Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

--- Bài mới hơn ---

  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Sử Dụng Phương Pháp Qui Nạp Để Giải Một Số Bài Toán Không Mẫu Mực
  • Chương Iii. §1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Tìm Hiểu Phép Suy Luận Quy Nạp Không Hoàn Toàn Trong Dạy Học Nội Dung Số Tự Nhiên Ở Tiểu Học
  • Sai Lầm Thường Gặp Từ Phép Toán Quy Nạp Không Hoàn Toàn
  • Bài 3: Suy Luận Quy Nạp
  • I. Phương pháp qui nạp toán học

    Bài toán: Gọi A(n) là một mệnh đề chứa biến n, n ∈ N*. Chứng minh A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ∈ N*.

    Cách giải: (Người ta thường sử dụng phương pháp sau đây)

    * Bước 1: Chứng minh A(n) đúng khi n = 1. (*)

    * Bước 2: Với k là số nguyên dương tùy ý, giả sử A(n) đúng với n = k, chứng minh A(n) cũng đúng khi n = k + 1.

    (*): trong thực tế, ta còn gặp các bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề A(n) (nói trên) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p, trong đó p là số tự nhiên cho trước. Trong trường hợp đó, thay cho chứng minh A(n) đúng khi n = 1, ta chứng minh A(n) đúng khi n = p.

    Áp dụng công thức Nhị thức Niu-tơn, ta có:

    Vậy mệnh đề đã cho đúng

    II. Dãy số

    1. Định nghĩa : Dãy số (u n) là một ánh xạ từ N* vào R:

    f: N* → R

    Khi đó, ta có u n = f(n).

    2. Cách xác định một dãy số

    Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:

    Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát u n.

    Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi, tức là:

    * Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)

    * Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

    Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.

    4. Dãy số bị chặn

    Định nghĩa 3:

    (Dãy số bị chặn trên): Dãy số (u n) được gọi là bị chặn trên nếu: ∃M ∈ R : u n ≤ M, ∀n ∈ N*

    Định nghĩa 4 :

    (Dãy số bị chặn dưới): Dãy số (u n) được gọi là bị chặn dưới nếu: ∃m ∈ R : u n ≥ m, ∀n ∈ N*

    Định nghĩa 5:

    (Dãy số bị chặn): Dãy số (u n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là:

    ∃m, M ∈ R : m ≤ u n ≤ M, ∀n ∈ N*

    5. Các dạng bài tập Dạng 1: Xác định các số hạng của dãy số.

    Phương pháp giải:

    Thay n vào công thức hoặc hệ thức truy hồi.

    Ví dụ 1: Cho dãy số với . Tìm số hạng .

    Lời giải:

    Lời giải:

    Ta có:

    Phương pháp giải:

    Xác định số hạng tổng quát cho bởi hệ thức truy hồi

    – Tính thử các số hạng đầu, dự đoán .

    – Chứng minh hệ thức đó đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

    Ví dụ 3: Cho dãy số xác định bởi: . Tìm số hạng tổng quát .

    Lời giải:

    Ta có:

    Ta dự đoán (1)

    Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp.

    + Với n = 1, ta có: ⇒ (1) đúng với n = 1.

    + Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là: .

    Thật vậy, ⇒ (1) đúng với n = k + 1.

    Phương pháp giải:

    Vậy (1) là công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

    + là dãy số tăng .

    + là dãy số giảm

    + Để so sánh và ta có thể xét hiệu – hoặc xét thương .

    Ví dụ 4: Xét tính tăng giảm của dãy số :

    Lời giải:

    Ta có:

    Do đó dãy số đã cho là dãy số tăng.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Quy Nạp Toán Học
  • Cm Quy Nạp Toán Học Phuong Phap Cm Quy Nap Doc
  • Phương Pháp Cm Quy Nạp Cực Kỳ Dễ Chungmingquynap08 Doc
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học (Nâng Cao)
  • Phương Pháp Qui Nạp Ngược (Backward Induction) Là Gì? Ví Dụ Về Phương Pháp Qui Nạp Ngược
  • Chương Iii. §1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

    --- Bài mới hơn ---

  • Tìm Hiểu Phép Suy Luận Quy Nạp Không Hoàn Toàn Trong Dạy Học Nội Dung Số Tự Nhiên Ở Tiểu Học
  • Sai Lầm Thường Gặp Từ Phép Toán Quy Nạp Không Hoàn Toàn
  • Bài 3: Suy Luận Quy Nạp
  • Phương Pháp Là Gì? Hãy Trình Bày Các Phương Pháp Nhận Thức Khoa Học
  • Bài Tập Chứng Minh Quy Nạp
  • I. Mục tiêu bài dạy:

    1. Kiến thức: Học sinh nắm được:

    – Nội dung của phương pháp quy nạp toán học (gồm hai bước và bắt buộc theo trình tự nhất định).

    – Nắm rõ các bước của phương pháp quy nạp.

    2. Kỹ năng:

    – Sử dụng phương pháp quy nạp thành thạo.

    – Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp hiệu quả.

    3. Thái độ:

    – Rèn luyện tư duy logic, hệ thống, linh hoạt. Biết quy lạ về quen.

    – Cẩn thận chính xác trong lập luận quy nạp. Rèn luyện tư duy toán học vô hạn.

    II. Phương pháp – phương tiện:

    1. Phương pháp dạy học:

    – Vấn đáp gợi mở.

    – Nêu vấn đề, giải quyết vấn đề.

    2. Phương tiện – chuẩn bị của thầy và trò:

    – Giáo viên: chuẩn bị câu hỏi gợi mở.

    – Học sinh: đọc trước bài, ôn tập kiến thức về mệnh đề ở lớp 10.

    III. Phân phối thời lượng:

    Tiết 1: Phần lý thuyết Tiết 2: Phần bài tập

    IV. Tiến trình bài dạy:

    Giáo viên

    Học sinh

    Bổ sung

    Hoạt động 1: Ổn định lớp

    – Sỹ số lớp.

    – Kiểm tra tình hình chuẩn bị bài của học sinh.

    Hoạt động 2: Dẫn dắt khái niệm

    1. Mệnh đề là gì? Mệnh đề chứa biến là gì?

    2. Cho hai mệnh đề chứa biến “” và “” với .

    a. Với thì và đúng hay sai?

    b. Với thì và đúng hay sai?

    Kể từ trở đi, sai, dường như vẫn đúng.

    Có thể khẳng định sai với nhưng không thể khẳng định đúng với .

