Top 15 # Xem Nhiều Nhất Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Lê Minh Quý / 2023 Mới Nhất 11/2022 # Top Like | Cuocthitainang2010.com

Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn / 2023

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân riêng phần cùng với các điều kiện biên cụ thể.

Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài toán. Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con (phần tử). Các miền này được liên kết với nhau tại các điểm nút. Trên miền con này, dạng biến phân tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoả mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử.

Về mặt toán học, phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) được sử dụng để giải gần đúng bài toán phương trình vi phân từng phần (PTVPTP) và phương trình tích phân, ví dụ như phương trình truyền nhiệt. Lời giải gần đúng được đưa ra dựa trên việc loại bỏ phương trình vi phân một cách hoàn toàn (những vấn đề về trạng thái ổn định), hoặc chuyển PTVPTP sang một phương trình vi phân thường tương đương mà sau đó được giải bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, vân vân.

PPPTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định V của nó mà chỉ trong những miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định của hàm.Trong PPPTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi là phần tử. Các miền này liên kết với nhau tại các điểm định trước trên biên của phần tử được gọi là nút. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.

Trong việc giải phương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là tạo ra một phương trình xấp xỉ với phương trình cần được nghiên cứu, nhưng đó là ổn định số học (numerically stable), nghĩa là những lỗi trong việc nhập dữ liệu và tính toán trung gian không chồng chất và làm cho kết quả xuất ra xuất ra trở nên vô nghĩa. Có rất nhiều cách để làm việc này, tất cả đều có những ưu điểm và nhược điểm. PPPTHH là sự lựa chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp (giống như những chiếc xe và những đường ống dẫn dầu) hoặc khi những yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong toàn miền. Ví dụ, trong việc mô phỏng thời tiết trên Trái Đất, việc dự báo chính xác thời tiết trên đất liền quan trọng hơn là dự báo thời tiết cho vùng biển rộng, điều này có thể thực hiện được bằng việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.

Phương pháp Phần tử hữu hạn thường được dùng trong các bài toán Cơ học (cơ học kết cấu, cơ học môi trường liên tục) để xác định trường ứng suất và biến dạng của vật thể.

Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn cũng được dùng trong vật lý học để giải các phương trình sóng, như trong vật lý plasma, các bài toán về truyền nhiệt, động lực học chất lỏng, trường điện từ.

Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không. Nó được bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942). Mặc dù hướng tiếp cận của những người đi tiên phong là khác nhau nhưng họ đều có một quan điểm chung, đó là chia những miền liên tục thành những miền con rời rạc. Hrennikoff rời rạc những miền liên tục bằng cách sử dụng lưới tương tự, trong khi Courant chia những miền liên tục thành những miền có hình tam giác cho cách giải thứ hai của phương trình vi phân từng phần elliptic, xuất hiện từ các bài toán về xoắn của phần tử thanh hình trụ. Sự đóng góp của Courant là phát triển, thu hút một số người nhanh chóng đưa ra kết quả cho PPVPTP elliptic được phát triển bởi Rayleigh, Ritz, và Galerkin. Sự phát triển chính thức của PPPTHH được bắt đầu vào nửa sau những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng, và đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley (xem Early Finite Element Research at Berkeley) trong những năm 1960 trong ngành xây dựng. Phương pháp này được cung cấp nền tảng toán học chặt chẽ vào năm 1973 với việc xuất bản cuốn Strang và tổng kết trong An Analysis of The Finite element Method và kể từ đó PPPTHH được tổng quát hóa thành một ngành của toán ứng dụng, một mô hình số học cho các hệ thống tự nhiên, được ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật, ví dụ như điện từ học và động lực học chất lỏng.

Sự phát triển của PPPTHH trong cơ học kết cấu đặt cơ sở cho nguyên lý năng lượng, ví dụ như: nguyên lý công khả dĩ, PPPTHH cung cấp một cơ sở tổng quát mang tính trực quan theo quy luật tự nhiên, đó là một yêu cầu lớn đối với những kỹ sư kết cấu.

Ví dụ cho bài toán hai chiều là bài toán Dirichlet

Ở đây, miền Ω là một miền đơn liên mở trong mặt phẳng (x,y), có biên ∂Ω rất “đẹp” (ví dụ: một đa tạp trơn hoặc một đa giác), uxx và uyy là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x và y.

Ở ví dụ P1, có thể giải trực tiếp bằng cách lấy nguyên hàm. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ thực hiện được trong không gian một chiều và không thể giải được trong trường hợp không gian có hơn hai chiều hoặc trong bài toán u + u” = f. Chính vì lí do này mà chúng ta sẽ phát triển phát triển PPPTHH cho trường hợp P1 và phác họa tổng quát của PPPTHH cho trường hợp P2.

Lời giải sẽ bao gồm hai bước, nó phản ánh hai bước chủ yếu phải thực hiện để giải một bài toán biên bằng PPPTHH. Ở bước đầu tiên, chúng ta sẽ biểu diễn lại bài toán biên trong dạng gần đúng của nó hoặc dạng biến phân. Rất it hoặc không có máy tính được dùng để thực hiện bước này, việc này được làm bằng tay ở trên giấy. Bước thứ hai là rời rạc hóa, dạng gần đúng được rời rạc trong một không gian hữu hạn chiều. Sau bước thứ hai này, chúng ta sẽ có biểu thức cụ thể cho toàn bộ bài toán nhưng lời giải của bài toán trong không gian hữu hạn chiều tuyến tính chỉ là lời giải gần đúng của bài toán biên. Bài toán trong không gian hữu hạn chiều này sau đó được giải bằng máy tính.

