương) thay vì các khu vực tương đối yên tĩnh.

4.1/ Cấu trúc của các phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số cho lời giải xấp xỉ của các bài toán trong toán học, tức là thường được phát biểu một cách có hệ thống để nêu chính xác tình trạng của một số khía cạnh trong thực tế của vật lý.

Một phương pháp phần tử hữu hạn được đặc trưng bởi một công thức biến đổi, một sự rời rạc hóa, hoặc nhiều thuật toán giải pháp và các quy trình hậu xử lý.

Ví dụ cho công thức biến đổi là phương pháp Galerkin, phương pháp Galerkin gián đoạn, phương pháp hỗn hợp, …

Sự rời rạc hóa được định nghĩa gồm một tập hợp các bước được xác định rõ ràng gồm:

  • Tạo ra các phần tử hữu hạn
  • Định nghĩa hàm cơ sở trên các phần tử tham chiếu (hàm hình dạng)
  • Ánh xạ tham chiếu các phần tử lên lưới

Ví dụ về sự rời rạc hóa là h-version, p-version, hp-version, x-FEM, phân tích đẳng hình học,…Mỗi phương pháp rời rạc hóa đều có một số thuận lợi và bất lợi. Tiêu chuẩn hợp lí trong việc lựa chọn phương pháp rời rạc hóa là để đạt được hiệu suất tối ưu cho tập hợp rộng nhất của các mô hình trong một mô hình cụ thể.

Có hai loại thuật toán giải pháp rộng:

Các thuật toán này được thiết kế để khai thác ma trận thưa phụ thuộc vào sự lựa chọn của công thức biến đổi và sự rời rạc hóa.

Thủ tục sau xử ký được thiết kế để trích xuất dữ liệu cần thiết từ giải pháp phần tử hữu hạn, Để đáp ứng yêu cầu của việc xác minh sự chính xác của giải pháp, các nhà xử lý cần phải cung cấp một ước lỗi chuẩn về mặt vấn đề đang được quan tâm. Khi các lỗi xấp xỉ lớn hơn những gì được coi là chấp nhận được thì việc lọc phải được thay đổi bằng quy trình thích nghi tự động hoặc theo ý của nhà phân tích. Có một số bộ xử lý rất hiệu quả cung cấp cho phương pháp siêu hội tụ.

4.2/ Các vấn đề minh họa P1 và P2

Minh họa việc sử dụng PPPTHH từ hai ví dụ mà phương pháp chung có thể là ngoại suy. Xem như người đọc đã quen thuộc với đại số tuyến tính:

1 là bài toán một chiều

2 là bài toán hai chiều

Miền Ω là một miền đơn liên mở trong mặt phẳng (x,y), có biên ∂Ω rất “đẹp” (ví dụ: một đa tạp trơn hoặc một đa giác), {displaystyle u_{xx}}u xx và u yy {displaystyle u_{yy}} là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x và y.

Ở ví dụ P1, có thể giải trực tiếp bằng cách lấy nguyên hàm. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ thực hiện được trong không gian một chiều và không thể giải được trong không gian có hơn hai chiều hoặc trong bài toán u + u” = f. Chính vì lý do này mà chúng ta sẽ phát triển phát triển FEM cho trường hợp P1 và phác họa tổng quát của FEM cho trường hợp P2.

Lời giải gồm hai bước, nó phản ánh hai bước chủ yếu phải thực hiện để giải một bài toán biên bằng FEM. Ở bước đầu tiên, chúng ta sẽ biểu diễn lại bài toán biên trong dạng gần đúng của nó hoặc dạng biến phân. Rất ít hoặc không có máy tính được dùng để thực hiện bước này, việc này được làm bằng tay ở trên giấy. Bước thứ hai là rời rạc hóa, dạng gần đúng được rời rạc trong một không gian hữu hạn chiều. Sau bước thứ hai này, chúng ta sẽ có biểu thức cụ thể cho toàn bộ bài toán nhưng lời giải của bài toán trong không gian hữu hạn chiều tuyến tính chỉ là lời giải gần đúng của bài toán biên. Bài toán trong không gian hữu hạn chiều này sau đó được giải bằng máy tính.

Bước đầu tiên là chuyển đổi P1 và P2 thành công thức yếu tương đương của chúng.

Nếu u giải P 1 thì đối với bất kỳ hàm trơn v nào thỏa mãn điều kiện chuyển vị, v=0 khi x=0 và x=1, ta có:

Ngược lại, nếu u với u(0)=u(1)=0 thì thỏa mãn (1) cho hàm trơn v(x) sau đó ta có thể thấy là u sẽ giải được P1. Thử dễ dàng hơn đối với hai lần hàm khả vi u (định lí giá trị trung bình), nhưng cũng có thể được chứng minh theo phương phân bố.