    Hoạt động 3: Phương pháp quy nạp Toán học

    Phương pháp quy nạp toán học:

    Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với .

    Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với (giả thiết quy nạp). Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với .

    Học sinh ghi chép bài

    Hoạt động 4: Các ví dụ

    1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với thì

    (1)

    Giáo viên phát vấn hướng dẫn:

    – Vế trái có bao nhiêu số hạng?

    – Bước 1 cần kiểm tra điều gì? Như thế nào?

    – Với bước 2, điều ta đã có là gì, điều là cần chứng minh là gì? Mệnh đề đúng với , đúng với nghĩa là như thế nào?

    Giáo viên hướng dẫn từng bước cho học sinh làm quen và làm bài.

    2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với thì

    (2)

    Giáo viên phát vấn hướng dẫn:

    – Vế trái có bao nhiêu số hạng?

    – Bước 1 cần kiểm tra điều gì? Như thế nào?

    – Với bước 2, điều ta đã có là gì, điều là cần chứng minh là gì? Mệnh đề đúng với , đúng với nghĩa là như thế nào?

    Giáo viên gọi một học sinh lên bảng làm bài, yêu cầu học sinh khác nhận xét, uốn nắn sửa sai và hoàn chỉnh bài làm cho học sinh.

    3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với thì

    (3)

    Giáo viên phát vấn hướng dẫn:

    – Bước 1 cần kiểm tra điều gì? Như thế nào?

    – Với bước 2, điều ta đã có là gì, điều là cần chứng minh là gì? Mệnh đề đúng với , đúng với nghĩa là như thế nào?

    Giáo viên gọi một học sinh lên bảng làm bài, yêu cầu học sinh khác nhận xét, uốn nắn sửa sai và hoàn chỉnh bài làm cho học sinh.

    Bài làm ví dụ 1:

    Bước 1: Với , ta có: đúng.

    Bước 2: Giả sử (1) đúng với . Tức là:

    Ta chứng minh (1) đúng với . Tức là:

    Thật vậy, ta có:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Sử Dụng Phương Pháp Qui Nạp Để Giải Một Số Bài Toán Không Mẫu Mực
  • Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Chuyên Đề Quy Nạp Toán Học
  • Cm Quy Nạp Toán Học Phuong Phap Cm Quy Nap Doc
  • Phương Pháp Cm Quy Nạp Cực Kỳ Dễ Chungmingquynap08 Doc
  • 18 Câu Trắc Nghiệm Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

    --- Bài mới hơn ---

  • Gd Cd: Gt Lý Luận Về Nhà Nước Và Pháp Luật Ly Luan Ve Nha Nuoc Va Phap Luat 0832 8584 Doc
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Giải Bài Tập Este Bằng Phương Pháp Quy Đổi
  • Bài Tập Về Phương Pháp Quy Đổi Hay Và Khó
  • 18 câu trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học – Dãy số có đáp án

    Câu 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

    Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

    Chọn đáp án

    Câu 2: Với mỗi số nguyên dương n, gọi u n = 9 n – 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì u n luôn chia hết cho 8.

    Vậy (*) đúng với n = 2 .

    * Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

    Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

    Vậy (*) đúng với n = k + 1.

    Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3 .

    D. Đáp án khác

    A. Dãy số tăng

    B. Dãy số giảm

    C. Dãy số không tăng không giảm

    D. Dãy số không đổi.

    Câu 6: Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số :

    A. Dãy số giảm, bị chặn trên

    B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

    C. Dãy số tăng, bị chặn.

    D. Dãy số giảm, bị chặn dưới.

    A. 300.

    B. 212.

    C. 250.

    D. 249.

    Câu 8: Chứng minh bằng quy nạp:

    Câu 9: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp n 3 + 11n chia hết cho 6.

    Vậy (*) đúng với n = k + 1. Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

    Chọn đáp án B

    A. Dãy số giảm.

    B. Dãy số không tăng không giảm

    C. Dãy số không đổi.

    D. Dãy số tăng

    Câu 12: Cho dãy số . Tìm mệnh đề đúng?

    A. Dãy số tăng và bị chặn.

    B. Dãy số giảm và bị chặn.

    C. Dãy số tăng và bị chặn dưới

    D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

    A. Dãy số bị chặn trên

    B. Dãy số bị chặn dưới.

    C. Dãy số bị chặn

    D. Tất cả sai.

    Câu 14: Cho dãy số (u n) xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát u n theo n.

    D. Đáp án khác

    A. Dãy số tăng

    B. Dãy số giảm

    C. Dãy số không tăng, không giảm

    D. Dãy số không đổi.

    A. Dãy số tăng

    B. Dãy số giảm

    C. Dãy số không tăng, không giảm

    D. Dãy số là dãy hữu hạn

    A. Dãy số bị chặn dưới.

    B. Dãy số bị chặn trên.

    C. Dãy số bị chặn.

    D. Không bị chặn

    A. Dãy số tăng, bị chặn

    B. Dãy số giảm, bị chặn

    C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

    D. Cả A, B, C đều sai

    KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2004 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

    Đăng ký khóa học tốt 11 dành cho teen 2k4 tại chúng tôi

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Chứng Minh Quy Nạp
  • Phương Pháp Là Gì? Hãy Trình Bày Các Phương Pháp Nhận Thức Khoa Học
  • Bài 3: Suy Luận Quy Nạp
  • Sai Lầm Thường Gặp Từ Phép Toán Quy Nạp Không Hoàn Toàn
  • Tìm Hiểu Phép Suy Luận Quy Nạp Không Hoàn Toàn Trong Dạy Học Nội Dung Số Tự Nhiên Ở Tiểu Học
  • Phương Pháp Chứng Minh Quy Nạp

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Thức Trình Bày Đoạn Văn: Diễn Dịch
  • Phương Pháp Qui Nạp Ngược (Backward Induction) Là Gì? Ví Dụ Về Phương Pháp Qui Nạp Ngược
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học (Nâng Cao)
  • Phương Pháp Cm Quy Nạp Cực Kỳ Dễ Chungmingquynap08 Doc
  • Cm Quy Nạp Toán Học Phuong Phap Cm Quy Nap Doc
  • Trong bài này, chúng ta tiếp tục tìm hiểu thêm và phương pháp quy nạp. Ngoài dạng quy nạp như đã biết ta còn một số dạng quy nạp khác như: Quy nạp mạnh, quy nạp bước nhảy, quy nạp lùi.