PPSPHH là một phương pháp khác để giải phương trình vi phân từng phần. Sự khác nhau giữa PPPTHH và PPSPHH là:

PPSPHH xấp xỉ bài toán phương trình vi phân; còn PPPTHH thì xấp xỉ lời giải của bài toán này

Điểm đặc trưng nhất của PPPTHH là nó có khả năng áp dụng cho những bài toán hình học và những bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc. Trong khi đó PPSPHH về căn bản chỉ áp dụng được trong dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản, việc vận dụng kiến thức hình học trong PPPTHH là đơn giản về lý thuyết.

Điểm đặc trưng của phương pháp sai phân hữu hạn là có thể dễ dàng thực hiện được.

Trong một vài trường hợp, PPSPHH có thể xem như là một tập con của PPPTHH xấp xỉ. Việc lựa chọn hàm cơ sở là hàm không đổi từng phần hoặc là hàm delta Dirac. Trong cả hai phương pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ được tiến hành trên toàn miền, nhưng miền đó không cần liên tục. Như một sự lựa chọn, nó có thể xác định một hàm trên một miền rời rạc, với kết quả là toán tử vi phân liên tục không sinh ra chiều dài hơn, tuy nhiên việc xấp xỉ này không phải là PPPTHH.

Có những lập luận để lưu ý đến cơ sở toán học của việc xấp xỉ phần tử hữu hạn trở lên đúng đắn hơn, ví dụ, bởi vì trong PPSPHH đặc điểm của việc xấp xỉ những điểm lưới còn hạn chế.

Kết quả của việc xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSPHH, nhưng điều này còn phụ thuộc vào nhiều vấn đề khác và một số trường hợp đã cho kết quả trái ngược.

Nói chung, PPPTHH là một phương pháp thích hợp để phân tích các bài toán về kết cấu (giải các bài toán về biến dạng và ứng suất của vật thể dạng khối hoặc động lực học kết cấu), trong khi đó phương pháp tính trong động lực học chất lỏng có khuynh hướng sử dụng PPSPHH hoặc những phương pháp khác (như phương pháp khối lượng hữu hạn).Những bài toán của động lực học chất lỏng thường yêu cầu phải rời rạc hóa bài toán thành một số lượng lớn những “ô vuông” hoặc những điểm lưới (hàng triệu hoặc hơn), vì vậy mà nó đòi hỏi cách giải phải đơn giản hơn để xấp xỉ các “ô vuông”. Điều này đặc biệt đúng cho các bài toán về dòng chảy ngoài, giống như dòng không khí bao quanh xe hơi hoặc máy bay, hoặc việc mô phỏng thời tiết ở một vùng rộng lớn. Có rất nhiều bộ phần mềm về phương pháp phần tử hữu hạn, một số miễn phí và một số được bán.

Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Fem / 2023

Nghiên cứu hoặc phân tích hiện tượng với FEM thường được gọi là phân tích phần tử hữu hạn (FEA).

1.1/ Lịch sử ra đời và phát triển

Phương pháp phần tử hữu hạn bắt nguồn từ sự cần thiết phải giải quyết các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không. Nó được bắt đầu và phát triển bởi A. Hrennikoff [4] và R. Courant [5] vào đầu những năm 1940. Một nhà tiên phong khác là Ioannis Argyris. Ở Liên Xô, sự ra đời của ứng dụng thực tế của phương pháp này thường được nhắc đến với tên của Leonard Oganesyan. [6] Ở Trung Quốc, vào những năm 1950 và đầu những năm 1960, dựa trên tính toán các công trình đập, K. Feng đã đề xuất một phương pháp số có hệ thống để giải các phương trình vi phân từng phần. Phương pháp này được gọi là phương pháp sai phân hữu hạn dựa trên nguyên tắc biến đổi, đó là một phát minh độc lập khác của phương pháp phần tử hữu hạn. Mặc dù các phương pháp tiếp cận được sử dụng bởi những người tiên phong này là khác nhau, họ đều có chung một quan điểm: chia lưới của một miền liên tục thành một tập hợp các tên miền con rời rạc, thường được gọi là các phần tử.

Hrennikoff rời rạc hóa miền liên tục bằng cách sử dụng lưới tương tự, trong khi Courant chia lưới tam giác cho cách giải thứ hai của phương trình vi phân từng phần (PDEs) nó được phát sinh từ bài toán xoắn của một hình trụ. Đóng góp của Courant là là một bước tiến, từ kết quả trước đó cho các PDE được phát triên bởi Rayleigh, Ritz và Galerkin.