Định nghĩa một hàm mới bằng cách sử dụng tích hợp theo các phần ở bên tay phải của (1):

Với v(0)=v(1)=0

Nếu lấy tích phân từng phần bằng công thức Green, ta có thể giải được P2 bằng u, nếu định nghĩa cho bất kỳ v

Trong đó, được định nghĩa là gradient và “.” là dấu chấm trong mặt phẳng hai chiều. Một lần nữa có thể quay về làm tích số trên không gian thích hợp của hàm vi phân một lần của bằng không trên . Chúng ta giả định rằng . Biển diễn được sự tồn tại và tính duy nhất của giải pháp,

P1 và P2 đã sẵn sàng để được cụ thể hóa, dẫn đến một bài toán phụ phổ biến (3). Ý tưởng cơ bản là thay thế bài toán tuyến tính:

Tìm sao cho

Với một phiên bản hữu hạn chiều:

Tìm sao cho

trong đó V là một không gian con hữu hạn chiều của . Có nhiều sự lựa chọn có thể cho V (một khả năng dẫn đến phương pháp quang phổ). Tuy nhiên, đối với phương thức phần tử hữu hạn, chúng ta lấy V để là một không gian của các hàm đa thức từng phần.

Lấy khoảng(0,1), chọn giá trị n của x với: và định nghĩa V bằng: v liên tục, là tuyến tính, cho k=0,…n,a

Trong đó, ta định nghĩa x 0=0 và x n+1=1. QUan sát các hàm trong V không khác biệt theo định nghĩa cơ bản của phép tính. Thật vậy, nếu thì đạo hàm không được xác định tại bất kì điểm nào ngoài x=x k, k=1,…n. Tuy nhiên, đạo hàm tồn tại ở mọi giá trị khác của x và có thể sử dụng đạo hàm này cho mục đích tích phân theo từng phần.

Chúng ta cần V là một tập các hàm của . Trong hình bên phải, chúng tôi đã minh họa một hình tam giác của một vùng đa giác 15 trong mặt phẳng (bên dưới), và một hàm tuyến tính từng mẩu (trên, màu) của đa giác này là tuyến tính trên mỗi tam giác của phép đạc tam giác; không gian V sẽ bao gồm các hàm tuyến tính trên mỗi tam giác của phép đạc tam giác đã chọn.

Để hoàn thành việc rời rạc hóa, chúng ta phải chọn một cơ sở của V. Trong trường hợp một chiều, cho mỗi điểm kiểm soát x k, chúng tôi sẽ chọn hàm tuyến tính từng phần v k trong V của giá trị 1 tại x k và 0 tại mọi x j, j khác k

Cho k=1,…n; cơ sở này là một hàm tăng. Đối với trường hợp hai chiều, chọn lại một hàm cơ sở v k trên mỗi đỉnh x k của tam giác hai chiều . Hàm v k là hàm đơn giản của V có giá trị là 1 tại x k và 0 tại mỗi x j,j khác k.

Tùy thuộc vào người dùng, từ “phần tử” trong “phương thức phần tử hữu hạn” đề cập đến các tam giác trong miền, hàm cơ bản tuyến tính từng phần hoặc cả hai. Vì vậy, ví dụ, một người dùng quan tâm đến các lĩnh vực mặt cong có thể thay thế các hình tam giác bằng hình tròn, và do đó có thể mô tả các yếu tố như là curvilinear. Mặt khác, một số tác giả thay thế “tuyến tính từng phần ” bằng “bậc hai từng phần” hoặc thậm chí “đa thức từng phần”. Người dùng sau đó có thể nói “phần tử bậc cao hơn” thay vì “đa thức bậc cao”. Phương thức phần tử hữu hạn không bị giới hạn trong tam giác (hoặc tứ diện trong 3-d, hoặc đơn vị bậc cao hơn trong không gian đa chiều), nhưng có thể được định nghĩa trên các tên miền phụ tứ giác (lục giác, lăng kính, hoặc kim tự tháp trong 3-d, vv). Các hình dạng bậc cao hơn (các phần tử đường cong) có thể được xác định bằng các hình đa thức và thậm chí không đa thức (ví dụ như hình elip hoặc hình tròn).

Ví dụ về các phương pháp sử dụng các hàm cơ sở đa thức bậc cao hơn là hp-FEM và spectral FEM.