    Quy nạp mạnh được phát biểu như sau: Để chứng minh mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, ta thực hiện theo hai bước sau:

    • Chứng minh $P(n)$ đúng với $n=1$.
    • Giả sử $P(n)$ đúng với $1, 2, cdots, n$. Chứng minh $P(n+1)$ đúng.

    Ví dụ 1. Cho $x$ thỏa $x+dfrac{1}{x}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^n+dfrac{1}{x^n}$ là số nguyên với mọi $n$.

    Lời giải.

    • Ta có $x + dfrac{1}{x}$ là số nguyên đúng (theo giả thiết).
    • Giả sử $x^k + dfrac{1}{x^k}$ là số nguyên với mọi $k = overline{1,n}$. Ta cần chứng minh $x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}}$.
      • $(x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}} = (x+dfrac{1}{x})(x^n + dfrac{1}{n}) – (x^{n-1}+dfrac{1}{x^{n-1}})$.
      • Theo giả thiết quy nạp thì $x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}}$ là số nguyên.
    • Vậy ta có $x^n + dfrac{1}{x^n}$ là số nguyên với mọi $n$.

    Dạng kế tiếp là Quy nạp bước nhảy được phát biểu như sau: Chứng minh mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi $n$, ta làm như sau:

    • Chứng minh $P(1), P(2), cdots, P(k)$ đúng.
    • Giả sử $P(n)$ đúng. Ta chứng minh $P(n+k)$ đúng.

    Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $M$ tồn tại số tự nhiên $n$ và cách chọn các dấu $+$ hoặc $-$ sao cho

    $M = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2$.

    Lời giải.

    • Khi $M = 1, 2, 3, 4$ ta có $1 = 1^2$, $2 = -1^2-2^2-3^2+4^2$, $3 = -1^2+2^2$ và $4 = 1^2-2^2-3^2+4^2$.
    • Giả sử đúng với $M$, tức là tồn tại $n$ thỏa $M = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2$, khi đó $M + 4 = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2 +(n+1)^2-(n+2)^2-(n+3)^2 + (n+4)^2$.

    Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì phương trình $a^2 + b^2 = c^n$ luôn có nghiệm trong tập các số nguyên dương.

    Lời giải.

    • Rõ ràng nếu $n=1, 2$ thì phương trình luông có nghiệm nguyên dương.
    • Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương là $a, b, c$ với $n$ nào đó, tức là $a^2 + b^2 = c^n$.
      • Khi đó với $n+2$ thì xét $(ac), (bc), c$: $(ac)^2+(bc)^2 = c^2 (a^2+b^2) = c^{n+2}$.
      • $(ac, bc, c$ là nghiệm.
    • Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $n$.

    Dạng kế tiếp là Quy nạp lùi được phát biểu như sau:

    • Chứng minh $P(a_i)$ đúng với dãy $(a_i)$ là dãy con tăng thực sự của tập các số tự nhiên.
    • Giả sử $P(n)$ đúng, chứng minh $P(n-1)$ đúng.

    Ví dụ 4.

    a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, …, 8 thành một dãy $a_1, a_2 ,…, a_8$ sao cho 2 số $a_i, a_j$ bất kì $(i < j)$ thì mọi số trong dãy nằm giữa $a_i$ và $a_j$ đều khác $dfrac{a_i + a_j}{2}$.

    b) Chứng minh rằng với $N$ số nguyên dương đầu tiên $1, 2, …, N$ luôn tìm được cách sắp thành dãy $a_1, a_2, …, a_N$ sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a).

    Lời giải.

    a) Một cách xếp thỏa đề bài là 26481537.

    b)

    Bước 1. Ta chứng minh bằng quy nạp với $n = 2^k$ thì luôn tồn tại một cách xếp thỏa đề bài.

      Nếu $k = 1$, hiển nhiên đúng.

      Giả sử luôn tồn tại một cách xếp thỏa đề bài với $n = 2^k$, cách xếp đó là $a_1, a_2, …, a_n$.

      Ta chứng minh tồn tại một cách xếp với $n = 2^{k+1}$.

      Thật vậy xét hoán vị $(2a_1, 2a_2,…, 2a_n, 2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1)$ là một hoán vị của $1, 2, …, 2^{k+1}$. Ta chứng minh hoán vị trên thỏa đề bài.

      • Ta có nếu $a_i, a_j in {2a_1, 2a_2, …, 2a_n}$ theo giả thiết quy nạp không có số nào nằm giữa $a_i, a_j$ bằng $dfrac{1}{2}(a_i+a_j)$.
      • Nếu $a_i in {2a_1, …, 2a_n}, a_j in {2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1}$ thì $dfrac{1}{2}(a_i +a_j)$ không phải số nguyên.
      • Nếu $a_i, a_j in {2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1}$ theo giả thiết quy nạp thì cũng có số nào nằm giữa $a_i, a_j$ bằng $dfrac{1}{2}(a_i + a_j)$.

    Vậy bài toán đúng với $n = 2^k$.(1)

    Bước 2. Nếu bài toán đúng với $n$, ta chứng minh bài toán đúng với $n-1$.

    Xét các số $a_1, a_2, …, a_n$ là một hoán vị thỏa đề bài của $1,2,…,n$.

    Khi đó nếu xóa bất kì số nào trong các số $a_1, …, a_n$ thì dãy còn lại vẫn thỏa điều kiện. (2)

    Từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh.

    Quy nạp lùi cũng là một trong những cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy tổng quát: $dfrac{a_1+a_2 + cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$.

    Bài tập rèn luyện.

    Bài 1. Ta gọi tổng các số tự nhiên từ 1 đến n là số tam giác. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số tam giác đồng thời là số chính phương.

    Bài 2. (Chọn đội tuyển PTNK 2014) Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất thỏa mãn các điều kiện sau:

    • $n$ không chia hết cho 3;
    • Bảng vuông $n times n$ ô không thể được phủ kín bằng 1 quân tetramino $1 times 4$ và các quân trimino kích thước $1 times 3$. Trong phép phủ các quân tetramino và trimino được phép quay dọc nhưng không được phép chườm lên nhau hoặc nằm ngoài ra bảng vuông.

    Bài 3. Có $n$ số tự nhiên từ 1 đến $n$ được viết thành một dòng theo một thứ tự nào đó. Mỗi bước thực hiện biến đổi như sau: nếu số đầu tiên là $k$ thì $k$ số đầu tiên sẽ được viết theo thứ tự ngược lại. Chứng minh rằng sau hữu hạn bước thì số đầu tiên của dòng là số 1.