Một loạt các chuyên ngành thuộc lĩnh vực kĩ thuật cơ khí (như ngành hàng hông, cơ khí, ô tô,..) thường sử dụng FEM tích hợp trong thiết kế và phát triển sản phẩm. Một số phần mềm FEM hiện đại bao gồm các thành phần cụ thể như môi trường làm việc nhiệt, điện từ, chất lỏng và cấu trúc. Trong một mô phỏng cấu trúc, FEM giúp rất nhiều trong việc tạo ra độ cứng và ứng suất và cũng như trong việc giảm thiểu trọng lượng, vật liệu và chi phí.

FEM đã cải thiện đáng kể các tiêu chuẩn thiết kế kĩ thuật và phương pháp, quá trình thiết kế trong nhiều ứng dụng của công nghiệp. Làm giảm đáng kể thời gian để đưa một sản phẩm từ khái niệm vào sản xuất. Tóm lại lợi ích khi sử dụng FEM gồm độ chính xác cao, hiểu rõ các thông số thiết kế quan trọng, tạo mẫu ảo, ít tốn phần cứng, chu trình thiết kế nhanh hơn, ít tốn kém hơn, tăng năng suất và doanh thu.

Chia nhỏ những miền liên tục thành những miền con rời rạc có một số ưu điểm:

Biểu diễn chính xác hình học phức tạp

Bao hàm các thuộc tính vật liệu không giống nhau

Dễ dàng biểu diễn giải pháp cụ thể

Ghi lại phản ứng cục bộ

Một công việc điển hình trong phương pháp này bao gồm phân chia miền của vấn đề thành một tập hợp các tên miền phụ, với mỗi tên miền phụ được biểu diễn bằng một tập hợp các phương trình phần tử cho bài toán gốc, sau đó (2) hệ thống kết hợp lại tất cả các phương trình phần tử vào một hệ phương trình tuyến tính cho phép tính cuối cùng. Hệ phương trình tuyến tính đã biết cách giải, và có thể được tính toán từ các giá trị ban đầu của bài toán gốc để có được một câu trả lời bằng số.

Trong bước đầu tiên ở trên, các phương trình phần tử là các phương trình đơn giản mà xấp xỉ so với phương trình phức tạp ban đầu được nghiên cứu, trong đó các phương trình ban đầu thường là phương trình vi phân từng phần (PDE). Để giải thích sự xấp xỉ đó, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) thường được giới thiệu như một trường hợp đặc biệt của phương pháp Galerkin. Quá trình này trong ngôn ngữ toán học là để xây dựng một tích phân của tích số bên trong của số dư và hàm trọng số và thiết lập tích phân bằng 0. Nói một cách đơn giản, nó là một phương pháp giảm thiểu sai số xấp xỉ bằng cách gắn các hàm thử nghiệm vào PDE. Phần còn lại là lỗi do các hàm thử nghiệm gây ra, và các hàm trọng số là các hàm xấp xỉ đa thức dự tính số dư. Quá trình loại bỏ tất cả các dẫn xuất không gian từ PDE, do đó xấp xỉ PDE cục bộ với:

Một tập hợp các phương trình đại số cho các vấn đề trạng thái ổn định

Một tập hợp các phương trình vi phân thông thường cho các vấn đề nhất thời

Các phương trình này là các phương trình phần tử. Chúng là tuyến tính nếu PDE cơ bản là tuyến tính và ngược lại. Các phương trình đại số phát sinh trong các bài toán trạng thái ổn định được giải bằng phương pháp đại số tuyến tính số, trong khi các phương trình vi phân thường phát sinh trong các vấn đề tạm thời được giải quyết bằng tích phân số bằng các kỹ thuật tiêu chuẩn như phương pháp Euler hoặc phương pháp Runge-Kutta.

FEM được hiểu rõ nhất từ ứng dụng thực tế của nó, được gọi là phân tích phần tử hữu hạn (FEA). FEA được áp dụng trong kỹ thuật như là một công cụ tính toán để thực hiện phân tích kỹ thuật. Nó bao gồm việc sử dụng kỹ thuật tạo lưới để phân chia một miền phức tạp thành các phần tử nhỏ, cũng như việc sử dụng chương trình phần mềm được mã hóa bằng thuật toán FEM. Khi áp dụng FEA, vấn đề phức tạp thường là một hệ vật lý với cơ sở dựa vào phương trình chùm Euler-Bernoulli, phương trình nhiệt, hoặc phương trình Navier-Stokes thể hiện trong cả hai phương trình tích phân hoặc PDE, trong khi chia nhỏ phần tử của vấn đề phức tạp đại diện cho các khu vực khác nhau trong hệ thống vật lý.

FEM là lựa chọn tốt để phân tích các bài toán trên các miền phức tạp (như ô tô, đường ống dẫn dầu,…), khi miền thay đổi (như trong một phản ứng trạng thái với biên thay đổi), khi độ chính xác kì vọng thay đổi trên toàn bộ miền hoặc khi giải pháp thiếu độ mịn. Mô phỏng FEA cung cấp một nguồn tài nguyên có giá trị khi chúng loại bỏ trường hợp tạo và thử nghiệm các mẫu thử cứng cho các tình huống độ trung thực cao khác nhau. Ví dụ, trong một mô phỏng tai nạn ở phía trước có thể tăng độ chính xác dự đoán trong các khu vực “quan trọng” như mặt trước của xe và giảm nó ở phía sau của nó (do đó làm giảm chi phí của mô phỏng). Một ví dụ khác là ứng dụng trong dự báo thời tiết, nơi quan trọng hơn để có những dự đoán chính xác về việc phát triển các hiện tượng phi tuyến cao (chẳng hạn như lốc xoáy nhiệt đới trong khí quyển, hoặc xoáy trong đại dương) thay vì các khu vực tương đối yên tĩnh.

