Phương Pháp Uct Cho Hệ Phương Trình

--- Bài mới hơn ---

  • Nâng Cơ, Trẻ Hóa Không Phẫu Thuật
  • Công Nghệ Ultherapy: Nâng Cơ Mặt & Trẻ Hóa Da 2 In 1
  • Địa Chỉ Nâng Cơ Trẻ Hóa Ultherapy Được Sao Việt Yêu Thích
  • Tạo Sao Ultherapy Chống Lão Hóa An Toàn Và Hiệu Quả?
  • Vì Sao Trẻ Hóa Da, Nâng Cơ Mặt Bằng Ultherapy Được Nhiều Người Lựa Chọn?
  • Phương pháp UCT cho hệ phương trình

    Đây là hệ gồm hai tam thức bậc hai. Khi đó tất nhiên ta phải

    nghĩ tới $Delta $. Một tam thức có phân tích được nhân tử hay không phải xem

    $Delta x$ hoặc $Delta y$ có chính phương hay không. Nếu một trong 2 pt cho

    $Delta x$ hoặc $Delta y$ chính phương thì dễ dàng rồi, khi đó tìm nghiệm rồi

    phân tích nhân tử là ra được mối quan hệ giữa $x;y$ và thế vào pt còn lại thôi!

    Thế nhưng nếu cả 2 pt đều cho $Delta x;y$ không chính phương thì ta làm như

    nào? Khi đó phải dùng đến phương pháp $UCT$ – một công cụ rất mạnh gần như quét

    sạch tất cả các bài HPT. Ta sẽ chọn hằng số thích hợp nhân vào một pt sau đó cộng

    (trừ) với pt còn lại và ép cho $Delta $ chính phương.

    Tức là tìm $k$ sao cho $Delta $ của

    $left(PT(1)+k.PT(2)right)$ chính phương (là có thể phân tích thành nhân tử).

    Ví dụ 1:

    Giải hpt:

    $left{begin{matrix}14x^2-21y^2-6x+45y-14=0  &  & \

    35x^2+28y^2+41x-122y+56=0  &  &

     end{matrix}right.$

    Phần nháp:

    Ta thấy $a=14+35k$; $b=-21+28k$; $c=0$; $d=-6+41k$; $e=45-122k$; $f=-14+56k$.

    Số $k$ sẽ là nghiệm của pt:

    $$0+4(14+35k)(-21+28k)(-14+56k)=(14+35k)(45-122k)^2+(-21+28k)(-6+41k)^2$$

    $$Leftrightarrow k=frac{-15}{49}$$

    Như vậy ta sẽ lấy $PT(1)-frac{15}{49}PT(2)$ hay

    $49PT(1)-15PT(2)$

    Lời giải:

    Có: $49PT(1)-15PT(2)=…$

    $Leftrightarrow (161x-483y+218)(x+3y-7)=0$ (Tính $Delta x$  hoặc $Delta

    y$ sẽ phân tích được nhân tử)

    Tới đây dễ dàng tìm ra nghiệm của hpt là $(x;y)=(-2;3);(1;2)$. $blacksquare $

    Bài tập:

    Giải hpt:

    $228)$

    $left{begin{matrix}x^2+8y^2-6xy+x-3y-624=0  &  & \

    21x^2-24y^2-30xy-83x+49y+585=0  &  &

     end{matrix}right.$

    $229)$

    $left{begin{matrix}x^2+y^2-3x+4y=1  &  & \

    3x^2-2y^2-9x-8y=3  &  &  end{matrix}right.$

    $230)$

    $left{begin{matrix}y^2=(4x+4)(4-x)  &  & \

    y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0  &  &

     end{matrix}right.$

    $231)$ $left{begin{matrix}xy-3x-2y=16  &

     & \ x^2+y^2-2x-4y=33  &  &

     end{matrix}right.$

    $232)$ $left{begin{matrix}x^2+xy+y^2=3  &

     & \ x^2+2xy-7x-5y+9=0  &  &

     end{matrix}right.$

    $233)$

    $left{begin{matrix}(2x+1)^2+y^2+y=2x+3  &  & \

    xy+x=-1  &  &  end{matrix}right.$

    $234)$

    $left{begin{matrix}x^2+2y^2=2y-2xy+1  &  & \

    3x^2+2xy-y^2=2x-y+5  &  &  end{matrix}right.$

    $235)$

    $left{begin{matrix}(x-1)^2+6(x-1)y+4y^2=20  &  & \

    x^2+(2y+1)^2=2  &  &  end{matrix}right.$

    $236)$ $left{begin{matrix}2x^2+4xy+2y^2+3x+3y-2=0  &

     & \ x^2+y^2+4xy+2y=0  &  &

     end{matrix}right.$

    $237)$ $left{begin{matrix}2x^2+3xy=3y-13  &

     & \ 3y^2+2xy=2x+11  &  &

     end{matrix}right.$

    $238)$ $left{begin{matrix}4x^2+3y(x-1)=7  &

     & \ 3y^2+4x(y-1)=3  &  &  end{matrix}right.$

    $239)$ $left{begin{matrix}x^2+2=x(y-1)  &

     & \ y^2-7=y(x-1)  &  &

     end{matrix}right.$

    $240)$

    $left{begin{matrix}x^2+2xy+2y^2+3x=0  &  & \

    xy+y^2+3y+1=0  &  &  end{matrix}right.$

    Ví dụ 2:

    Giải hpt: $left{begin{matrix}x^3-y^3=35 & &

    \ 2x^2+3y^2=4x-9y & & end{matrix}right.$

    Lời giải:

    Có: $PT(1)-3PT(2)=…$

    $Leftrightarrow (x-2)^3=(y+2)^3$

    $Leftrightarrow x=y+5$

    Thay vào $PT(2)$ ta dễ dàng tìm ra nghiệm

    $(x;y)=(2;-3);(3;-2)$ $blacksquare $

    Phân tích lời giải:

    Bài này không giống dạng TQ, vậy ta đã thực hiện UCT như

    nào?

    Đánh giá:

    – Bậc của $x;y$ như nhau

    – $PT(1)$ có bậc cao hơn $PT(2)$

    Vậy ta sẽ nhân hằng số vào $PT(2)$ để $PT(1)+a.PT(2)$ đưa được

    về dạng $A^3=B^3$.

    Ta thực hiện:

    $PT(1)+a.PT(2)=x^3-y^3-35+2ax^2+3ay^2-4ax+9ay$ 

    Cần tìm $a$ sao cho vế trái có dạng $$(x+alpha )^3-(y+beta

    )^3=0$$

    $$Leftrightarrow x^3+3x^2alpha +3xalpha

    ^2+alpha^3-y^3-3y^2beta -3ybeta ^2-beta ^3=0$$ 

    Cân bằng bậc ta được: $left{begin{matrix}alpha ^3-beta

    ^3=-35  &  & \ 3alpha =2a  &  &

    \ 3alpha ^2=-4a end{matrix}right.Leftrightarrow

    left{begin{matrix}a=-3  &  & \

    alpha=-2  &  & \ beta=3 end{matrix}right.$

    Vậy ta sẽ lấy $PT(1)-3PT(2)$ …

    Bài tập:

    $241)$ Giải hpt: $left{begin{matrix}x^3+y^3=91 &

    & \ 4x^2+3y^2=16x+9y & & end{matrix}right.$

    --- Bài cũ hơn ---

  • Uống Rượu Không Say
  • Căng Da Mặt Bằng Chỉ Ultra V Lift, Bí Quyết Trẻ Hóa Dành Cho Hội Chị Em
  • Đến Gần Hơn Với Công Nghệ Căng Da, Nâng Cơ Tạo Hình Khuôn Mặt
  • Quy Trình Thiết Kế Gia Công Kim Loại Tấm
  • Gia Công Kim Loại Tấm / Gia Công Kim Loại Tấm
  • Phương Pháp Giải Hóa Học

    --- Bài mới hơn ---

  • Cấy Chỉ Chữa Thoát Vị Đĩa Đệm? Ai Nên Áp Dụng?
  • Phương Pháp Cấy Chỉ Chữa Thoát Vị Đĩa Đệm
  • Chữa Bệnh Xương Khớp Bằng Phương Pháp Cấy Chỉ Catgut Tại Việt Nam
  • Phương Pháp Cấy Chỉ Catgut Là Gì? Hiệu Quả Mà Nó Mang Lại Hiện Nay
  • Chữa Thấp Khớp Hiệu Quả Cao Bằng Phương Pháp Cấy Chỉ Catgut
  • Phương pháp Bảo toàn nguyên tố

    I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

    – Nguyên tắc chung của phương pháp là dựa vào định luật bảo toàn nguyên tố (BTNT); ” Trong các phản ứng hóa học thông thường, các nguyên tố luôn được bảo toàn”

    Điều này có nghĩa là: “Tổng số mol nguyên tử của một nguyên tố X bất kỳ trước và sau phản ứng là luôn bằng nhau”

    – Điểm mấu chốt của phương pháp là phải xác định được đúng các hợp phần có chứa nguyên tố X ở trước và sau phản ứng, áp dụng ĐLBT nguyên tố với X để rút ra mối quan hệ giữa các hợp phần từ đó đưa ra kết luận chính.