    Bài 4. Trong cuộc họp có $2n$ ($n geq 2$) người, một số người bắt tay nhau và người ta đếm được có $n^2+1$ cái bắt tay. Chứng minh rằng có $n$ bộ ba, mà mỗi bộ ba đôi một bắt tay nhau.

    Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại các số nguyên $x, y, z$ phân biệt sao cho $x^2+y^2+z^2 = 14^n$.

    Bài 6. Trong một giải đấu tennis có 10 người tham dự, hai đối thủ gặp nhau đúng một trận. Chứng minh rằng, sau khi kết thúc giải có thể sắp xếp các tay vợt thành một hàng mà người đứng trước thắng người đứng sau.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Một Số Biện Pháp Phát Triển Ngôn Ngữ Cho Trẻ 3 Tuổi
  • Tiêm Huyết Tương Giàu Tiểu Cầu Prp Có Tác Dụng Gì? Chi Phí Giá Tiêm Khoảng Bao Nhiêu?
  • Tìm Hiểu Về Phương Pháp Tiêm Huyết Tương Giàu Tiểu Cầu (Prp) Điều Trị Thoái Hóa Khớp Gối Tại Vinmec
  • Điều Trị Rụng Tóc Hói Đầu Bằng Công Nghệ Prp
  • Liệu Pháp Cho Da Đầu Trị Rụng Tóc Từng Mảng
  • Quy Nạp Và Diễn Dịch Là Gì Trong Nghiên Cứu Khoa Học?

    --- Bài mới hơn ---

  • Bộ Kỹ Năng Và Phương Pháp Quản Lý Thời Gian Không Thể Thiếu Trong Doanh Nghiệp
  • Tìm Hiểu Phương Pháp Giáo Dục Reggio Emilia Trước Khi Chọn Trường Mầm Non Quốc Tế Cho Bé
  • Reggio Emilia Là Gì? Lợi Ích Của Phương Pháp Reggio Emilia
  • Cùng Cha Mẹ Tìm Hiểu Và Áp Dụng Hiệu Quả Phương Pháp Giáo Dục Reggio Emilia Cho Trẻ
  • Các Phương Pháp Rèn Luyện Trí Nhớ Hiệu Quả Nhất
  • Quy nạp và diễn dịch là hai phương pháp rất phổ biến trong khoa học tự nhiên cũng như khoa học xã hội. Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta cũng thường xuyên sử dụng hai phương pháp này để tư duy và diễn đạt ý kiến của mình.

    – Quy nạp là phương pháp đi từ tri thức về cái riêng đến tri thức về cái chung, từ tri thức ít chung đến tri thức chung hơn.

    Ví dụ: Nghiên cứu đặc điểm của từng cá thể lạc đà, từ đó rút ra kết luận về đặc điểm chung của loài lạc đà nói chung.

    Diễn dịch là phương pháp đi từ tri thức về cái chung đến tri thức về cái riêng, từ tri thức chung đến tri thức ít chung hơn.

    Ví dụ: Với những kiến thức chung về loài hoa, ta đi tìm hiểu cụ thể về riêng loài hoa hồng.

    Phương pháp quy nạp và phương pháp diễn dịch đều dẫn tới tri thức mới, từ cái biết rồi để tìm cái chưa biết, tức là khám phá ra tri thức mới.

    – Quy nạp là quá trình rút ra nguyên lý chung từ sự quan sát một loạt những sự vật riêng lẻ. Điều kiện khách quan của quy nạp là tính lặp lại của một loại hiện tượng nào đó.

    – Phương pháp quy nạp giúp cho việc khái quát kinh nghiệm thực tiễn về những cái riêng để có được tri thức kết luận chung. Quy nạp đóng vai trò lớn lao trong việc khám phá ra quy luật, đề ra các giả thuyết.

    – Để khắc phục hạn chế của quy nạp, cần phải có diễn dịch và bổ sung bằng diễn dịch.

    – Diễn dịch là quá trình vận dụng nguyên lý chung để xem xét cái riêng, rút ra kết luận riêng từ nguyên lý chung đã biết. Tuy nhiên, muốn rút ra kết luận đúng bằng con đường diễn dịch thì tiền đề phải đúng và phải tuân theo các quy tắc lô-gíc, phải có quan điểm lịch sử – cụ thể khi vận dụng cái chung vào cái riêng.

    – Nếu quy nạp là phương pháp dùng để khái quát các sự kiện và tài liệu kinh nghiệm thì diễn dịch là phương thức xây dựng lý thuyết mở rộng. Phương pháp diễn dịch có ý nghĩa quan trọng đối với các khoa học lý thuyết như toán học…

    Ngày nay, trên cơ sở diễn dịch, người ta xây dựng trong khoa học các phương pháp như phương pháp tiên đề, phương pháp giả thuyết – diễn dịch.

    II. Mối quan hệ giữa quy nạp và diễn dịch

    – Mặc dù quy nạp và diễn dịch là hai phương pháp nhận thức có chiều hướng đối lập nhau, nhưng chúng có mối quan hệ hữu cơ với nhau, làm tiền đề cho nhau, cái này đòi hỏi cái kia và bổ sung cho cái kia.

    Do đó, không nên tách rời quy nạp và diễn dịch, cường điệu phương pháp này mà hạ thấp phương pháp kia và ngược lại. Chúng phải đi đôi với nhau như tổng hợp và phân tích . Ta phải sử dụng mỗi cái đúng chỗ và chỉ như vậy thì mới có thể góp phần nhận thức được đúng đắn sự vật, hiện tượng.

    – Nhờ khái quát các tài liệu kinh nghiệm đã được tích lũy, quy nạp chuẩn bị căn cứ để dự kiến về nguyên nhân các hiện tượng nghiên cứu, về sự tồn tại một mối liên hệ tất yếu nhất định.

    Còn diễn dịch thì luận chứng về mặt lý thuyết cho những kết luận thu được bằng con đường quy nạp, loại trừ tính không chắc chắn của những kết luận ấy và biến chúng thành những tri thức tin cậy.