4.1/ Cấu trúc của các phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số cho lời giải xấp xỉ của các bài toán trong toán học, tức là thường được phát biểu một cách có hệ thống để nêu chính xác tình trạng của một số khía cạnh trong thực tế của vật lý.

Một phương pháp phần tử hữu hạn được đặc trưng bởi một công thức biến đổi, một sự rời rạc hóa, hoặc nhiều thuật toán giải pháp và các quy trình hậu xử lý.

Ví dụ cho công thức biến đổi là phương pháp Galerkin, phương pháp Galerkin gián đoạn, phương pháp hỗn hợp, …

Sự rời rạc hóa được định nghĩa gồm một tập hợp các bước được xác định rõ ràng gồm:

Tạo ra các phần tử hữu hạn

Định nghĩa hàm cơ sở trên các phần tử tham chiếu (hàm hình dạng)

Ánh xạ tham chiếu các phần tử lên lưới

Ví dụ về sự rời rạc hóa là h-version, p-version, hp-version, x-FEM, phân tích đẳng hình học,…Mỗi phương pháp rời rạc hóa đều có một số thuận lợi và bất lợi. Tiêu chuẩn hợp lí trong việc lựa chọn phương pháp rời rạc hóa là để đạt được hiệu suất tối ưu cho tập hợp rộng nhất của các mô hình trong một mô hình cụ thể.

Có hai loại thuật toán giải pháp rộng:

Các thuật toán này được thiết kế để khai thác ma trận thưa phụ thuộc vào sự lựa chọn của công thức biến đổi và sự rời rạc hóa.

Thủ tục sau xử ký được thiết kế để trích xuất dữ liệu cần thiết từ giải pháp phần tử hữu hạn, Để đáp ứng yêu cầu của việc xác minh sự chính xác của giải pháp, các nhà xử lý cần phải cung cấp một ước lỗi chuẩn về mặt vấn đề đang được quan tâm. Khi các lỗi xấp xỉ lớn hơn những gì được coi là chấp nhận được thì việc lọc phải được thay đổi bằng quy trình thích nghi tự động hoặc theo ý của nhà phân tích. Có một số bộ xử lý rất hiệu quả cung cấp cho phương pháp siêu hội tụ.

4.2/ Các vấn đề minh họa P1 và P2

Minh họa việc sử dụng PPPTHH từ hai ví dụ mà phương pháp chung có thể là ngoại suy. Xem như người đọc đã quen thuộc với đại số tuyến tính:

P­ 1 là bài toán một chiều

P­ 2 là bài toán hai chiều

Miền Ω là một miền đơn liên mở trong mặt phẳng (x,y), có biên ∂Ω rất “đẹp” (ví dụ: một đa tạp trơn hoặc một đa giác), {displaystyle u_{xx}}u xx và u yy {displaystyle u_{yy}} là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x và y.

Ở ví dụ P1, có thể giải trực tiếp bằng cách lấy nguyên hàm. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ thực hiện được trong không gian một chiều và không thể giải được trong không gian có hơn hai chiều hoặc trong bài toán u + u” = f. Chính vì lý do này mà chúng ta sẽ phát triển phát triển FEM cho trường hợp P1 và phác họa tổng quát của FEM cho trường hợp P2.

Lời giải gồm hai bước, nó phản ánh hai bước chủ yếu phải thực hiện để giải một bài toán biên bằng FEM. Ở bước đầu tiên, chúng ta sẽ biểu diễn lại bài toán biên trong dạng gần đúng của nó hoặc dạng biến phân. Rất ít hoặc không có máy tính được dùng để thực hiện bước này, việc này được làm bằng tay ở trên giấy. Bước thứ hai là rời rạc hóa, dạng gần đúng được rời rạc trong một không gian hữu hạn chiều. Sau bước thứ hai này, chúng ta sẽ có biểu thức cụ thể cho toàn bộ bài toán nhưng lời giải của bài toán trong không gian hữu hạn chiều tuyến tính chỉ là lời giải gần đúng của bài toán biên. Bài toán trong không gian hữu hạn chiều này sau đó được giải bằng máy tính.

Bước đầu tiên là chuyển đổi P1 và P2 thành công thức yếu tương đương của chúng.

Nếu u giải P 1 thì đối với bất kỳ hàm trơn v nào thỏa mãn điều kiện chuyển vị, v=0 khi x=0 và x=1, ta có:

Ngược lại, nếu u với u(0)=u(1)=0 thì thỏa mãn (1) cho hàm trơn v(x) sau đó ta có thể thấy là u sẽ giải được P1. Thử dễ dàng hơn đối với hai lần hàm khả vi u (định lí giá trị trung bình), nhưng cũng có thể được chứng minh theo phương phân bố.