    Ph­¬ng ph¸p 4 Ph­¬ng ph¸p B¶o toµn nguyªn tè I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Nguyên tắc chung của phương pháp là dựa vào định luật bảo toàn nguyên tố (BTNT); " Trong các phản ứng hóa học thông thường, các nguyên tố luôn được bảo toàn" Điều này có nghĩa là: "Tổng số mol nguyên tử của một nguyên tố X bất kỳ trước và sau phản ứng là luôn bằng nhau" - Điểm mấu chốt của phương pháp là phải xác định được đúng các hợp phần có chứa nguyên tố X ở trước và sau phản ứng, áp dụng ĐLBT nguyên tố với X để rút ra mối quan hệ giữa các hợp phần từ đó đưa ra kết luận chính. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng 1. Từ nhiều chất ban đầu tạo thành một sản phẩm. Từ dữ kiện đề bài ® số mol của nguyên tố X trong các chất đầu ® tổng số mol trong sản phẩm tạo thành ® số mol sản phẩm. t0 - Hỗn hợp kim loại và oxit kim loại ® hyđroxit kim loại ® oxit (đầu) - Al và Al2O3 + các oxit sắt hỗn hợp rắn ® hyđroxit ® Al2O3 + Fe2O3 Þ (cuối) = + (đầu) ; (cuối) = Dạng 2. Từ một chất ban đầu tạo thành hỗn hợp nhiều sản phẩm Kim loại Từ dữ kiện đề bài ® tổng số mol ban đầu, số mol của các hợp phần đã cho ® số mol của chất cần xác định. - Axit có tính oxi hóa (HNO3, H2SO4 đặc, nóng) Muối + khí Þ nX (axit) = nX (muối) + nX (khí) (X: N hoặc S) - Khí CO2 (hoặc SO2) hấp thụ vào dung dịch kiềm: CO2 ® CO32- + HCO3- SO2 ® SO32- + HSO3- Þ = + Þ = + - Tính lưỡng tính của Al(OH)3 Trường hợp 1 Trường hợp 2 Al3+ Al(OH)3 + - Al(OH)3 + Al3+ Þ = + Þ = + - Hỗn hợp các oxit kim loại + CO (H2) hỗn hợp chất rắn + CO2 (H2O) Theo định luật bảo toàn nguyên tố với O: * Khi H = 100%: nO (oxit) = nO (rắn) + nhỗn hợp khí sau = nO (rắn) + nhỗn hợp khí trước mhỗn hợp khí sau - mhỗn hợp khí trước 16 * Khi H < 100%: nO (oxit) = nO (rắn) + cracking - Bài toán cracking ankan: Ankan X hỗn hợp Y Mặc dù có những biến đổi hóa học xảy ra trong quá trình cracking, và Y thường là hỗn hợp phức tạp (có thể có H2), do phản ứng cracking xảy ra theo nhiều hướng, với hiệu suất H < 100%. Nhưng ta chỉ quan tâm đến sự bảo toàn nguyên tố đối với C, H từ đó dễ dàng xác định được tổng lượng của 2 nguyên tố này. Thông thường đề bài cho số mol ankan X ® Dạng 3. Từ nhiều chất ban đầu tạo thành hỗn hợp nhiều sản phẩm cuối) đầu) Trong trường hợp này không cần thiết phải tìm chính xác số mol của từng chất, mà chỉ quan tâm đến hệ thức: = cuối) đầu) Tức là chỉ quan tâm đến tổng số mol của nguyên tố trước và sau phản ứng. Nếu biết Þ và ngược lại. Với dạng này, đề bài thường yêu cầu thiết lập một hệ thức dưới dạng tổng quát về số mol các chất. t0 Dạng 4. Bài toán điốt cháy trong hóa hữu cơ Xét bài đốt cháy tổng quát: CxHyOzNt + O2 ® CO2 + H2O + N2 nC = Theo ĐLBT nguyên tố: nH = 2. Þ = 2. + - 2. nN = 2. Phương pháp bảo toàn khối lượng nguyên tố với O được sử dụng rất phổ biến trong các bài toán hóa hữu cơ. * Chú ý: Đối với trường hợp đốt cháy hợp chất hữu cơ chứa Nitơ bằng không khí, lượng nitơ thu được sau phản ứng là: (sau phản ứng) = (từ phản ứng đốt cháy) + (từ không khí) Để áp dụng tốt phương pháp BTNT, cần chú ý một số điểm sau: * Hạn chế viết phương trình phản ứng mà thay vào đó nên viết sơ đồ phản ứng (sơ đồ hợp thức, có chú ý hệ số) biểu diễn các biến đổi cơ bản của các nguyên tố quan tâm. * Đề bài thường cho (hoặc qua dữ kiện bài toán sẽ tính được) số mol của nguyên tố quan tâm, từ đó xác định được lượng (mol, khối lượng) của các chất. III. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Hoà tan hỗn hợp X gồm 0,2 mol Fe và 0,1 mol Fe2O3 vào dung dịch HCl dư được dung dịch D. Cho dung dịch D tác dụng với NaOH dư thu được kết tủa. Lọc kết tủa, rửa sạch đem nung trong không khí đến khối lượng không đổi thu được m gam chất rắn Y. Giá tri của m là A. 16,0. B. 30,4. C. 32,0. D. 48,0. Giải: Sơ đồ : Theo BTNT với Fe: nFe2O3(Y) = m = 0,2.160 = 32,0 Đáp án C Ví dụ 2: Đun nóng hỗn hợp bột X gồm 0,06 mol Al, 0,01 mol Fe3O4, 0,015 mol Fe2O3 và 0,02 mol FeO một thời gian. Hỗn hợp Y thu được sau phản ứng được hoà tan hoàn toàn vào dung dịch HCl dư, thu được dung dịch Z. Thêm NH3 vào Z cho đến dư, lọc kết tủa T, đem nung ngoài không khí đến khối lượng không đổi thu được m gam chất rắn. Giá trị của m là A. 6,16. B. 6,40. C. 7,78. D. 9.46 Giải: Theo BTNT với Al: = = 0,03 mol Theo BTNT với Fe: = m = Đáp án D Ví dụ 3: Đốt cháy 9,8 gam bột Fe trong không khí thu được hỗn hợp rắn X gồm FeO, Fe3O4 và Fe2O3. Để hoà tan X cần dùng vừa hết 500ml dung dịch HNO3 1,6M, thu được V lít khí NO (sản phẩm khử duy nhất, do ở đktc). Giá trị của V là A. 6,16. B. 10,08. C. 11,76. D. 14,0. Giải: Sơ đồ phản ứng : Fe Theo BNTN với Fe: = nFe = 0,175mol Theo BNTN với N: nNO = - 3 = 0,5.1,6 - 3.0,175 = 0,275 mol V = 0,275. 22,4 = 6,16 Đáp án A Ví dụ 4: Lấy a mol NaOH hấp thụ hoàn toàn 2,64 gam khí CO2, thu được đúng 200ml dung dịch X. Trong dung dịch X không còn NaOH và nồng độ của ion là 0,2M. a có giá trị là : A. 0,06. B. 0,08. C. 0,10. D. 0,12. Giải: Sơ đồ phản ứng : CO2 + NaOH Na2CO3 + NaHCO3 Theo BNTN với C : Theo BNTN với Na: a = 2 += 2. 