    Quy nạp giúp ta hiểu được cái chung, còn diễn dịch giúp ta đi từ cái chung để hiểu cái riêng. Quá trình nhận thức là đi từ cái riêng đến cái chung và từ cái chung đến cái riêng. Vì vậy, ta phải vận dụng tổng hợp cả quy nập và diễn dịch trong nhận thức và nghiên cứu khoa học.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Quy Đổi Trong Hóa Học Hữu Cơ Hay, Chi Tiết, Có Lời Giải.
  • Dạng 2: Sử Dụng Phương Pháp Quy Đổi Để Giải Bài Toán Este
  • Các Phương Pháp Quản Lý Kinh Doanh
  • Nội Dung Chủ Yếu, Đặc Điểm, Ưu Điểm Và Hạn Chế Của Các Phương Pháp Quản Lý
  • Khái Niệm Và Các Phương Pháp Quản Lý Hành Chính Nhà Nước
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

    --- Bài mới hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Giải Bài Tập Este Bằng Phương Pháp Quy Đổi
  • Bài Tập Về Phương Pháp Quy Đổi Hay Và Khó
  • Skkn.phương Pháp Quy Đổi Nguyên Tử .phan Thọ Nhật
  • Chuyên Đề Peptit Hay Và Khó
  • Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và hiệu quả hơn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.

    Giải SBT Toán 11 bài 1

    Bài 1.1 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N*)

    a) 2+5+8+…+(3n−1)=n(3n+1)/2

    Giải:

    a) Đặt vế trái bằng S n. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

    Giả sử đã có S k=k(3k+1)/2 với k≥1.

    Ta phải chứng minh S k+1=(k+1)(3k+4)/2

    Thật vậy

    =k(3k+1)/2+3k+2

    =(k+1)(3k+4)/2(đpcm)

    b) Đặt vế trái bằng làm tương tự như câu a).

    Bài 1.2 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )

    Giải:

    a) Đặt vế trái bằng S n

    Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1(4.1−1)/3=1

    Giả sử đã có S k=k(4k 2 −1)/3 với k≥1. Ta phải chứng minh

    Thật vậy, ta có

    =(2k+1)[k(2k−1)+3(2k+1)]/3

    =(k+1)(2k2+5k+3)/3

    =(k+1)(2k+3)(2k+1)/3

    b) Đặt vế trái bằng A n

    Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.

    Ta có:

    Bài 1.3 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có

    a) 2n 3−3n 2+n chia hết cho 6.

    b) 11 n+1+12 2n−1 chia hết cho 133.

    Giải:

    Giả sử đã có B k=2k 3−3k 2+k chia hết cho 6.

    Ta phải chứng minh B k+1=2(k+1) 3−3(k+1) 2+k chia hết cho 6.

    b) Đặt A n=11 n+1+12 2n−1 Dễ thấy A 1=133 chia hết cho 133.

    Giả sử A k=11 k+1+12 2k−1 đã có chia hết cho 133.

    Ta có

    Vì A k⋮133Ak⋮133 nên A k+1 ⋮133

    Bài 1.4 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)

    Giải:

    Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

    b) Với n = 1 thì sin 2α+cos 2 α=1 bất đẳng thức đúng.

    Giả sử đã có sin 2kα+cos 2k α≤1 với k≥1, ta phải chứng minh

    Thật vậy, ta có:

    sin2k+2α+cos2k+2αsin2k+2α+cos2k+2α

    Bài 1.5 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

    Giải:

    Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

    Phương pháp: Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

    a) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Với thì n≥3 bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

    ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

    Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

    b) HD: Dùng phép thử.

    Với n từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.

    Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi n = 7. Ta có thể làm tiếp để đi tới dự đoán: Với thì bất phương trình được nghiệm đúng. Sau đó chứng minh tương tự như câu a).

    c) Làm tương tự như câu a) và câu b).

    Bài 1.6 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Cho tổng

    S n=1/1.5+1/5.9+1/9.13+…+1/(4n−3)(4n+1)

    b) Dự đoán công thức tính S n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

    Giải:

    a) Tính

    b) Viết lại

    Ta có thể dự đoán S n=n/4n+1

    Bài 1.7 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Cho n số thực a 1,a 2,…,a n thoả mãn điều kiện

    −1<a i ≤0 với i=1, n¯

    Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có

    Giải:

    Với n = 1 bất đẳng thức đúng.

    Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥1 tức là

    Nhân hai vế của (1) với 1+a k+1 ta được

    Bài 1.8 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Chứng minh rằng với các số thực a 1,a 2,a 3,…,a n(n∈N∗), ta có

    Giải:

    Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥2. Đặt a 1+a 2+…+ak=A ta có

    --- Bài cũ hơn ---

  • Gd Cd: Gt Lý Luận Về Nhà Nước Và Pháp Luật Ly Luan Ve Nha Nuoc Va Phap Luat 0832 8584 Doc
  • 18 Câu Trắc Nghiệm Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Bài Tập Chứng Minh Quy Nạp
  • Phương Pháp Là Gì? Hãy Trình Bày Các Phương Pháp Nhận Thức Khoa Học
  • Bài 3: Suy Luận Quy Nạp
  • Chuyên Đề Quy Nạp Toán Học

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Sử Dụng Phương Pháp Qui Nạp Để Giải Một Số Bài Toán Không Mẫu Mực
  • Chương Iii. §1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Tìm Hiểu Phép Suy Luận Quy Nạp Không Hoàn Toàn Trong Dạy Học Nội Dung Số Tự Nhiên Ở Tiểu Học
  • Sai Lầm Thường Gặp Từ Phép Toán Quy Nạp Không Hoàn Toàn
  • Ở bài viết này các em sẽ được học chuyên đề quy nạp trong toán học với các dạng toán minh họa ứng dụng phương pháp quy nạp để giải quyết.

    Phương pháp quy nạp:

    Phương pháp quy nạp thực sự có hiệu lực với lớp các bài toán chứng minh một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n ∈ N.

    Để chứng minh một mệnh đề Q(n) đúng với mọi , ta thực hiện 2 bước theo thứ tự:

    : Kiểm tra mệnh đề là đúng với n = p

    : Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ p , ta phải chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.

    Các dạng toán minh họa phương pháp quy nạp:

    Dạng 1: Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh một đẳng thức

    VD1 : Chứng minh rằng : với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ,ta có :

    Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp qui nạp.

    Vậy đẳng thức (1) đúng với n=2.

    Giả sử (1) đúng với mọi n = k 2 , tức là :

    Ta CM (1) cũng đúng với n=k + 1 , tức là :

    Thật vậy : áp dụng giả thiết qui nạp , ta có :

    Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

    : Trong lời giải trên ta dùng kĩ thuật thêm bớt số hạng ở bước chứng minh (1) đúng vói n = k+1 ,làm như vậy ta đã sử dụng được giả thiết qui nạp của bài toán. Đây là một kĩ thuật hay có hiệu lực mạnh mẽ trong việc đơn giản hoá lời giải, được áp dụng rộng rãi trong quá trình giải nhiều dạng toán khác nhau ứng với nhiều chuyên đề khác nhau của toán phổ thông .