Các triển khai nâng cao hơn (phương pháp phần tử hữu hạn thích nghi) sử dụng một phương pháp để đánh giá chất lượng của các kết quả (dựa trên lý thuyết ước lượng lỗi) và sửa đổi lưới trong giải pháp nhằm đạt được giải pháp gần đúng trong một số giới hạn từ giải pháp ‘chính xác’ vấn đề. Lưới thích ứng có thể sử dụng các kỹ thuật khác nhau, phổ biến nhất là:

  • Các nút chuyển động (r-adaptivity)
  • Tinh chế (và không tinh chế) các phần tử (h-adaptivity)
  • Thay đổi thứ tự của các hàm cơ sở (p-adaptivity)
  • Sự kết hợp của các tính năng trên (hp-adaptivity).

Ưu điểm chính của sự lựa chọn cơ sở này là các tích bên trong

Biểu mẫu của bài toán ma trận

Nếu ta viết và khi đó bài toán biết v(x)=v j(x) cho j=1,…,n trở thành cho j=1,…,n. Nếu chúng ta biểu diễn bằng u và f là các vector cột (u 1,…u n) t và (f 1,…,f n) t và nếu ta cho L=(L ij) và M=(M ij) là ma trận có mục: và . Sau đó: -Lu=Mf. Nó không thực sự cần thiết để cho rằng . Đối với hàm tổng quát f(x) của bài toán với v(x)=v j(x) với j=1,…,n, trở nên đơn giản hơn vì không cần sử dụng ma trận M: -Lu=b với b=(b 1,…,b n) t và , j=1,…,n.

Các ma trận này được gọi là ma trận thưa, và có các cách giải hiệu quả cho các bài toán như vậy (hiệu quả hơn nhiều so với nghịch đảo ma trận.) Ngoài ra, L là đối xứng và xác định dương, do đó, một phương pháp như phương pháp gradient liên hợp được ưa chuộng. Đối với các bài toán không quá lớn, LU decompositions và Cholesky decompositions vẫn hoạt động tốt. Ví dụ, toán tử dấu gạch chéo ngược của MATLAB (trong đó sử dụng LU decompositions và Cholesky decompositions, và các phương pháp hệ số hóa khác) có thể đủ cho các mắt lưới với một trăm nghìn đỉnh.

Ma trận L thường được gọi là ma trận độ cứng, trong khi ma trận M được gọi là ma trận khối lượng.

Dạng chung của phương pháp phần tử hữu hạn

Nói chung , phương pháp phần tử hữu hạn được đặc trưng bằng hai bước sau:

+ Chọn một dạng lưới cho . Lưới bao gồm hình tam giác, nhưng cũng có thể sử dụng hình vuông hoặc đa giác cong.

Một vấn đề khác là sự mịn khi chia lưới của hàm cơ sở đa thức. Đối với bài toán về giá trị biên của eliptic bậc hai, hàm cơ sở đa thức chỉ đơn thuần là đáp ứng vừa đủ (tức là các đạo hàm không liên tục).Với phương trình vi phân từng phần bậc hai, cần phải sử dụng một hàm cơ sở mịn hơn. Ví dụ cho một bài toán khác như u xxxx+u yyyy=f, có thể sử dụng hàm cơ sở bậc hai là C 1.

5/ Các loại phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử ứng dụng(AEM) kết hợp các tính năng của cả FEM và phướng pháp rời rạc hóa phần tử(DEM).

Phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát(GFEM) sử dụng không gian quỹ tích gồm có của hàm số, không cần thiết sử dụng đa thức, do đó phản ánh thông tin có sẵn về giải pháp chưa biết do đó đảm bảo xấp xỉ cục bộ tốt. Sau đó một bộ phận miền được sử dụng để lien kết các không gian này với nhau tạo thành khoogn gian con gần đúng. Hiệu quả của GFEM đã được thể hiện khi áp dụng cho các bài toán có đường biên phức tạp, các bài toán với quy mô nhỏ và các bài toán với các lớp ranh giới.

5.3/ Phương pháp phần tử hữu hạn hỗn hợp

Phương pháp phần tử hữu hạn hỗn hợp là một loại phương pháp phần tử hữu hạn trong đó các biến phụ độc lập được thêm vào dưới dạng các biến nút trong quá trình giải bài toán của một phương trình vi phân từng phần.

Phương pháp hp-FEM kết hợp linh động các phần tử với kích thước biến số h và bậc của đa thức p để đạt được tốc độ hội tụ theo cấp số mũ cực kì nhanh.

Phương pháp hpk-FEM kết hợp linh động, các phần tử có kích thước biến số h, bậc đa thức của các xấp xỉ cục bộ p và tính đa dạng toàn cục của các xấp xỉ cục bộ (k-1) để đạt được tốc độ hội tụ tốt nhất

Một số nghiên cứu thực hiện kỹ thuật này với các mức độ khác nhau: GetFEM++2, xfem++3 và open fem ++

XFEM cũng đã được thực hiện trong các chương trình như Altair Radioss, ASTER, Morfeo và Abaqus. Nó ngày càng được chấp nhận bởi các phần tử phần tử hữu hạn thương mại khác, với một vài bổ sung và các triển khai lõi thực tế có sẵn ( ANSYS, SAMCEF, OOFELIE, vv).