0,04 + 0,02 = 0,1 Đáp án C Ví dụ 5: Hoà tan hoàn toàn hỗn hợp gồm x mol FeS2 và y mol Cu2S vào axit HNO3 (vừa đủ), thu được dung dịch X (chỉ chứa hai muối sunfat) và khí duy nhất NO. Tỉ số x/y là A. 6/5. B. 2/1. C. 1/2. D. 5/6. Giải: X chỉ chứa 2 muối sunfat, khí NO là duy nhất S đã chuyển hết thành Sơ đồ biến đổi: Theo BTNT với S: 2x + y = 3.0,5x + 2y 0,5x = y x/y = 2/1 Đáp án B Ví dụ 6: Đốt cháy hoàn toàn m gam hỗn hợp X gồm C3H8, C4H6, C5H10 và C6H6 thu được 7,92 gam CO2 và 2,7 gam H2O, m có giá trị là A. 2,82. B. 2,67. C. 2,46. D. 2,31. Giải: Sơ đồ phản ứng: X {C3H8 , C4H6 , C5H10 , C6H6} Theo BTNT với C và H: m = mc + mH = Đáp án C Ví dụ 7: Tiến hành cracking ở nhiệt độ cao 5,8 gam butan. Sau một thời gian thu được hỗn hợp khí X gồm CH4 , C2H6, C2H4, C3H6 và C4H10. Đốt cháy hoàn toàn X trong khí oxi dư, rồi dẫn toàn bộ sản phẩm sinh ra qua bình đựng H2SO4 đặc. Độ tăng khối lượng của bình H2SO4 đặc là A. 9,0 gam. B. 4,5 gam. C. 18,0 gam. D. 13,5 gam. Giải: Sơ đồ phản ứng : C4H10H2O Khối lượng bình H2SO4 đặc tăng lên là khối lượng của H2O bị hấp thụ Theo BTNT với H: = 0,5.18 = 9,0 gam Đáp án A A. CH=C-CH2-CHO. B. CH3-CH2-CH2-CHO. C. CH2=CH-CH2-CHO. D. CH2=C=CH-CHO. Giải: = 0,55 mol; = 0,4 mol Nhận xét: X là anđehit đơn chức nO(X) = nX = 0,1 mol Theo ĐLBT nguyên tố với O : = = nX + 2- 2= 0,1+2.0,55-2.0,4 = 0,4 mol Nhận thấy: X là CH3 - CH2 - CH2 - CHO Đáp án B Ví dụ 9: X là một ancol no, mạch hở. Đốt cháy hoàn toàn 0,05 mol X cần 5,6 gam oxi, thu được hơi nước và 6,6 gam CO2. Công thức của X là A. C2H4(OH)2 B. C3H7OH. C. C3H6(OH)2 D. C3H5(OH)3 Giải: = 0,175mol; = 0,15mol Sơ đồ cháy: X + O2 CO2 + H2O Vì X là ancol no, mạnh hở = 0,05+0,15 = 0,2 mol Theo ĐLBT nguyên tố với O : nO(X) = = 2.0,15 + 0,2 - 2.0,175 = 0,15mol Nhận thấy X là C3H5(OH)3 Đáp án D Ví dụ 10: Đốt cháy hoàn toàn m gam một amin đơn chức X bằng lượng không khí vừa đủ thu được 1,76 gam CO2; 1,26 gam H2O và V lít N2 (đktc). Giả thiết không khí chỉ gồm N2 Và O2 trong đó oxi chiếm 20% về thể tích. Công thức phân tử của X và thể tích V lần lượt là A. X là C2H5NH2 ; V = 6,72 1ít. B. X là C3H7NH2 ; V = 6,944 1ít. C. X là C3H7NH2 ; V = 6,72 1ít. D. X là C2H5NH2 ; V = 6,944 1ít. Giải: = 0,04 mol; = 0,07 mol Nhận thấy: X là C2H5NH2 Sơ đồ cháy: 2C2H5NH2 + O2 4CO2 + 7H2O + N2 Theo ĐLBT nguyên tố với N: (từ phản ứng đốt cháy) = Theo ĐLBT nguyên tố với O: + (từ không khí) = = 4. 0,075 = 0,3 mol (thu được) = (từ phản ứng đốt cháy) + (từ không khí)= 0,01 + 0,3 = 0,31 mol V= 22,4.0,31 = 6,944 lít Đáp án D IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1 : Hỗn hợp chất rắn X gồm 0,1 mol Fe2O3 và 0,1 mol Fe3O4. Hoà tan hoàn toàn X bằng dung dịch HCl dư, thu được dung dịch Y. Cho NaOH dư vào Y, thu được kết tủa Z. Lọc lấy kết tủa, rửa sạch rồi đem nung trong không khí đến khối lượng không đổi thì thu được chất rắn có khối lượng là A. 32,0 gam. B. 16,0 gam. C. 39,2 gam. D. 40,0 gam. Câu 2 : Cho 4,48 lít khí CO (ở đktc) từ từ đi qua ống sứ nung nóng đựng 8 gam một oxit sắt đến khi phản ứng xảy ra hoàn toàn. Khí thu được sau phản ứng có tỉ khối so với hiđro bằng 20. Công thức của oxit sắt và phần trăm thể tích của khí CO2 trong hỗn hợp khí sau phản ứng lần lượt là: A. FeO; 75%. B. Fe2O3; 75%. C. Fe2O3; 65%. D. Fe3O4; 75%. Câu 3 : Hỗn hợp A gồm etan, etilen, axetilen và butađien-1,3. Đốt cháy hết m gam hỗn hợp A. Cho sản phẩm cháy hấp thụ vào dung dịch nước vôi dư, thu được 100 gam kết tủa và khối lượng dung dịch nước vôi sau phản ứng giảm 39,8 gam. Trị số của m là A. 13,8 gam. B. 37,4 gam. C. 58,75 gam. D. 60,2 gam. Câu 4 : Hoà tan hoàn toàn hỗn hợp gồm 0,12 mol FeS2 và a mol Cu2S vào axit HNO3 (vừa đủ), thu được dung dịch X (chỉ chứa hai muối sunfat) và khí duy nhất NO. Giá trị của m là A. 0,06. B. 0,04. C. 0,12. D. 0,075. Câu 5 : Đốt cháy hoàn toàn một thể tích khí thiên nhiên gồm metan, etan, propan bằng oxi không khí (trong không khí, oxi chiếm 20% thể tích), thu được 7,84 lít khí CO2 (ở đktc) và 9,9 gam nước. Thể tích không khí (ở đktc) nhỏ nhất cần dùng để đốt cháy hoàn toàn lượng khí thiên nhiên trên là A. 70,0 lít B. 78,4 lít. C. 84,0 lít. D. 56,0 lít. Câu 6 : Dẫn V lít (ở đktc) hỗn hợp X gồm axetilen và hiđro đi qua ống sứ đựng bột niken nung nóng, thu được khí Y. Dẫn Y vào lượng dư AgNO3 (hoặc Ag2O) trong dung dịch NH3 thu được 12 gam kết tủa. Khí đi ra khỏi dung dịch phản ứng vừa đủ với 16 gam brom và còn lại khí Z. Đốt cháy hoàn toàn khí Z thu được 2,24 lít khí CO2 (ở đktc) và 4,5 gam nước. Giá trị của V bằng A. 5,6. B. 13,44. C. 11,2. D. 8,96. Câu 7: Hoà tan hoàn toàn 0,3 mol hỗn hợp gồm Al và Al4C3 vào dung dịch KOH (dư), thu được x mol hỗn hợp khí và dung dịch X. Sục khí CO2 (dư) vào dung dịch X, lượng kết tủa thu được là 46,8 gam. Giá trị của x là A. 0,55. B. 0,60. C. 0,40. D. 0,45. Câu 8 : Hoà tan hoàn toàn m gam oxit FexOy bằng dung dịch H2SO4 đặc nóng vừa đủ, có chứa 0,075 mol H2SO4, thu được z gam muối và thoát ra 168ml khí SO2 (sản phẩm khử duy nhất, đo ở đktc). Oxit FexOy là A. FeO. B. Fe2O3 C. Fe3O4 D. FeO hoặc Fe3O4 Câu 9: Hoà tan hoàn toàn hỗn hợp gồm 0,27 gam bột nhôm và 2,04 gam bột Al2O3 trong dung dịch NaOH dư thu được dung dịch X. Cho CO2 dư tác dụng với dung dịch X thu được kết tủa Y, nung Y ở nhiệt độ cao đến khối lượng không đổi thu được chất rắn Z. Biết hiệu suất các phản ứng đều đạt 100%. Khối lượng của Z là A. 2,04 gam B. 2,31 gam. C. 3,06 gam. D. 2,55 gam. Câu 10 : Đun nóng 7,6 gam hỗn hợp A gồm C2H2, C2H4 và H2 trong bình kín với xúc tác Ni thu được hỗn hợp khí B. Đốt cháy hoàn toàn hỗn hợp B, dẫn sản phẩm cháy thu được lần lượt qua bình 1 đựng H2SO4 đặc, bình 2 đựng Ca(OH)2 dư thấy khối lượng bình 1 tăng 14,4 gam. Khối lượng tăng lên ở bình 2 là A. 6,0 gam B. 9,6 gam. C. 35,2 gam. D. 22,0 gam. Câu 11 : Đốt cháy hoàn toàn m gam hỗn hợp hai ancol đơn chức cùng dãy đồng đẳng dùng vừa đủ V lít khí O2 (đktc), thu được 10,08 lít CO2 (đktc) và 12,6 gam H2O. Giá trị của V là A. 17,92 lít. B. 4,48 lít. C. 15,12 lít. D. 25,76 lít. Câu 12 : Đốt cháy một hỗn hợp hidrocacbon X thu được 2,24 lít CO2 (đktc) và 2,7 gam H2O. Thể tích O2 đã tham gia phản ứng cháy (đktc) là A. 2,80 lít B. 3,92 lít. C. 4,48 lít. D. 5,60 lít. Câu 13 : Dung dịch X gồm Na2CO3, K2CO3, NaHCO3. Chia X thành hai phần bằng nhau : - Phần 1: tác dụng với nước vôi trong dư được 20 gam kết tủa. - Phần 2: tác dụng với dung dịch HCl dư được V lít khí CO2 (đktc). Giá trị của V là: A. 2,24. B. 4,48. C. 6,72. D. 3,36. Câu 14 : Chia hỗn hợp gồm : C3H6, C2H4, C2H2 thành 2 phần bằng nhau: - Đốt cháy phần 1 thu được 2,24 lít khí CO2 (đktc). - Hiđro hoá phần 2 rồi đốt cháy hết sản phẩm thì thể tích CO2 (đktc) thu được là: A. 2,24 lít. B. 1,12 lít. C. 3,36 lít. D. 4,48 lít. ĐÁP ÁN 1D 2B 3A 4A 5A 6C 7B 8C 9D 10D 11C 12B 13B 14A