    Bài tập đề nghị:

    Bài 2: CMR: Mọi n ∈ N* ,ta có: $latex displaystyle 1+2+3+…+n=frac{nleft( n+1 right)}{2}$

    $latex displaystyle mathop{log }_{a}left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}…{{x}_{n}} right)=mathop{log }_{a}{{x}_{1}}+mathop{log }_{a}{{x}_{2}}+…+mathop{log }_{a}{{x}_{n}}$

    Dạng 2: Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh một bất đẳng thức

    Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

    : Phép chứng minh trên giả thiết h không phụ thuộc n . Trong trường hợp h phụ thuộc n , người ta chứng minh rằng bất đẳng thức bec_nu_li vẫn đúng (dùng công thức nhị thức niutơn ) .

    Bài tập đề nghị:

    Bài 1: Cho $latex displaystyle 0<alpha <frac{pi }{4left( n-1 right)}$

    Dạng 3: Dùng qui nạp để chứng minh một biểu thức dạng Un chia hết cho một số tự nhiên

    Giải

    Với n = 1 ta có : a1 = 13 + 3.12 + 5.1 = 9 chia hết cho 3 (đúng) .

    Giả sử (1) đúng với n = k (k≥1), tức là : a k = k 3 + 3k 2 + 5k chia hết cho 3

    Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, nghĩa là :

    Vậy (1) đúng với n = k+1, nên cũng đúng với ∀ n ∈ N*

    : Ta biết rằng một tổng chia hết cho một số khi từng số hạng của tổng chia hết cho số đó. Nhận thấy là một tổng các đa thức của k , Vậy để chứng minh ak+1 chia hết cho 3 ta phải thác triển ak+1, sau đó tiến hành thực hiện sắp xếp lại các số hạng , kết hợp với giả thiết qui nạp , viết lại ak+1 dưới dạng tổng các số hạng chia hết cho 3.

    Bài tập đề nghị:

    Bài 1: CMR: $latex displaystyle forall nin N,mathop{u}_{n}={{13}^{n}}-1vdots 6$

    Bài 2: CMR: $latex displaystyle forall nin N{{,12}^{2n+1}}+{{11}^{n+2}}vdots 133$

    Bài 3: CMR: $latex displaystyle left( n+1 right)left( n+2 right)…left( 2n right)$ chia hết cho $latex displaystyle 1.3.5…left( 2n-1 right),nin N$ .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cm Quy Nạp Toán Học Phuong Phap Cm Quy Nap Doc
  • Phương Pháp Cm Quy Nạp Cực Kỳ Dễ Chungmingquynap08 Doc
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học (Nâng Cao)
  • Phương Pháp Qui Nạp Ngược (Backward Induction) Là Gì? Ví Dụ Về Phương Pháp Qui Nạp Ngược
  • Cách Thức Trình Bày Đoạn Văn: Diễn Dịch
  • Phương Pháp Quy Nạp Trong Tiếng Tiếng Anh

    --- Bài mới hơn ---

  • Quy Nạp Trong Tiếng Tiếng Anh
  • Giáo Án Đại Số Giải Tích 11 Cơ Bản Tiết 37, 38: Phương Pháp Qui Nạp Toán Học
  • Tkgđ 13: Tôi Học Kinh Thánh Bằng Phương Cách Nào?
  • Đề Tài Phương Pháp Học Kinh Thánh
  • Chứng Minh 10 Bài Toán Bằng Quy Nạp
  • The simplest and most common form of mathematical induction infers that a statement involving a natural number n holds for all values of n.

    WikiMatrix

    They wrote books and articles promoting inductive method in all the sciences that were widely read by natural philosophers, university students and members of the public.

    QED

    Francis Bacon và sau này là Newton, đã đề xuất phương pháp khoa học quy nạp.

    Francis Bacon and then, later, Isaac Newton, had proposed an inductive scientific method.

    QED

    Khoảng 200 năm trước, Francis Bacon và sau này là Newton, đã đề xuất phương pháp khoa học quy nạp.

    About 200 years before, Francis Bacon and then, later, Isaac Newton, had proposed an inductive scientific method.

    ted2019

    Con người sử dụng phương pháp lý luận, diễn dịch và quy nạp, để đưa ra một cái kết luận mà họ nghĩ là đúng.

    People use logic, deduction, and induction, to reach conclusions they think are true.

    WikiMatrix

    Tuy không sử dụng thuật ngữ trên, nhưng triết gia Nelson Goodman là người đầu tiên giới thiệu phương pháp quân bình từ suy tưởng như một phương pháp chứng minh các nguyên tắc của logic quy nạp.

    Although he did not use the term, philosopher Nelson Goodman introduced the method of reflective equilibrium as an approach to justifying the principles of inductive logic.

    WikiMatrix

    Bên cạnh nhiều luận cứ của mình, Hume còn bổ sung một thiên kiến quan trọng cho cuộc tranh luận về phương pháp khoa học — đó là vấn đề quy nạp.

    Among his many arguments Hume also added another important slant to the debate about scientific method—that of the problem of induction.

    WikiMatrix

    Tuy nhiên phương pháp thống kê phát triển theo hướng đối lập – quy nạp từ các mẫu để các thông số lớn hơn hoặc tổng quy mô mẫu.

    Statistical inference, however, moves in the opposite direction—inductively inferring from samples to the parameters of a larger or total population.

    WikiMatrix

    Ngoài việc sử dụng các phương pháp nghiên cứu thực nghiệm và quy nạp, một số nhà tâm lý học – nhất là các nhà tâm lý học lâm sàng và tư vấn theo chủ nghĩa chiết trung (Eclecticism) hoặc chủ nghĩa diễn giải (interptivism) – đôi khi cũng dựa vào thông diễn học và các phương pháp diễn dịch khác.

    In addition, or in opposition, to employing empirical and deductive methods, some—especially clinical and counseling psychologists—at times rely upon symbolic interptation and other inductive techniques.

    WikiMatrix

    William Whewell, trong cuốn sách gây ảnh hưởng History of the Inductive Sciences (Lịch sử Khoa học Quy nạp, 1837) xem Kepler như là nguyên mẫu của thiên tài khoa học quy nạp; và trong cuốn Philosophy of the Inductive Sciences (Triết học Khoa học Quy nạp, 1840), Whewell tiếp tục gọi Kepler là hiện thân của những dạng tiến bộ nhất trong phương pháp khoa học.