5.7/ Phương pháp phần tử hữu hạn tỷ lệ đường biên ( SBFEM )

Ra đời bởi Song và Wolf vào năm 1997. Là một trong những đóng góp có tác dụng to lớn trong lĩnh vực phân tích số liệu của cơ học phá hủy. Nó là một phương pháp tích phân cơ bản, có giải pháp kết hợp các ưu điểm của cả các công thức và quy trình phần tử hữu hạn, và sự rời rạc hóa. Tuy nhiên nó không yêu cầu lời giải vi phân cơ bản.

Phương pháp phần tử hữu hạn S-FEM, Smoothed, là một lớp cụ thể của các thuật toán mô phỏng số để mô phỏng các hiện tượng vật lý. Nó được phát triển bằng cách kết hợp các phương thức chia lưới tự do với phương thức phần tử hữu hạn.

5.9/ Phương pháp phần tử quang phổ ( SEM )

Phương pháp phần tử quang phổ kết hợp tính linh hoạt hình học của các phần tử hữu hạn và độ chính xác cấp tính của các phương pháp phổ. Phương pháp quang phổ là giải pháp gần đúng của các phương trình từng phần yếu hình thành dựa trên nội suy bậc cao Lagragian và chỉ được sử dụng với các quy tắc bậc hai nhất định.

5.10/ Liên kết với phương pháp discretisation gradient

Một số loại phương pháp phần tử hữu hạn (phù hợp, không phù hợp, các phương thức phần tử hữu hạn hỗn hợp) là các trường hợp cụ thể của phương thức giải phóng gradient (GDM). Do đó các đặc tính hội tụ của GDM, được thiết lập cho một loạt các vấn đề (các vấn đề elliptic tuyến tính và phi tuyến tính, các vấn đề parabolic tuyến tính, phi tuyến và thoái hóa), giữ cho các phương pháp phần tử hữu hạn đặc biệt này.

5.11/ So sánh với phương pháp sai phân hữu hạn:

Phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) là một cách thay thế xấp xỉ các giải pháp của PDE. Sự khác biệt giữa FEM và FDM là:

+ Tính năng hấp dẫn nhất của FEM là khả năng xử lý hình học phức tạp (và biên) một cách dễ dàng. Trong khi đó FDM căn bản chỉ áp dụng được trong các hình chữ nhật đơn giản, việc xử lý các bài toán hình học trong FEM về mặt lý thuyết là đơn giản hơn.

+ FDM thường không được sử dụng cho hình học CAD không thường xuyên nhưng thường là các mô hình hình chữ nhật hoặc mô hình khối.

+ FDM rất dễ làm

+ Có thể xem FDM là một trường hợp gần đúng của FEM. Những bước đầu tiên của FDM giống hệt FEM với phương trình Poisson, nếu bài toán rời rạc hóa bằng lưới hình chữ nhật với mỗi hình chữ nhật chia thành hai tam giác.

+ Có nhiều lý do để xem xét nền tảng toán học của phần tử hữu hạn xấp xỉ hợp lí nhiều hơn, ví dụ, bởi vì chất lượng của xấp xỉ giữa các điểm lưới là kém trong FDM.

+ Chất lượng của một FEM xấp xỉ thường cao hơn so với FDM xấp xỉ tương ứng, nhưng điều này lại phụ thuộc vào số hạng đầu của bài toán và một số trường hợp cho kết quả ngược lại.

Nói chung, FEM là phương pháp được lựa chọn trong tất cả các loại phân tích trong cơ học kết cấu (ví dụ giải quyết biến dạng và ứng suất trong vật rắn hoặc động lực học cấu trúc) trong khi động lực học chất lỏng (CFD) có xu hướng sử dụng FDM hoặc các phương pháp khác như phương pháp khối lượng hữu hạn ( FVM). Các vấn đề CFD thường đòi hỏi phải giải bài toán thành một số lượng lớn các ô / điểm lưới (hàng triệu lần trở lên), do đó chi phí của giải pháp ưu tiên đơn giản hơn, xấp xỉ bậc thấp hơn trong mỗi ô. Điều này đặc biệt đúng đối với các vấn đề ‘lưu lượng bên ngoài’, như luồng không khí xung quanh xe hơi hoặc máy bay, hoặc mô phỏng thời tiết.


Bạn đang xem chủ đề Phương Pháp Euler trên website Cuocthitainang2010.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!