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề: Sử Dụng Phương Pháp Bảo Toàn Electron Để Giải Bài Tập Kim Loại Tác Dụng Với Dung Dịch Axit
  • Giải Toán Bằng Định Luật Bảo Toàn Electron
  • Sự Đối Lập Giữa Phương Pháp Siêu Hình Và Phương Pháp Biện Chứng
  • Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Tạo Bản Đồ 3D Trong Excel
  • Nội Dung Và Hình Thức: Quan Hệ Biện Chứng Và Ý Nghĩa
  • Phương Pháp Đơn Giản Để Giải Zlp. Phương Pháp Gauss

    --- Bài mới hơn ---

  • 8 Bí Quyết Chinh Phục Và Phương Pháp Học Tốt Môn Ngữ Văn
  • Phương Pháp Học Anh Văn Hiệu Quả Nhất
  • Phương Pháp Học Anh Văn Giao Tiếp Hiệu Quả Thông Qua Bài Hát
  • ✅ Phương Pháp Học Autocad Hiệu Quả ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️
  • Phương Pháp Học Autocad Hiệu Quả Cho Người Mới
  • Các phép biến đổi trên được thực hiện một cách thuận tiện trong các bảng đặc biệt gọi là bảng đơn giản.

    Các khối sau được phân bổ trong một bảng simplex:

    Hãy viết lời giải cho vấn đề của ví dụ từ Phần 3.3 trong bảng đơn giản:

    Tất cả dữ liệu ban đầu có trong điều kiện toán học của bài toán được chuyển sang bảng đơn giản đầu tiên. Loại bỏ các biến tự do, chúng tôi nhận được một kế hoạch tham khảo

    Trong hàng cuối cùng của bảng đơn giản đầu tiên, chúng tôi viết tiêu chí ở dạng ẩn

    Chúng tôi loại trừ biến cơ bản x 4 khỏi tiêu chí này, đưa tiêu chí về dạng

    Để có giải pháp tối ưu, tất cả các ước tính phải không âm

    Giải pháp không tối ưu vì có xếp hạng tiêu cực.

    Các ước tính có thể được tính toán bằng công thức. Tích là vectơ hiện tại của ma trận điều kiện, sau đó ước lượng của biến tự do có thể được tính như là tích vô hướng của vectơ hệ số đối với các biến cơ bản bằng vectơ hiện tại của ma trận điều kiện trừ đi hệ số của hàm mục tiêu cho biến này. Vì vậy, chúng tôi nhận được giá trị

    Cột giải quyết là cột có ước tính nhỏ nhất (nếu nhiệm vụ là tối đa). Và để chọn dòng phân giải, bạn cần tìm trong số tất cả các dòng, biến mà từ đó, giảm dần, nhanh chóng chuyển về 0.

    Kết quả là, chúng tôi nhận được rằng cột phân giải là và hàng phân giải là. Điều này có nghĩa là một biến rời khỏi danh sách các biến cơ bản và một biến đi vào.

    Giải pháp không tối ưu vì có đánh giá âm -2.

    Giải pháp là tối ưu, bởi vì tất cả các điểm đều lớn hơn 0. Rõ ràng là không thể tăng được.

    Quy tắc xây dựng bảng Simplex

    Một bảng đơn giản được xây dựng cho một giải pháp tham chiếu.

    Hãy để các giải pháp tham khảo. Bảng simplex cho giải pháp này là

    Ma trận cơ sở B u003d (A 1, A 2, … A m)

    · Đối với các biến cơ bản, ma trận hiện tại là đơn vị.

    • · Bất kỳ cột nào.
    • · Véc tơ của các phần bên phải của các ràng buộc.
    • Các ước lượng cho các biến tự do không bằng 0

    Trong ô phía dưới bên phải – giá trị của tiêu chí

    Các bước của phương pháp Simplex

    • 1. Kiểm tra tính năng tối ưu ()
    • 2. Nếu vậy thì giải pháp không phải là tối ưu. Sau đó chọn cột có số điểm tối thiểu. Hãy gọi nó là giải quyết.
    • 3. Hàng phân giải được chọn theo tỷ lệ tối thiểu của các thành viên tự do với hệ số dương của cột phân giải. Biến cơ sở được thể hiện từ dòng này nằm ngoài danh sách biến cơ sở. Những, cái đó. x k đi ra ngoài và x s đi vào.

      4. Bảng đơn giản hiện tại được chuyển đổi theo quy tắc sau:

        Dòng phân giải được chia thành phần tử phân giải:
    • · Cột phân giải được thay thế bằng một cột duy nhất.
    • Tất cả các phần tử khác của bảng simplex có thể được tính toán lại theo quy tắc hình tứ giác:

    Một tứ giác được xây dựng trên đường chéo nối phần tử được tìm kiếm với phần tử đang phân giải. Khi đó giá trị mới của phần tử bằng giá trị trước đó trừ tích của các phần tử trên đường chéo đối diện chia cho phần tử phân giải.

    Hoặc, giá trị mới của một phần tử bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính trừ đi tích của các phần tử trên đường chéo đối diện và tất cả giá trị này chia cho phần tử phân giải.

    Chúng ta hãy xem xét lời giải của LPP theo phương pháp đơn giản và trình bày nó trong mối quan hệ với bài toán tối đa hóa.

    1. Theo điều kiện của bài toán, mô hình toán học của nó được vẽ ra.

    2. Mô hình đã biên dịch được chuyển sang dạng chuẩn. Trong trường hợp này, cơ sở với kế hoạch tham khảo ban đầu có thể được phân biệt.

    3. Mô hình chính tắc của bài toán được viết dưới dạng một bảng đơn giản sao cho tất cả các số hạng tự do đều không âm. Nếu kế hoạch cơ sở ban đầu được chọn, thì hãy chuyển sang bước 5.

    Bảng Simplex: phù hợp với hệ phương trình hạn chế và hàm mục tiêu ở dạng biểu thức được giải quyết so với cơ sở ban đầu. Dòng ghi các hệ số của hàm mục tiêu F được gọi là dòng F hay dòng của hàm mục tiêu.

    4. Tìm thiết kế tham chiếu ban đầu bằng cách thực hiện các phép biến đổi simplex với các phần tử có độ phân giải dương tương ứng với các quan hệ simplex tối thiểu, và không tính đến dấu hiệu của các phần tử của hàng F. Nếu trong quá trình biến đổi gặp phải một chuỗi 0, tất cả các phần tử của chúng, ngoại trừ số hạng tự do, đều là số không, thì hệ phương trình hạn chế của bài toán là không tương thích. Nếu tồn tại một hàng 0 mà ngoài số hạng tự do không có phần tử dương nào khác thì hệ phương trình có giới hạn không có nghiệm không âm.

    Việc giảm hệ thống (2.55), (2.56) đến một cơ sở mới sẽ được gọi là một phép biến đổi đơn giản. Nếu phép biến đổi simplex được coi là một phép toán đại số chính thức, thì có thể lưu ý rằng do kết quả của phép toán này, các vai trò được phân phối lại giữa hai biến có trong một hệ thống hàm tuyến tính nhất định: một biến từ phụ thuộc sang độc lập và biến kia, ngược lại, từ độc lập sang phụ thuộc. Một phép toán như vậy được gọi là bước khử Jordan trong đại số.

    5. Kế hoạch cơ sở ban đầu được tìm thấy được điều tra để có tính tối ưu:

    a) nếu không có phần tử âm nào trong hàng F (ngoài số hạng tự do) thì thiết kế là tối ưu. Nếu không có số 0, thì phương án tối ưu là phương án duy nhất; nếu có ít nhất một số 0 thì có vô hạn phương án tối ưu;

    b) nếu hàng F chứa ít nhất một phần tử âm, tương ứng với một cột gồm các phần tử không dương, thì<

    c) nếu có ít nhất một phần tử âm trong hàng F và có ít nhất một phần tử dương trong cột của nó, thì chúng ta có thể chuyển sang một phương án tham chiếu mới, gần với phương án tối ưu hơn. Để làm điều này, cột đã chỉ định phải được chỉ định là cho phép, bằng quan hệ đơn giản tối thiểu để tìm chuỗi cho phép và thực hiện một phép biến đổi đơn giản. Kiểm tra lại kế hoạch tham chiếu kết quả để có tính tối ưu. Quá trình được mô tả được lặp lại cho đến khi có được phương án tối ưu hoặc cho đến khi vấn đề không thể giải quyết được.

    Cột các hệ số cho một biến được bao gồm trong cơ sở được gọi là phân giải. Do đó, việc chọn biến được đưa vào cơ sở (hoặc chọn cột phân giải) bởi phần tử âm của hàng F, chúng ta đảm bảo hàm F tăng.

    Khó hơn một chút để xác định biến bị loại trừ khỏi cơ sở. Để thực hiện điều này, quan hệ của các phần tử tự do với các phần tử tích cực của cột phân giải được thực hiện (quan hệ như vậy được gọi là đơn giản) và trong số đó tìm thấy quan hệ nhỏ nhất, xác định dòng (phân giải) chứa biến bị loại trừ. Việc lựa chọn biến được loại trừ khỏi cơ sở (hoặc lựa chọn đường phân giải), theo quan hệ đơn giản tối thiểu, đảm bảo, như đã được thiết lập, tính tích cực của các thành phần cơ sở trong kế hoạch tham chiếu mới.

    Trong bước 3 của thuật toán, giả định rằng tất cả các phần tử của cột thành viên tự do là không âm. Yêu cầu này là không cần thiết, nhưng nếu nó được đáp ứng, thì tất cả các phép biến đổi simplex tiếp theo chỉ được thực hiện với các phần tử phân giải tích cực, thuận tiện cho tính toán. Nếu có số âm trong cột thành viên tự do, thì phần tử phân giải được chọn như sau:

    1) xem qua một hàng tương ứng với một số hạng tự do phủ định, ví dụ, một hàng t, và chọn bất kỳ phần tử phủ định nào trong đó, và cột tương ứng được coi là cột cho phép (chúng tôi giả định rằng các ràng buộc của vấn đề là tương thích);

    2) tạo thành tỷ lệ giữa các phần tử của cột các phần tử tự do với các phần tử tương ứng của cột phân giải có cùng dấu (quan hệ đơn giản);

    3) quan hệ đơn giản nhất được chọn. Nó sẽ xác định đường phân giải. Ví dụ: p -string;

    4) tại giao điểm của cột và hàng phân giải, phần tử phân giải được tìm thấy. Nếu phần tử của chuỗi y đang phân giải, thì sau khi biến đổi simplex, phần tử tự do của chuỗi này sẽ trở thành số dương. Nếu không, bước tiếp theo là tham chiếu lại chuỗi t. Nếu bài toán có thể giải được, thì sau một số bước nhất định trong cột số hạng tự do sẽ không còn phần tử phủ định nào.