    WikiMatrix

    Quan điểm này không xét toàn diện cấu trúc và phương pháp của toán học, các sản phẩm của toán học được đạt đến qua một tập hợp suy diễn nhất quán gồm các quy trình không hề nằm trong nghĩa quy nạp, ngay cả tại thời nay hay thời của Mill.

    It fails to fully consider the structure and method of mathematical science, the products of which are arrived at through an internally consistent deductive set of procedures which do not, either today or at the time Mill wrote, fall under the agreed meaning of induction.

    WikiMatrix

    Phương pháp này có thể được mở rộng để chứng minh các mệnh đề về các cấu trúc được thiết lập tổng quát hơn, chẳng hạn như cây; quá trình tổng quát này, được gọi là quy nạp cấu trúc, được sử dụng trong logic toán và khoa học máy tính.

    The method can be extended to prove statements about more general well-founded structures, such as trees; this generalization, known as structural induction, is used in mathematical logic and computer science.

    WikiMatrix

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Chứng Minh Quy Nạp – Các Dạng Khác
  • Skkn Một Số Biện Pháp Phát Triển Ngôn Ngữ Cho Trẻ 25
  • Chia Sẻ Kinh Nghiệm Trị Sẹo Rỗ Hiệu Quả Webtretho Thực Tế Của Chị Em
  • Tiêm Huyết Tương Giàu Tiểu Cầu Điều Trị Thoái Hóa Khớp Gối
  • Tế Bào Gốc Tự Thân Mọc Tóc (Prp)
  • Phương Pháp Chứng Minh Quy Nạp – Các Dạng Khác

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Quy Nạp Trong Tiếng Tiếng Anh
  • Quy Nạp Trong Tiếng Tiếng Anh
  • Giáo Án Đại Số Giải Tích 11 Cơ Bản Tiết 37, 38: Phương Pháp Qui Nạp Toán Học
  • Tkgđ 13: Tôi Học Kinh Thánh Bằng Phương Cách Nào?
  • Đề Tài Phương Pháp Học Kinh Thánh
  • Trong bài này, chúng ta tiếp tục tìm hiểu thêm và phương pháp quy nạp. Ngoài dạng quy nạp như đã biết ta còn một số dạng quy nạp khác như: Quy nạp mạnh, quy nạp bước nhảy, quy nạp lùi.

    Quy nạp mạnh được phát biểu như sau: Để chứng minh mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, ta thực hiện theo hai bước sau:

    • Chứng minh $P(n)$ đúng với $n=1$.
    • Giả sử $P(n)$ đúng với $1, 2, cdots, n$. Chứng minh $P(n+1)$ đúng.

    Ví dụ 1. Cho $x$ thỏa $x+dfrac{1}{x}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^n+dfrac{1}{x^n}$ là số nguyên với mọi $n$.

    Lời giải. 

    • Ta có $x + dfrac{1}{x}$ là số nguyên  đúng (theo giả thiết).
    • Giả sử $x^k + dfrac{1}{x^k}$ là số nguyên với mọi $k = overline{1,n}$. Ta cần chứng minh $x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}}$.
      • $(x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}} = (x+dfrac{1}{x})(x^n + dfrac{1}{n})  – (x^{n-1}+dfrac{1}{x^{n-1}})$.
      • Theo giả thiết quy nạp thì $x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}}$ là số nguyên.
    • Vậy ta có $x^n + dfrac{1}{x^n}$ là số nguyên với mọi $n$.

     

    Dạng kế tiếp là Quy nạp bước nhảy  được phát biểu như sau: Chứng minh mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi $n$, ta làm như sau:

    • Chứng minh $P(1), P(2), cdots, P(k)$ đúng.
    • Giả sử $P(n)$ đúng. Ta chứng minh $P(n+k)$ đúng.

    Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $M$ tồn tại số tự nhiên $n$ và cách chọn các dấu $+$ hoặc $-$ sao cho

    $M = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2$.

    Lời giải.

    • Khi $M = 1, 2, 3, 4$ ta có $1 = 1^2$, $2 = -1^2-2^2-3^2+4^2$, $3 = -1^2+2^2$ và $4 = 1^2-2^2-3^2+4^2$.
    • Giả sử đúng với $M$, tức là tồn tại $n$ thỏa $M = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2$, khi đó $M + 4 = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2 +(n+1)^2-(n+2)^2-(n+3)^2 + (n+4)^2$.

    Ví dụ 3.  Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì phương trình $a^2 + b^2 = c^n$ luôn có nghiệm trong tập các số nguyên dương.

    Lời giải. 

    • Rõ ràng nếu $n=1, 2$ thì phương trình luông có nghiệm nguyên dương.
    • Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương là $a, b, c$ với $n$ nào đó, tức là $a^2 + b^2 = c^n$.
      • Khi đó với $n+2$ thì xét $(ac), (bc), c$: $(ac)^2+(bc)^2 = c^2 (a^2+b^2) = c^{n+2}$.
      • $(ac, bc, c$ là nghiệm.
    • Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $n$.

    Dạng kế tiếp là Quy nạp lùi được phát biểu như sau:

    • Chứng minh $P(a_i)$ đúng với dãy $(a_i)$ là dãy con tăng thực sự của tập các số tự nhiên.
    • Giả sử $P(n)$ đúng, chứng minh $P(n-1)$ đúng.

    Ví dụ 4. 

    a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, …, 8 thành một dãy $a_1, a_2 ,…, a_8$ sao cho 2 số $a_i, a_j$ bất kì $(i < j)$ thì mọi số trong dãy nằm giữa $a_i$ và $a_j$ đều khác $dfrac{a_i + a_j}{2}$.

    b) Chứng minh rằng với $N$ số nguyên dương đầu tiên $1, 2, …, N$ luôn tìm được cách sắp thành dãy $a_1, a_2, …, a_N$ sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a).

    Lời giải.

    a) Một cách xếp thỏa đề bài là 26481537.

    b)

    Bước 1.Ta chứng minh bằng quy nạp với $n = 2^k$ thì luôn tồn tại một cách xếp thỏa đề bài.

    • Nếu $k = 1$, hiển nhiên đúng.

      Giả sử luôn tồn tại một cách xếp thỏa đề bài với $n = 2^k$, cách xếp đó là $a_1, a_2, …, a_n$.

      Ta chứng minh tồn tại một cách xếp với $n = 2^{k+1}$.