Định nghĩa một hàm mới bằng cách sử dụng tích hợp theo các phần ở bên tay phải của (1):

Với v(0)=v(1)=0

Nếu lấy tích phân từng phần bằng công thức Green, ta có thể giải được P2 bằng u, nếu định nghĩa cho bất kỳ v

Trong đó, được định nghĩa là gradient và “.” là dấu chấm trong mặt phẳng hai chiều. Một lần nữa có thể quay về làm tích số trên không gian thích hợp của hàm vi phân một lần của bằng không trên . Chúng ta giả định rằng . Biển diễn được sự tồn tại và tính duy nhất của giải pháp,

P1 và P2 đã sẵn sàng để được cụ thể hóa, dẫn đến một bài toán phụ phổ biến (3). Ý tưởng cơ bản là thay thế bài toán tuyến tính:

Tìm sao cho

Với một phiên bản hữu hạn chiều:

Tìm sao cho

trong đó V là một không gian con hữu hạn chiều của . Có nhiều sự lựa chọn có thể cho V (một khả năng dẫn đến phương pháp quang phổ). Tuy nhiên, đối với phương thức phần tử hữu hạn, chúng ta lấy V để là một không gian của các hàm đa thức từng phần.

Lấy khoảng(0,1), chọn giá trị n của x với: và định nghĩa V bằng: v liên tục, là tuyến tính, cho k=0,…n,a

Trong đó, ta định nghĩa x 0=0 và x n+1=1. QUan sát các hàm trong V không khác biệt theo định nghĩa cơ bản của phép tính. Thật vậy, nếu thì đạo hàm không được xác định tại bất kì điểm nào ngoài x=x k, k=1,…n. Tuy nhiên, đạo hàm tồn tại ở mọi giá trị khác của x và có thể sử dụng đạo hàm này cho mục đích tích phân theo từng phần.

Chúng ta cần V là một tập các hàm của . Trong hình bên phải, chúng tôi đã minh họa một hình tam giác của một vùng đa giác 15 trong mặt phẳng (bên dưới), và một hàm tuyến tính từng mẩu (trên, màu) của đa giác này là tuyến tính trên mỗi tam giác của phép đạc tam giác; không gian V sẽ bao gồm các hàm tuyến tính trên mỗi tam giác của phép đạc tam giác đã chọn.

Để hoàn thành việc rời rạc hóa, chúng ta phải chọn một cơ sở của V. Trong trường hợp một chiều, cho mỗi điểm kiểm soát x k, chúng tôi sẽ chọn hàm tuyến tính từng phần v k trong V của giá trị 1 tại x k và 0 tại mọi x j, j khác k

Cho k=1,…n; cơ sở này là một hàm tăng. Đối với trường hợp hai chiều, chọn lại một hàm cơ sở v k trên mỗi đỉnh x k của tam giác hai chiều . Hàm v k là hàm đơn giản của V có giá trị là 1 tại x k và 0 tại mỗi x j,j khác k.

Tùy thuộc vào người dùng, từ “phần tử” trong “phương thức phần tử hữu hạn” đề cập đến các tam giác trong miền, hàm cơ bản tuyến tính từng phần hoặc cả hai. Vì vậy, ví dụ, một người dùng quan tâm đến các lĩnh vực mặt cong có thể thay thế các hình tam giác bằng hình tròn, và do đó có thể mô tả các yếu tố như là curvilinear. Mặt khác, một số tác giả thay thế “tuyến tính từng phần ” bằng “bậc hai từng phần” hoặc thậm chí “đa thức từng phần”. Người dùng sau đó có thể nói “phần tử bậc cao hơn” thay vì “đa thức bậc cao”. Phương thức phần tử hữu hạn không bị giới hạn trong tam giác (hoặc tứ diện trong 3-d, hoặc đơn vị bậc cao hơn trong không gian đa chiều), nhưng có thể được định nghĩa trên các tên miền phụ tứ giác (lục giác, lăng kính, hoặc kim tự tháp trong 3-d, vv). Các hình dạng bậc cao hơn (các phần tử đường cong) có thể được xác định bằng các hình đa thức và thậm chí không đa thức (ví dụ như hình elip hoặc hình tròn).

Ví dụ về các phương pháp sử dụng các hàm cơ sở đa thức bậc cao hơn là hp-FEM và spectral FEM.

Các triển khai nâng cao hơn (phương pháp phần tử hữu hạn thích nghi) sử dụng một phương pháp để đánh giá chất lượng của các kết quả (dựa trên lý thuyết ước lượng lỗi) và sửa đổi lưới trong giải pháp nhằm đạt được giải pháp gần đúng trong một số giới hạn từ giải pháp ‘chính xác’ vấn đề. Lưới thích ứng có thể sử dụng các kỹ thuật khác nhau, phổ biến nhất là:

Các nút chuyển động (r-adaptivity)

Tinh chế (và không tinh chế) các phần tử (h-adaptivity)

Thay đổi thứ tự của các hàm cơ sở (p-adaptivity)

Sự kết hợp của các tính năng trên (hp-adaptivity).