    Tìm kế hoạch tham chiếu ban đầu, dạng chuẩn của LPP

    Ý tưởng cải tiến tuần tự của giải pháp đã hình thành cơ sở của một phương pháp phổ quát để giải các bài toán lập trình tuyến tính – phương pháp simplex hoặc phương pháp cải tiến tuần tự của phương án.

    Phương pháp simplex lần đầu tiên được đề xuất bởi nhà khoa học Mỹ J. Danzig vào năm 1949, nhưng ngay từ năm 1939, những ý tưởng của phương pháp này đã được phát triển bởi nhà khoa học Nga L.V. Kantorovich.

    Phương pháp simplex, cho phép giải bất kỳ bài toán lập trình tuyến tính nào, là phổ biến. Hiện tại, nó được sử dụng để tính toán trên máy tính, tuy nhiên, các ví dụ đơn giản sử dụng phương pháp simplex có thể được giải bằng tay.

    Để thực hiện phương pháp simplex – cải tiến nhất quán của giải pháp – cần phải nắm vững ba yếu tố cơ bản:

    Một phương pháp để xác định bất kỳ giải pháp cơ bản có thể chấp nhận ban đầu cho một vấn đề;

    Quy tắc chuyển đổi sang giải pháp tốt nhất (chính xác hơn, không phải là giải pháp tồi tệ nhất);

    Tiêu chí để kiểm tra tính tối ưu của giải pháp tìm được.

    Để sử dụng phương pháp simplex, bài toán lập trình tuyến tính phải được rút gọn về dạng chuẩn, tức là hệ thống các ràng buộc cần được biểu diễn dưới dạng phương trình.

    Tài liệu mô tả đầy đủ chi tiết: tìm kế hoạch cơ sở ban đầu (giải pháp cơ sở khả thi ban đầu), cũng như – bằng phương pháp cơ sở nhân tạo, tìm kế hoạch cơ sở tối ưu, giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng bảng đơn giản.

    58. Định lý chính của phương pháp đơn giản.

    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????

    59. Tối ưu thay thế trong ZLP, suy biến trong ZLP.

    Tính thoái hóa trong các bài toán lập trình tuyến tính

    Xem xét phương pháp simplex, chúng tôi giả định rằng bài toán lập trình tuyến tính là không suy biến, tức là mỗi kế hoạch cơ sở chứa đúng m thành phần dương, trong đó m là số ràng buộc trong bài toán. Trong thiết kế tham chiếu suy biến, số thành phần tích cực ít hơn số ràng buộc: một số biến cơ bản tương ứng với thiết kế tham chiếu đã cho nhận giá trị bằng không. Sử dụng cách giải thích hình học cho trường hợp đơn giản nhất, khi n – m u003d 2 (số biến không cơ bản là 2), có thể dễ dàng phân biệt một bài toán suy biến với bài toán không suy biến. Trong bài toán suy biến, nhiều hơn hai đường thẳng cắt nhau tại một đỉnh của đa diện điều kiện, được mô tả bằng phương trình có dạng xi u003d 0. Điều này có nghĩa là một hoặc một số cạnh của đa giác điều kiện được quy ước thành một điểm. Tương tự, đối với n – m u003d 3 trong bài toán suy biến, có hơn 3 mặt phẳng xi u003d 0 cắt nhau tại một đỉnh. Theo giả thiết bài toán là không sinh

    chỉ một giá trị được tìm thấy, được sử dụng để xác định chỉ số của vectơ điều kiện xuất phát từ cơ sở (suy ra từ số lượng các biến cơ bản). AT

    vấn đề suy biến có thể đạt được ở một số chỉ số cùng một lúc (đối với một số hàng). Trong trường hợp này, một số biến cơ sở sẽ bằng 0 trong kế hoạch tham chiếu được tìm thấy. Nếu bài toán lập trình tuyến tính trở nên suy biến, thì với sự lựa chọn sai vectơ điều kiện xuất phát từ cơ sở, một chuyển động vô hạn dọc theo cơ sở của cùng một phương án tham chiếu có thể xảy ra. Đây được gọi là hiện tượng lặp lại. Mặc dù trong các vấn đề thực tế của lập trình tuyến tính lặp lại là khá hiếm, khả năng của nó không bị loại trừ. Một trong những phương pháp xử lý suy biến là biến đổi bài toán bằng cách thay đổi “không đáng kể” véc tơ của các vế phải của hệ các ràng buộc về giá trị để bài toán trở nên không suy biến, đồng thời để sự thay đổi này không thực sự ảnh hưởng đến phương án tối ưu của bài toán. Các thuật toán được triển khai phổ biến hơn bao gồm một số quy tắc đơn giản để giảm khả năng xảy ra hoặc vượt qua các vòng lặp. Để biến xj là cơ bản. Xem xét

    tập hợp các chỉ số E0 bao gồm các chỉ số i đã đạt được. Tập hợp các chỉ số i thỏa mãn điều kiện này sẽ được ký hiệu là E0,. Nếu E0, bao gồm một phần tử, thì vectơ điều kiện Ai bị loại trừ khỏi cơ sở (biến xi được tạo thành không cơ bản). Nếu E0 bao gồm nhiều hơn một phần tử, thì tập E1 được bao gồm, bao gồm, mà nó đạt tới. Nếu E1 bao gồm một chỉ số k, thì biến xk được suy ra từ cơ sở. Nếu không, tập E2 được biên dịch, v.v. Trong thực tế, quy tắc nên được sử dụng nếu vòng lặp đã được phát hiện.

    Tối ưu thay thế trong ZLP ???????????????????????????

    60. Phương pháp cơ sở nhân tạo. Nhiệm vụ M. Định lý về mối liên hệ giữa các nghiệm của bài toán ban đầu và bài toán M.

    Phương pháp cơ sở nhân tạo.

    Phương pháp cơ sở nhân tạo được sử dụng để tìm một giải pháp cơ bản có thể chấp nhận được cho một bài toán lập trình tuyến tính khi điều kiện chứa các ràng buộc kiểu đẳng thức. Xem xét vấn đề:

    Cái gọi là “biến nhân tạo” Rj được đưa vào các ràng buộc và hàm mục tiêu như sau:

    ∑ajix + Rj u003d bj, j u003d 1, m; F (x) u003d ∑cixi-M∑Rj

    Khi các biến nhân tạo được đưa vào hàm mục tiêu trong phương pháp cơ sở nhân tạo, chúng được gán một hệ số M đủ lớn, điều này có nghĩa là một hình phạt cho việc đưa các biến nhân tạo vào. Trong trường hợp tối thiểu hóa, các biến nhân tạo được thêm vào hàm mục tiêu với hệ số M. Cho phép sử dụng các biến nhân tạo nếu chúng biến mất liên tục trong quá trình giải bài toán.

    Một bảng đơn giản, được biên dịch trong quá trình giải bằng phương pháp cơ sở nhân tạo, được gọi là mở rộng. Nó khác với dòng thông thường ở chỗ nó chứa hai dòng cho hàm mục tiêu: một dòng cho thành phần F u003d ∑cixi và một dòng cho thành phần M ∑Rj Hãy xem xét quy trình giải bài toán bằng một ví dụ cụ thể.

    Ví dụ 1. Tìm cực đại của hàm F (x) u003d -x1 + 2×2 – x3 theo các ràng buộc:

    x1≥0, x2≥0, x3≥0.

    Hãy để chúng tôi áp dụng phương pháp cơ sở nhân tạo. Chúng tôi đưa các biến nhân tạo vào các ràng buộc của bài toán

    2×1 + 3×2 + x3 + R1 u003d 3;

    x1 + 3×3 + R2 u003d 2;

    Mục tiêu hàm F (x) -M ∑Rj u003d -x1 + 2×2 – x3 – M (R1 + R2).

    Hãy biểu diễn tổng R1 + R2 từ hệ thức: R1 + R2 u003d 5 – 3×1 – 3×2 – 4×3, khi đó F (x) u003d -x1 + 2×2 – x3 – M (5 – 3×1 – 3×2 – 4×3).

    Khi biên dịch bảng đơn giản đầu tiên (Bảng 1), chúng ta sẽ giả định rằng các biến ban đầu x1, x2, x3 là không cơ bản và các biến nhân tạo được giới thiệu là cơ bản. Trong các bài toán tối đa hóa, dấu của hệ số của các biến không cơ bản trong hàng F và M bị đảo ngược. Dấu của giá trị không đổi trong đường thẳng M không thay đổi. Việc tối ưu hóa được thực hiện đầu tiên dọc theo hàng M. Việc chọn cột và hàng đứng đầu, tất cả các phép biến đổi simplex khi sử dụng phương pháp cơ sở nhân tạo được thực hiện như trong phương pháp simplex thông thường.

    Hệ số âm lớn nhất (-4) ở giá trị tuyệt đối xác định cột đứng đầu và biến x3, sẽ đi vào phần cơ sở. Tỷ lệ đơn giản tối thiểu (2/3) tương ứng với hàng thứ hai của bảng, do đó, biến R2 nên được loại trừ khỏi cơ sở. Phần tử trục được phác thảo.