      Thật vậy xét hoán vị $(2a_1, 2a_2,…, 2a_n, 2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1)$ là một hoán vị của $1, 2, …, 2^{k+1}$. Ta chứng minh hoán vị trên thỏa đề bài.

      • Ta có nếu $a_i, a_j in {2a_1, 2a_2, …, 2a_n}$ theo giả thiết quy nạp không có số nào nằm giữa $a_i, a_j$ bằng $dfrac{1}{2}(a_i+a_j)$.
      • Nếu $a_i in {2a_1, …, 2a_n}, a_j in {2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1}$ thì $dfrac{1}{2}(a_i +a_j)$ không phải số nguyên.
      • Nếu $a_i, a_j in {2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1}$ theo giả thiết quy nạp thì cũng có số nào nằm giữa $a_i, a_j$ bằng $dfrac{1}{2}(a_i + a_j)$.

    Vậy bài toán đúng với $n = 2^k$.(1)

    Bước 2. Nếu bài toán đúng với $n$, ta chứng minh bài toán đúng với $n-1$.

    Xét các số $a_1, a_2, …, a_n$ là một hoán vị thỏa đề bài của $1,2,…,n$.

    Khi đó nếu xóa bất kì số nào trong các số $a_1, …, a_n$ thì dãy còn lại vẫn thỏa điều kiện. (2)

    Từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh.

    Quy nạp lùi cũng là một trong những cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy tổng quát: $dfrac{a_1+a_2 + cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$.

    Bài tập rèn luyện.

    Bài 1. Ta gọi tổng các số tự nhiên từ 1 đến n là số tam giác. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số tam giác đồng thời là số chính phương.

    Bài 2. (Chọn đội tuyển PTNK 2014)Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất thỏa mãn các điều kiện sau:

    • $n$ không chia hết cho 3;
    • Bảng vuông $n times n$ ô không thể được phủ kín bằng 1 quân tetramino $1 times 4$ và các quân trimino kích thước $1 times 3$. Trong phép phủ các quân tetramino và trimino được phép quay dọc nhưng không được phép chườm lên nhau hoặc nằm ngoài ra bảng vuông.

    Bài 3. Có $n$ số tự nhiên từ 1 đến $n$ được viết thành một dòng theo một thứ tự nào đó. Mỗi bước thực hiện biến đổi như sau: nếu số đầu tiên là $k$ thì $k$ số đầu tiên sẽ được viết theo thứ tự ngược lại. Chứng minh rằng sau hữu hạn bước thì số đầu tiên của dòng là số 1.

    Bài 4. Trong cuộc họp có $2n$ ($n geq 2$) người, một số người bắt tay nhau và người ta đếm được có $n^2+1$ cái bắt tay. Chứng minh rằng có $n$ bộ ba, mà mỗi bộ ba đôi một bắt tay nhau.

    Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại các số nguyên $x, y, z$ phân biệt sao cho $x^2+y^2+z^2 = 14^n$.

    Bài 6. Trong một giải đấu tennis có 10 người tham dự, hai đối thủ gặp nhau đúng một trận. Chứng minh rằng, sau khi kết thúc giải có thể sắp xếp các tay vợt thành một hàng mà người đứng trước thắng người đứng sau.

    Like this:

    Like

    Loading…

    Điều hướng bài viết

    --- Bài cũ hơn ---

  • Skkn Một Số Biện Pháp Phát Triển Ngôn Ngữ Cho Trẻ 25
  • Chia Sẻ Kinh Nghiệm Trị Sẹo Rỗ Hiệu Quả Webtretho Thực Tế Của Chị Em
  • Tiêm Huyết Tương Giàu Tiểu Cầu Điều Trị Thoái Hóa Khớp Gối
  • Tế Bào Gốc Tự Thân Mọc Tóc (Prp)
  • Review Prp – Huyết Thanh Giàu Tiểu Cầu Tại Bích Na Beauty (Phần 1)
  • Phương Pháp Qui Nạp Toán Học

    --- Bài mới hơn ---

  • Giáo Án Tự Chọn 11 Cơ Bản Tiết 14: Bài Tập Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Kỹ Năng Tư Duy Sáng Tạo Là Gì ? Cách Rèn Luyện Kỹ Năng Tư Duy
  • Giáo Án Môn Đại Số 11
  • Phương Pháp Nhận Thức Khoa Học
  • Các Phương Pháp Giải Bài Tập Về Este Trong Hóa Học Lơp 12
  • Phương pháp qui nạp toán học là một trong những phương pháp mạnh nhất để chứng minh các bài toán khó, thường dùng trong thi HSG môn toán các cấp. Trong chương trình toán học lớp 11, các em lại được học phương pháp này một cách chi tiết nhất. Tuy nhiên lượng bài tập có lời giải cũng như được phân dạng rõ ràng là chưa nhiều. Đó là lý do chúng tôi tổng hợp 2 tài liệu với khá nhiều bài tập có giải cho các em rèn luyện để nắm vững hơn về phương pháp qui nạp. Chúc các em học tốt.

    1. LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

    Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi ( được gọi là giải thiết qui nạp)

  • Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với ta thực hiện theo các bước sau:

    • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với (giải thiết qui nạp)
    • Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với [n=k+1], sau đó kết luận.

    2. DÙNG QUI NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC – BẤT ĐẲNG THỨC

    Đây là dạng toán khá phổ biến. Các em hãy xem một số ví dụ sau để nắm được ý tưởng chứng minh bằng qui nạp. Không phải bài nào cũng có thể chứng minh bằng phương pháp này, do đó dấu hiệu nhận biết là cực kì quan trọng.

    Để giải được bài toán chia hết bằng phương pháp qui nạp, trước tiên cần phải nắm được một số kiến thức sau:

    • Các số chẵn thì chia hết cho 2.
    • Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
    • Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
    • Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
    • Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
    • Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
    • Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
    • Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.
    • Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.
    • Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.
    • Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.
    • Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2,3,4,6,8 .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lập Luận Quy Nạp (Inductive) Là Gì Và Khác Biệt So Với Lập Luận Diễn Dịch (Deductive)
  • Khái Niệm Về Ma Trận ( Dành Cho Bậc Đh)
  • Một Số Biện Pháp Phát Triển Ngôn Ngữ Cho Trẻ Nhà Trẻ 24
  • Skkn Một Số Biện Pháp Phát Triển Ngôn Ngữ Cho Trẻ 3
  • Đừng Làm Đẹp Bằng Prp Cho Đến Khi Biết Được Điều Này
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100