Ưu điểm chính của sự lựa chọn cơ sở này là các tích bên trong

Biểu mẫu của bài toán ma trận

Nếu ta viết và khi đó bài toán biết v(x)=v j(x) cho j=1,…,n trở thành cho j=1,…,n. Nếu chúng ta biểu diễn bằng u và f là các vector cột (u 1,…u n) t và (f 1,…,f n) t và nếu ta cho L=(L ij) và M=(M ij) là ma trận có mục: và . Sau đó: -Lu=Mf. Nó không thực sự cần thiết để cho rằng . Đối với hàm tổng quát f(x) của bài toán với v(x)=v j(x) với j=1,…,n, trở nên đơn giản hơn vì không cần sử dụng ma trận M: -Lu=b với b=(b 1,…,b n) t và , j=1,…,n.

Các ma trận này được gọi là ma trận thưa, và có các cách giải hiệu quả cho các bài toán như vậy (hiệu quả hơn nhiều so với nghịch đảo ma trận.) Ngoài ra, L là đối xứng và xác định dương, do đó, một phương pháp như phương pháp gradient liên hợp được ưa chuộng. Đối với các bài toán không quá lớn, LU decompositions và Cholesky decompositions vẫn hoạt động tốt. Ví dụ, toán tử dấu gạch chéo ngược của MATLAB (trong đó sử dụng LU decompositions và Cholesky decompositions, và các phương pháp hệ số hóa khác) có thể đủ cho các mắt lưới với một trăm nghìn đỉnh.

Ma trận L thường được gọi là ma trận độ cứng, trong khi ma trận M được gọi là ma trận khối lượng.

Dạng chung của phương pháp phần tử hữu hạn

Nói chung , phương pháp phần tử hữu hạn được đặc trưng bằng hai bước sau:

+ Chọn một dạng lưới cho . Lưới bao gồm hình tam giác, nhưng cũng có thể sử dụng hình vuông hoặc đa giác cong.

Một vấn đề khác là sự mịn khi chia lưới của hàm cơ sở đa thức. Đối với bài toán về giá trị biên của eliptic bậc hai, hàm cơ sở đa thức chỉ đơn thuần là đáp ứng vừa đủ (tức là các đạo hàm không liên tục).Với phương trình vi phân từng phần bậc hai, cần phải sử dụng một hàm cơ sở mịn hơn. Ví dụ cho một bài toán khác như u xxxx+u yyyy=f, có thể sử dụng hàm cơ sở bậc hai là C 1.

5/ Các loại phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử ứng dụng(AEM) kết hợp các tính năng của cả FEM và phướng pháp rời rạc hóa phần tử(DEM).

Phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát(GFEM) sử dụng không gian quỹ tích gồm có của hàm số, không cần thiết sử dụng đa thức, do đó phản ánh thông tin có sẵn về giải pháp chưa biết do đó đảm bảo xấp xỉ cục bộ tốt. Sau đó một bộ phận miền được sử dụng để lien kết các không gian này với nhau tạo thành khoogn gian con gần đúng. Hiệu quả của GFEM đã được thể hiện khi áp dụng cho các bài toán có đường biên phức tạp, các bài toán với quy mô nhỏ và các bài toán với các lớp ranh giới.

5.3/ Phương pháp phần tử hữu hạn hỗn hợp

Phương pháp phần tử hữu hạn hỗn hợp là một loại phương pháp phần tử hữu hạn trong đó các biến phụ độc lập được thêm vào dưới dạng các biến nút trong quá trình giải bài toán của một phương trình vi phân từng phần.

Phương pháp hp-FEM kết hợp linh động các phần tử với kích thước biến số h và bậc của đa thức p để đạt được tốc độ hội tụ theo cấp số mũ cực kì nhanh.

Phương pháp hpk-FEM kết hợp linh động, các phần tử có kích thước biến số h, bậc đa thức của các xấp xỉ cục bộ p và tính đa dạng toàn cục của các xấp xỉ cục bộ (k-1) để đạt được tốc độ hội tụ tốt nhất

Một số nghiên cứu thực hiện kỹ thuật này với các mức độ khác nhau: GetFEM++2, xfem++3 và open fem ++

XFEM cũng đã được thực hiện trong các chương trình như Altair Radioss, ASTER, Morfeo và Abaqus. Nó ngày càng được chấp nhận bởi các phần tử phần tử hữu hạn thương mại khác, với một vài bổ sung và các triển khai lõi thực tế có sẵn ( ANSYS, SAMCEF, OOFELIE, vv).

5.7/ Phương pháp phần tử hữu hạn tỷ lệ đường biên ( SBFEM )

Ra đời bởi Song và Wolf vào năm 1997. Là một trong những đóng góp có tác dụng to lớn trong lĩnh vực phân tích số liệu của cơ học phá hủy. Nó là một phương pháp tích phân cơ bản, có giải pháp kết hợp các ưu điểm của cả các công thức và quy trình phần tử hữu hạn, và sự rời rạc hóa. Tuy nhiên nó không yêu cầu lời giải vi phân cơ bản.

Phương pháp phần tử hữu hạn S-FEM, Smoothed, là một lớp cụ thể của các thuật toán mô phỏng số để mô phỏng các hiện tượng vật lý. Nó được phát triển bằng cách kết hợp các phương thức chia lưới tự do với phương thức phần tử hữu hạn.