    Trong phương pháp cơ sở nhân tạo, các biến nhân tạo bị loại khỏi cơ sở không còn được trả lại cho nó nữa, do đó, các cột phần tử của các biến đó bị bỏ qua. Chuyển hướng. 2. giảm đi 1 cột. Tính lại bảng này, sang bảng. 3., trong đó dòng M là không, nó có thể được loại bỏ. Sau khi loại bỏ tất cả các biến nhân tạo khỏi cơ sở, chúng ta thu được một giải pháp cơ bản có thể chấp nhận được của bài toán ban đầu, trong ví dụ được coi là tối ưu:

    x1 u003d 0; x2 u003d 7/9; Fmax u003d 8/9.

    Nếu khi loại bỏ chuỗi M, giải pháp không phải là tối ưu, thì quy trình tối ưu hóa tiếp tục và được thực hiện bằng phương pháp đơn giản thông thường. Hãy xem xét một ví dụ với các ràng buộc thuộc tất cả các loại: ≤, u003d, ≥

    Nhiệm vụ

    Tìm giá trị tối ưu của sản xuất sản phẩm loại A, B và C. Chi phí nguyên vật liệu trên một đơn vị sản xuất: A – 5, B – 2, C – 4. Khối lượng nguyên vật liệu – 2000 đơn vị. Chi phí thiết bị trên một đơn vị sản xuất: A – 4, B – 5, C – 4. Khối lượng thiết bị – 1000 chiếc. Lợi nhuận từ việc bán một đơn vị sản xuất: A – 10, B – 8, C – 12. Tiêu chí – lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp. Việc sản xuất sản phẩm A ít nhất phải là 100 chiếc. Sản xuất sản phẩm B ít nhất phải có 50 đơn vị.

    Lời giải của bài toán M simplex bằng phương pháp

    1) Xác định kế hoạch sản xuất tối ưu

    Gọi x1, x2, x3 lần lượt là lượng sản phẩm sản xuất loại A, B, C. Khi đó mô hình toán học của bài toán có dạng:

    F u003d 10 x1 + 8 x2 + 12 x3 -u003e cực đại

    Chúng tôi giới thiệu thêm các biến x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0 để biến bất phương trình thành bất phương trình.

    Để chọn cơ sở ban đầu, chúng tôi đưa ra các biến nhân tạo x8 ≥ 0, x9 ≥ 0 và một số rất lớn M (M -u003e ∞). Ta giải bằng phương pháp M.

    F u003d 10 x1 + 8 x2 + 12 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6 + 0 x7- M x8- M x9 -u003e max

    Lấy x4 u003d 2000 làm cơ sở; x5 u003d 1000; x8 u003d 100; x9 u003d 50.

    Chúng tôi nhập dữ liệu vào bảng simplex

    Bảng Simplex số 1

    Hàm mục tiêu:

    0 2000 + 0 1000 + (- M) 100 + (- M) 50 u003d – 150M

    Chúng tôi tính điểm bằng công thức:

    Δ1 u003d 0 5 + 0 4 + (- M) 1 + (- M) 0 – 10 u003d – M – 10

    Δ2 u003d 0 2 + 0 5 + (- M) 0 + (- M) 1 – 8 u003d – M – 8

    Δ3 u003d 0 4 + 0 4 + (- M) 0 + (- M) 0 – 12 u003d – 12

    Δ4 u003d 0 1 + 0 0 + (- M) 0 + (- M) 0 – 0 u003d 0

    Δ5 u003d 0 0 + 0 1 + (- M) 0 + (- M) 0 – 0 u003d 0

    Δ6 u003d 0 · 0 + 0 · 0 + (- M) · (-1) + (- M) · 0 – 0 u003d M

    Δ2 u003d 0 0 + 12 0 + 10 0 + 8 1 – 8 u003d 0 Δ3 u003d 0 0 + 12 1 + 10 0 + 8 0 – 12 u003d 0 Δ4 u003d 0 1 + 12 0 + 10 0 + 8 0 – 0 u003d 0 Δ5 u003d 0 · (-1) + 12 · 1/4 + 10 · 0 + 8 · 0 – 0 u003d 3 Δ6 u003d 0 · 1 + 12 · 1 + 10 · (-1) + 8 · 0 – 0 u003d 2 Δ7 u003d 0 · (-3) + 12 · 5/4 + 10 · 0 + 8 · (-1) – 0 u003d 7 Vì không có xếp hạng tiêu cực, kế hoạch là tối ưu. Lời giải bài toán: x1 u003d 100; x2 u003d 50; x3 u003d 175/2 u003d 87,5; x4 u003d 1050; x5 u003d 0; x6 u003d 0; x7 u003d 0; Fmax u003d 2450 Đáp số: x1 u003d 100; x2 u003d 50; x3 u003d 175/2 u003d 87,5; x4 u003d 1050; x5 u003d 0; x6 u003d 0; x7 u003d 0; Fmax u003d 2450 Tức là cần sản xuất x1 u003d 100 đơn vị sản phẩm loại A, x2 u003d 50 đơn vị sản phẩm loại B và x3 u003d 87,5 đơn vị sản phẩm loại B. Lợi nhuận tối đa sẽ là Fmax u003d 2450 đơn vị.

    Δ7 u003d 0 · 0 + 0 · 0 + (- M) · 0 + (- M) · (-1) – 0 u003d M

    ???????????????????????

    Định lý về mối quan hệ giữa các nghiệm của bài toán ban đầu và bài toán M.

  • V2: DE 57 – Hệ thống nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
  • B1 2. Toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều, ma trận của nó. Đa thức đặc trưng của một toán tử tuyến tính. Eigenvalues u200bu200bvà eigenvectors.
  • Các cấu trúc điều khiển cơ bản của lập trình có cấu trúc
  • Vé số 13 Góc giữa 2 đường thẳng, điều kiện song song và vuông góc. Chuyển đổi toán tử tuyến tính khi chuyển sang cơ sở mới
  • Vé 13. Các nhà khai thác tuyến tính. Ma trận toán tử tuyến tính.
  • Vé 26. Không gian con gốc. Tách một không gian tuyến tính thành một tổng trực tiếp của các không gian con gốc.
  • Vé 27. Cơ sở Jordan và ma trận Jordan của toán tử tuyến tính trong không gian phức.
  • Vé 35. Toán tử Hermitian và ma trận Hermitian. Phân rã Hermitian của một toán tử tuyến tính.
  • Vé 7 Tích của vectơ, hình chiếu của vectơ này lên vectơ khác. Khái niệm về không gian tuyến tính và không gian con, tiêu chí cho không gian con
  • Định lý (về sự lựa chọn của phần tử phân giải)

    Nếu có các phần tử âm trong một số cột của hàng thứ z, thì cột phân giải phải là cột có tích lớn nhất của giá trị tuyệt đối của hệ số trong hàng thứ z và tỷ lệ đơn giản tối thiểu của cột này.

    Chứng cớ:

    Hãy để phần tử là phần tử được phép. Theo kết quả của bước ngoại lệ Jordan đã sửa đổi, số hạng tự do trong chuỗi z sẽ là một số bằng. Vì và, dấu ngoặc đơn trong biểu thức này sẽ luôn dương. Và vì giá trị của hàm luôn bằng với số hạng tự do, nên dấu ngoặc này biểu thị phần bổ sung vào hàm thu được do bước thực hiện.

    Hàm càng lớn sẽ nhận được gia số ở mỗi bước, thì càng ít bước (tức là tính toán) sẽ được yêu cầu để đạt được tối ưu. Độ lớn của gia số này phụ thuộc vào giá trị tuyệt đối của hệ số và độ lớn của tỷ lệ đơn giản nhỏ nhất. Tức là cột phân giải sẽ là cột có sản phẩm tối đa.

    Ví dụ: lập trình tuyến tính:

    Tìm cực đại của hàm

    với những hạn chế

    Giải pháp: soạn một bảng Jordan.

    Vì các điều khoản miễn phí trong đó là tích cực, nên kế hoạch này là tài liệu tham khảo. Tuy nhiên, nó không phải là tối ưu vì hệ số hàng z là âm. Chúng tôi chọn một trong những tích có giá trị tuyệt đối lớn nhất và tỷ lệ đơn giản nhỏ nhất. Cột thứ ba được coi là đang phân giải, vì nó có giá trị tuyệt đối lớn nhất là 8 và tỷ lệ đơn giản: tương ứng (do đó, phần tử 1 trong cột thứ ba sẽ được phân giải). Chúng tôi thực hiện bước ngoại lệ Jordan đã sửa đổi và đi đến bảng sau.

    Đánh giá theo hệ số hàng z, trong bảng kết quả chưa đạt được phương án tối ưu. Lấy cột thứ hai có hệ số âm trong hàng z làm cột phân giải (chỉ cột đầu tiên có thể là hàng phân giải). Với phần tử 5 tìm được, chúng ta thực hiện bước tiếp theo.

    Trong hàng z, tất cả các hệ số đều dương, thiết kế thu được bằng cách cân bằng các biến phía trên với 0 và các biến phụ cho các phần tử tự do là tối ưu. Chúng tôi viết ra các giá trị của ẩn số chính từ bảng: Chúng tôi tính giá trị lớn nhất của hàm trong ô cuối cùng của bảng:

    Trong bảng cuối cùng, tất cả các định thức đều không âm. Điều này cho thấy rằng đối với các giá trị của ẩn số thì hàm đạt cực đại

    Người ta thường giả định rằng trên tập các phương án bài toán không có điểm nào tại đó mẫu số của hàm mục tiêu bằng không. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả định rằng.

    Trong một bài toán lập trình phân số tuyến tính, cực trị của hàm mục tiêu đạt được ở đỉnh của đa diện nghiệm. Sự tương đồng này với lập trình tuyến tính cho phép giải các bài toán phân số tuyến tính bằng phương pháp Stiefel.

    Các phép tính được thực hiện dưới dạng bảng Jordan. Trong trường hợp này, hai dòng dưới cùng được phân bổ cho hàm: ở dòng đầu tiên chúng ta viết các hệ số của tử số và ở dòng thứ hai – mẫu số. Bảng 1 tương ứng với nhiệm vụ ban đầu:

    Băng qua y tôi sự khác biệt giữa phần bên phải và bên trái của hệ thống hạn chế được biểu thị:

    Chúng ta sẽ gọi các biến tự do là các biến nằm ở hàng tiêu đề trên cùng của bảng Jordan. Cho các biến tự do có giá trị bằng không, ta được nghiệm cơ bản ban đầu:. Vectơ này không thể là một mặt phẳng tham chiếu, vì mẫu số của hàm mục tiêu trên nó bằng 0 ( z 2 u003d 0). Do đó, trong số các thành viên tự do của hệ thống hạn chế a 1 ,…, nhất thiết phải có số âm (nếu không thì nghiệm cơ bản sẽ là đường cơ sở).

    Bằng các bước của ngoại lệ Jordan đã sửa đổi, giống như khi giải một bài toán lập trình tuyến tính (xem), chúng ta tìm ra phương án ban đầu của bài toán. Kết quả là k các bước chúng ta đến với bảng 2:

    Trong bảng 2, tất cả các thành viên miễn phí b tôi không âm, đảm bảo rằng các biến cơ sở x 1 ,…, y m… Ngoài ra (do tính tích cực của mẫu số của hàm mục tiêu z 2 trên nhiều đường cơ sở). Phương án tham chiếu ban đầu là một vector có tọa độ. Giá trị hàm mục tiêu trên đường cơ sở ban đầu là.

    Lưu ý rằng nếu tại một trong các bước của Jordan ngoại lệ bất kỳ điều khoản miễn phí nào b tôi hóa ra là tiêu cực, và tất cả các yếu tố khác tôi-th lines là không âm, sau đó vấn đề sẽ không có một giải pháp do thiếu kế hoạch.

    Chúng ta hãy theo dõi hàm mục tiêu thay đổi như thế nào khi chuyển từ phương án cơ bản của bài toán sang phương án khác. Nó chỉ ra rằng dấu của sự khác biệt giữa các giá trị mới và cũ của hàm số trùng với dấu của định thức. Nếu. Bởi vì polytope giải pháp chỉ chứa một số lượng hữu hạn các thiết kế hỗ trợ, sau đó trong một số bước hữu hạn, chúng tôi sẽ đi đến thiết kế hỗ trợ tối ưu.

    Quá trình này chỉ có thể bị cản trở bởi tính không liên kết của khối đa diện giải pháp. Trong trường hợp này, hàm mục tiêu có thể có một điểm được gọi là cực trị (trong trường hợp này là cực đại). Tiệm cận cực đại của một bài toán lập trình phân số tuyến tính là giới hạn trên chính xác của hàm mục tiêu trên tập hợp các thiết kế, không đạt được đối với bất kỳ thiết kế nào. Trong trường hợp bài toán có một tiệm cận cực đại, trong miền thiết kế, luôn có thể tìm thấy một thiết kế như vậy (không phải một tham chiếu) mà trên đó hàm mục tiêu nhận một giá trị gần với tiệm cận cực đại một cách tùy ý.

    Phương pháp của Stiefel cho phép người ta không chỉ tìm thấy cực đại mà còn cả tiệm cận cực đại của bài toán lập trình phân số tuyến tính. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn quá trình chuyển đổi từ kế hoạch sang kế hoạch và tìm hiểu. Chọn một yếu tố cho phép trong jcột -th, chúng ta nên được hướng dẫn bởi nguyên tắc của mối quan hệ đơn giản tối thiểu. Những, cái đó. yếu tố cho phép trong j cột -th phải ở hàng mà tỷ lệ đơn giản là dương và nhỏ nhất.

    Bởi vì sau khi tìm thấy kế hoạch tham chiếu ban đầu, tất cả các phần phù hợp b tôi trở thành không âm, sau đó là phần tử phân giải j Cột thứ có thể là một trong những phần tử dương của nó (). Nếu tại mỗi bước của giai đoạn tìm phương án cơ sở tối ưu trong cột giải quyết đã chọn có (ít nhất một) phần tử dương, thì bài toán đó có cực đại (có thể nhiều hơn một).

    Tuy nhiên, nếu ở một trong các bước, một số ước tính nhỏ hơn 0 và tất cả các phần tử jcột thứ. Sau đó, trong cột này, được hướng dẫn bởi nguyên tắc của quan hệ đơn giản tối thiểu, phần tử phân giải không thể được chọn. Tăng giá trị của một biến tự do x j từ 0 trở lên (xem Bảng 2), chúng tôi luôn nằm trong vùng kế hoạch. Điều này là do thực tế là tăng biến x j không thay đổi dấu thành trừ trong bất kỳ biến cơ bản nào.

    Hãy để chúng tôi biểu thị bằng M giới hạn mà, tăng đơn điệu, hàm mục tiêu có xu hướng tại:. Số này là tiệm cận cực đại.

    Chúng ta hãy xem xét chi tiết cách tính toán lại các bảng simplex (sử dụng ví dụ về một lần lặp). Để có một bảng đơn giản được trình bày trên Hình 1… Bài toán tối đa hóa hàm mục tiêu được giải quyết. Cột được phép khớp với biến x 2và chuỗi phân giải là biến x 3 (số màu đỏ), tại giao điểm của chúng có một phần tử cho phép (một ô có nền màu xám). Điều đầu tiên chúng ta cần làm là thay thế. Dòng giải quyết cho biết biến nào nên được suy ra từ cơ sở (trong trường hợp của chúng tôi x 3) và cột giải quyết cho biết biến nào nên được đưa vào cơ sở (trong trường hợp của chúng tôi x 2). Trên Hình 2 thực tế thay thế được đánh dấu bằng một đường màu xanh lam.

    Bức tranh 1

    Bây giờ hãy đếm các phần tử trong dòng phân giải. Để làm điều này, chỉ cần chia mỗi người trong số họ thành một phần tử cho phép (trong ví dụ của chúng tôi 4 ). Và tất cả các phần tử của cột phân giải sẽ bằng 0, ngoại trừ phần tử trong hàng phân giải. (Nhìn Hình 2)

    Hình 2

    Phần còn lại của các ô trong bảng (ngoại trừ cột “Tỷ lệ”) được tính toán lại theo cái gọi là quy tắc hình chữ nhật, nghĩa của nó dễ hiểu nhất với một ví dụ. Giả sử bạn cần tính toán lại phần tử được khoanh tròn bởi Hình 1 phác thảo màu đỏ. Nhẩm vẽ các đường dọc và ngang từ nó đến giao lộ, với đường phân giải và cột phân giải. Các phần tử đứng tại các điểm giao nhau được khoanh tròn trong đường viền màu xanh lam (Xem Hình 1). Giá trị mới của phần tử “đỏ” sẽ bằng giá trị hiện tại của phần tử trừ đi tích của phần tử “xanh lam” chia cho phần tử phân giải (“xám”) (Xem Hình 1). I E: 18 – (64 * -1) / 4 = 34 , đây dấu ” * “hoạt động của phép nhân được hiển thị.

    Chúng tôi ghi giá trị mới vào vị trí trước đó (Xem Hình 2 viền đỏ).

    Hình 3

    Sử dụng quy tắc này, chúng tôi điền vào tất cả các phần tử trống của bảng (ngoại trừ cột “Mối quan hệ”) Hình 3… Sau đó, chúng tôi xác định một cột cho phép mới. Để làm được điều này, hãy phân tích dòng “Q” và vì nhiệm vụ của chúng tôi là tối đa, chúng tôi sẽ tìm thấy trong đó phần tử tích cực tối đa, nó sẽ xác định cột phân giải. Trong trường hợp của chúng tôi, nó là 3/2 … Tất cả các phần tử của cột phân giải được hiển thị bằng phông chữ màu đỏ (Xem Hình 3). Nếu sau lần lặp tiếp theo trong dòng “Q” sẽ không có phần tử tích cực – điều này có nghĩa là đã đạt được giải pháp tối ưu, các bước lặp được chấm dứt. Nếu nhiệm vụ của chúng ta là ở mức tối thiểu, thì cột phân giải sẽ được xác định bởi phần tử phủ định tối thiểu và nếu sau lần lặp tiếp theo trong hàng “Q” không có yếu tố tiêu cực, khi đó giải pháp tối ưu đã đạt được.

    Bây giờ chúng ta hãy điền vào cột “Mối quan hệ”. Để thực hiện việc này, hãy chia phần tử tương ứng (trong cùng một hàng) của cột “Quyết định” thành phần tử tương ứng của cột phân giải (Xem Hình 3). Ghi chúrằng hoạt động này được thực hiện chỉ cho tích cực yếu tố cột và hàng cho phép “Q” không tham gia vào hoạt động này. Nếu, sau một số lần lặp, không có phần tử tích cực nào trong cột giải quyết, thì vấn đề này là không thể giải quyết được do tính không liên kết của hàm mục tiêu và các lần lặp bị chấm dứt.