5.9/ Phương pháp phần tử quang phổ ( SEM )

Phương pháp phần tử quang phổ kết hợp tính linh hoạt hình học của các phần tử hữu hạn và độ chính xác cấp tính của các phương pháp phổ. Phương pháp quang phổ là giải pháp gần đúng của các phương trình từng phần yếu hình thành dựa trên nội suy bậc cao Lagragian và chỉ được sử dụng với các quy tắc bậc hai nhất định.

5.10/ Liên kết với phương pháp discretisation gradient

Một số loại phương pháp phần tử hữu hạn (phù hợp, không phù hợp, các phương thức phần tử hữu hạn hỗn hợp) là các trường hợp cụ thể của phương thức giải phóng gradient (GDM). Do đó các đặc tính hội tụ của GDM, được thiết lập cho một loạt các vấn đề (các vấn đề elliptic tuyến tính và phi tuyến tính, các vấn đề parabolic tuyến tính, phi tuyến và thoái hóa), giữ cho các phương pháp phần tử hữu hạn đặc biệt này.

5.11/ So sánh với phương pháp sai phân hữu hạn:

Phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) là một cách thay thế xấp xỉ các giải pháp của PDE. Sự khác biệt giữa FEM và FDM là:

+ Tính năng hấp dẫn nhất của FEM là khả năng xử lý hình học phức tạp (và biên) một cách dễ dàng. Trong khi đó FDM căn bản chỉ áp dụng được trong các hình chữ nhật đơn giản, việc xử lý các bài toán hình học trong FEM về mặt lý thuyết là đơn giản hơn.

+ FDM thường không được sử dụng cho hình học CAD không thường xuyên nhưng thường là các mô hình hình chữ nhật hoặc mô hình khối.

+ FDM rất dễ làm

+ Có thể xem FDM là một trường hợp gần đúng của FEM. Những bước đầu tiên của FDM giống hệt FEM với phương trình Poisson, nếu bài toán rời rạc hóa bằng lưới hình chữ nhật với mỗi hình chữ nhật chia thành hai tam giác.

+ Có nhiều lý do để xem xét nền tảng toán học của phần tử hữu hạn xấp xỉ hợp lí nhiều hơn, ví dụ, bởi vì chất lượng của xấp xỉ giữa các điểm lưới là kém trong FDM.

+ Chất lượng của một FEM xấp xỉ thường cao hơn so với FDM xấp xỉ tương ứng, nhưng điều này lại phụ thuộc vào số hạng đầu của bài toán và một số trường hợp cho kết quả ngược lại.

Nói chung, FEM là phương pháp được lựa chọn trong tất cả các loại phân tích trong cơ học kết cấu (ví dụ giải quyết biến dạng và ứng suất trong vật rắn hoặc động lực học cấu trúc) trong khi động lực học chất lỏng (CFD) có xu hướng sử dụng FDM hoặc các phương pháp khác như phương pháp khối lượng hữu hạn ( FVM). Các vấn đề CFD thường đòi hỏi phải giải bài toán thành một số lượng lớn các ô / điểm lưới (hàng triệu lần trở lên), do đó chi phí của giải pháp ưu tiên đơn giản hơn, xấp xỉ bậc thấp hơn trong mỗi ô. Điều này đặc biệt đúng đối với các vấn đề ‘lưu lượng bên ngoài’, như luồng không khí xung quanh xe hơi hoặc máy bay, hoặc mô phỏng thời tiết.

Khóa Học Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trong Matlab / 2023

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là phương pháp số để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân riêng phần cùng với các điều kiện biên cụ thể.

Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài toán. Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con (phần tử). Các miền này được liên kết với nhau tại các điểm nút. Trên miền con này, dạng biến phân tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoả mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử.

Về mặt toán học, phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) được sử dụng để giải gần đúng bài toán phương trình vi phân từng phần (PTVPTP) và phương trình tích phân, ví dụ như phương trình truyền nhiệt. Lời giải gần đúng được đưa ra dựa trên việc loại bỏ phương trình vi phân một cách hoàn toàn (những vấn đề về trạng thái ổn định), hoặc chuyển PTVPTP sang một phương trình vi phân thường tương đương mà sau đó được giải bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, v.v..

PPPTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định V của nó mà chỉ trong những miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định của hàm.Trong PPPTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi là phần tử. Các miền này liên kết với nhau tại các điểm định trước trên biên của phần tử được gọi là nút. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.

Trong việc giải phương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là tạo ra một phương trình xấp xỉ với phương trình cần được nghiên cứu, nhưng đó là ổn định số học (numerically stable), nghĩa là những lỗi trong việc nhập dữ liệu và tính toán trung gian không chồng chất và làm cho kết quả xuất ra xuất ra trở nên vô nghĩa. Có rất nhiều cách để làm việc này, tất cả đều có những ưu điểm và nhược điểm. PPPTHH là sự lựa chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp (giống như những chiếc xe và những đường ống dẫn dầu) hoặc khi những yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong toàn miền. Ví dụ, trong việc mô phỏng thời tiết trên Trái Đất, việc dự báo chính xác thời tiết trên đất liền quan trọng hơn là dự báo thời tiết cho vùng biển rộng, điều này có thể thực hiện được bằng việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.

Khóa học về Phương pháp PTHH tại VIET4C sẽ cung cấp cho học viên các kiến thức sau:

– Bản chất toán học của Phương pháp PTHH

– Các hàm nội suy (xấp xỉ) thường được sử dụng

– Phiếm hàm, hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng và cách giải.

– Nút và bậc tự do nút

– Cách xây dựng ma trận phần tử

– Cách xây dựng ma trận tổng hợp

– Điều kiện biên và điều kiện đầu.

– Thuật toán Newmark

– Ví dụ giải hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng PP PTHH.

1. Đối tượng đào tạo:

– Sinh viên

– Kỹ thuật viên

– Kỹ sư

– Những người nghiên cứu về CAD/CAM/CAE

2. Hình thức đào tạo:

– Học dưới dạng kèm, vừa học vừa thực hành xen kẽ.

– Được hướng dẫn thực hành thiết kế sản phẩm.

– Với khóa học CAM, học viên được thực hành gia công trên máy CNC tại xưởng cơ khí của trung tâm VIET4C

3. Thời gian học:

Tùy chọn:

Các lớp Sáng – chiều – tối:

Ca1: 8h30 -10h30. Ca 2: 14h30 – 16h30. Ca 3: 18h30 – 20h30

T7, Chủ nhật: Sáng 8h30 đến 11h

4. Tài liệu và phần mềm:

Học viên học tại trung tâm sẽ được phát giáo trình cùng bộ tài liệu dưới dạng video để hỗ trợ công việc học tập.

Tài liệu sẽ phát miễn phí cho các bạn lúc đăng ký.

5. Liên hệ đào tạo:

Mr Phương: 0915570122.

Email: viet4c@gmail.com

Có hỗ trợ đào tạo online cho các bạn ở xa.

6. Đặc điểm nổi bật của chương trình đào tạo PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN tại VIET4C:

– Được đào tạo bởi các giáo viên đang là những kỹ sư đi làm thực tế, có bề dày kinh nghiệm trong mảng thiết kế chế tạo, thiết kế ngược.

– Đầy đủ trang thiết bị học tập: máy tính, máy chiếu, thước đo, máy CNC, máy in 3D, máy scan 3D.

– Được hỗ trợ tài liệu và video đực biên soạn kỹ lưỡng để phục vụ cho công việc học tập.

– Được hỗ trợ giải đáp thắc mắc (24/7) trong suốt quá trình học và sau khi tốt nghiệp.

– Học viên học tại trung tâm sẽ được hỗ trợ cài đặt phần mềm miễn phí vào máy tính cá nhân để phục vụ cho việc học tập (Cài win, phần mềm cơ khí…)

– Học viên được giới thiệu việc làm hoặc giới thiệu đi xuất khẩu lao động sau khóa học.

7. Đội ngũ giảng viên:

Với đội ngũ giảng viên là các tiến sỹ, thạc sỹ trong các trường Đại học và các kỹ sư thiết kế đã có thâm niên sử dụng PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN, VIET4C sẽ mang đến cho bạn trải nghiệm học tập với PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN tốt nhất và có tính ứng dụng cao cho công việc thực tế.

Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Lý Thuyết Và Bài Tập / 2023

Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Lý Thuyết Và Bài Tập

Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp tính đã được hình thành và phát triển trong vòng vài chục năm trở lại đây, nhưng do yêu cầu tính toán của một bài toán thực tế thường đòi hỏi một khối lượng tính toán rất lớn, do vậy việc ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trước đây gặp không ít khó khăn. Chỉ cho đến khi có sự xuất hiện của các máy tính cá nhân (PC) cùng với những tiến bộ to lớn của công nghệ thông tin trong những năm gần đây mới thật sự cho phép phương pháp tính này được ứng dụng một cách phổ biến và rộng rãi.

Đối với thực tế ở Việt Nam phương pháp phần tử hữu hạn cũng dã từng được nghiên cứu và ứng dụng khoảng vài chục năm trở lại đây với số lượng người tham gia nghiên cứu ngày càng tăng nhanh, phạm vi ứng dụng ngày càng phong phú, đa dạng.

Để đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn – nắm bắt các khía cạnh, cốt lõi của nó theo một trình tự LOGIC và tạo điều kiện cho bạn đọc có thể vận dụng nó để lập trình tìm lời giải cho một bài toán cụ thể, chúng tôi đã cố gắng tìm hiểu và biên soạn tài liệu này.

Đây là tài liệu được biên soạn chủ yếu phục vụ các đối tượng nghiên cứu là sinh viên, kỹ sư thuộc các ngành cơ kỹ thuật, kết cấu công trình, cơ khí, giao thông, thủy lợi, mỏ địa chất… Ngoài ra sách cũng hố trợ rất tốt cho các đối tượng là nghiên cứu sinh, học viên cao học, thuộc khối Kỹ thuật công trình và Cơ kỹ thuật – Là các đối tượng đã được trang bị tốt các kiến thức về lý thuyết ma trận, về đại số tuyến tính và tin học đại cương. Đây là một cuốn sách được trình bày theo kiểu giáo trình với các diễn giải lý thuyết cô đọng và dễ hiểu, có phần ví dụ minh hoạ và giải thuật để người đọc có thể vận dụng.