    Sau khi điền vào cột “Mối quan hệ”, hãy xác định một hàng giải quyết mới. Nó được xác định bởi mục nhỏ nhất trong cột Mối quan hệ. Trong trường hợp của chúng tôi, nó là 32 , tất cả các phần tử của dòng quyền được hiển thị bằng màu đỏ (Xem Hình 3). Tại thời điểm này, lần lặp tiếp theo kết thúc, ở lần lặp tiếp theo, biến x 2 sẽ được suy ra từ cơ sở (dòng phân giải mới cho chúng ta biết về điều này), vị trí của nó sẽ được thay thế bởi biến x 1 (cột giải quyết mới cho chúng ta biết về điều này) và tất cả các phép tính sẽ được lặp lại một lần nữa.

    Nếu câu lệnh chứa các ràng buộc có dấu ≥, thì chúng có thể được rút gọn về dạng ∑a ji b j bằng cách nhân cả hai vế của bất đẳng thức với -1. Chúng tôi đưa thêm m biến x n + j ≥0 (j u003d 1, m) và biến đổi các ràng buộc về dạng cân bằng

    (2)

    Giả sử rằng tất cả các biến ban đầu của bài toán x 1, x 2, …, x n là không cơ bản. Khi đó, các biến bổ sung sẽ là cơ bản và giải pháp cụ thể của hệ thống các ràng buộc có dạng

    x 1 u003d x 2 u003d … u003d x n u003d 0, x n + j u003d b j, j u003d 1, m. (3)

    Vì trong trường hợp này giá trị của hàm mục tiêu F 0 u003d 0, chúng ta có thể biểu diễn F (x) như sau:

    F (x) u003d ∑c i x i + F 0 u003d 0 (4)

    Bảng đơn giản ban đầu (bảng đơn giản 1) được biên soạn dựa trên các phương trình (2) và (4). Nếu các biến bổ sung x n + j đứng trước dấu “+”, như trong (2), thì tất cả các hệ số trước biến x i và số hạng tự do b j được nhập vào bảng simplex không thay đổi. Khi hàm mục tiêu được tối đa hóa, các hệ số của hàm mục tiêu được nhập vào dòng dưới cùng của bảng đơn giản với các dấu hiệu ngược lại. Các điều khoản miễn phí trong bảng simplex xác định giải pháp cho vấn đề.

    Thuật toán để giải quyết vấn đề như sau:

    Bước đầu tiên. Các phần tử của cột thành viên miễn phí được quét. Nếu tất cả chúng đều dương, nghĩa là một giải pháp cơ bản khả thi đã được tìm thấy và người ta sẽ chuyển sang bước 5 của thuật toán, tương ứng với việc tìm ra giải pháp tối ưu. Nếu bảng đơn giản ban đầu có các số hạng tự do âm, thì giải pháp không hợp lệ và bạn nên chuyển sang bước 2.

    Bước thứ 2. Để tìm ra một giải pháp khả thi được thực hiện, trong khi cần phải quyết định biến nào không cơ bản được đưa vào cơ sở và biến nào cần suy ra từ cơ sở.

    Bảng 1.

    biến cơ bản

    Thành viên tự do trong các ràng buộc

    Biến nonbasis

    Để thực hiện việc này, hãy chọn bất kỳ phần tử phủ định nào của cột thành viên tự do (để nó đứng đầu b 2 hoặc phân giải. Nếu không có phần tử phủ định nào trong hàng có phần tử tự do phủ định, thì hệ thống ràng buộc không tương thích và vấn đề không có giải pháp).

    Đồng thời, biến đầu tiên đổi dấu với mức tăng NP x l đã chọn sẽ bị loại trừ khỏi BP. Đây sẽ là x n + r, chỉ số r được xác định từ điều kiện

    những, cái đó. biến tương ứng với tỷ lệ nhỏ nhất của phần tử tự do với phần tử của cột xoay đã chọn. Mối quan hệ này được gọi là quan hệ đơn giản. Chỉ các mối quan hệ đơn giản tích cực mới nên được xem xét.

    Chuỗi tương ứng với biến x n + r được gọi là dẫn đầu, hoặc dễ dãi. Phần tử của bảng simplex a rl, đứng ở giao điểm của hàng đầu và cột hàng đầu, được gọi là phần tử đầu hoặc phần tử phân giải. Tìm phần tử pivot kết thúc hoạt động với mỗi bảng đơn giản liên tiếp.

    Bước thứ 3. Một bảng đơn giản mới được tính toán, các phần tử của chúng được tính toán lại từ các phần tử của bảng đơn giản của bước trước đó và được đánh dấu bằng một số nguyên tố, tức là b “j, a” ji, c “i, F” 0. Các phần tử được tính toán lại theo các công thức sau:

    Đầu tiên, bảng simplex mới sẽ điền vào hàng và cột đứng đầu trong bảng simplex trước đó. Biểu thức (5) có nghĩa là phần tử a “rl ở vị trí của phần tử đứng đầu bằng nghịch đảo của phần tử của bảng simplex trước đó. Các phần tử của hàng a ri được chia cho phần tử đứng đầu và các phần tử của cột a jl cũng được chia cho phần tử đứng đầu nhưng lấy dấu ngược lại. b “r và c” l được tính theo cùng một cách.

    Phần còn lại của các công thức rất dễ sử dụng.

    Hình chữ nhật được xây dựng theo bảng simplex cũ theo cách mà một trong các đường chéo của nó được hình thành bởi các phần tử được tính toán lại (a ji) và (a rl) (Hình 1). Đường chéo thứ hai được xác định duy nhất. Để tìm một phần tử mới a “ji, tích của các phần tử của đường chéo đối diện chia cho phần tử đứng đầu được trừ đi phần tử a ji (như được chỉ ra bởi dấu” – “bên cạnh ô). Các phần tử b” j, (j ≠ r) và c “i, (tôi ≠ l).

    Bước thứ 4. Việc phân tích một bảng đơn giản mới bắt đầu với bước đầu tiên của thuật toán. Hành động tiếp tục cho đến khi tìm được giải pháp cơ bản khả thi, tức là tất cả các thành viên của cột thành viên miễn phí phải tích cực.

    Bước thứ 5. Chúng tôi tin rằng một giải pháp cơ bản khả thi đã được tìm thấy. Nhìn vào các hệ số của dòng của hàm mục tiêu F (x). Một tiêu chí cho tính tối ưu của một bảng đơn giản là độ không âm của các hệ số đối với các biến không cơ bản trong hàng F.

    Nhân vật: 1. Quy tắc hình chữ nhật

    Nếu trong số các hệ số của hàng F có những hệ số âm (ngoại trừ hệ số chặn), thì bạn cần chuyển sang một giải pháp cơ bản khác. Khi tối đa hóa hàm mục tiêu, cơ sở bao gồm giá trị của các biến không cơ bản (ví dụ: x l), cột tương ứng với giá trị tuyệt đối lớn nhất của hệ số âm c l ở hàng dưới cùng của bảng đơn giản. Điều này giúp bạn có thể chọn biến có mức tăng dẫn đến cải thiện hàm mục tiêu. Cột tương ứng với biến x l được gọi là cột đầu. Đồng thời, biến x n + r đó bị loại ra khỏi cơ sở, chỉ số r của biến đó được xác định bởi quan hệ đơn giản tối thiểu:

    Hàng tương ứng với x n + r được gọi là hàng đầu và phần tử của bảng đơn giản a rl tại giao điểm của hàng đầu và cột đứng đầu được gọi là yếu tố hàng đầu.

    Bước thứ 6. theo các quy tắc đã nêu ở bước thứ 3. Quy trình tiếp tục cho đến khi một giải pháp tối ưu được tìm thấy hoặc người ta kết luận rằng nó không tồn tại.

    Nếu trong quá trình tối ưu hóa giải pháp trong cột đầu tiên, tất cả các phần tử đều không tích cực, thì hàng đầu tiên không thể được chọn. Trong trường hợp này, hàm trong miền các giải pháp khả thi của bài toán không bị giới hạn ở trên và F max -u003e & ∞.

    Nếu ở bước tiếp theo trong quá trình tìm kiếm cực trị, một trong các biến cơ bản trở thành bằng 0, thì nghiệm cơ bản tương ứng được gọi là suy biến. Trong trường hợp này, cái gọi là lặp lại xảy ra, được đặc trưng bởi thực tế là với một tần số nhất định, tổ hợp BP giống nhau bắt đầu lặp lại (giá trị của hàm F được bảo toàn) và không thể đi đến một giải pháp cơ bản mới có thể chấp nhận được. Looping là một trong những nhược điểm chính của phương pháp simplex, nhưng nó tương đối hiếm. Trên thực tế, trong những trường hợp như vậy, họ thường từ chối nhập biến cơ sở, cột tương ứng với giá trị tuyệt đối lớn nhất của hệ số âm trong hàm mục tiêu và chọn ngẫu nhiên một nghiệm cơ bản mới.

    Ví dụ 1. Giải quyết vấn đề

    Phương pháp Simplex và đưa ra một diễn giải hình học của quá trình giải.

    Giải thích bằng hình ảnh của giải pháp cho vấn đề được hiển thị trong Hình. 2. Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu đạt được ở đầu ODZP có tọa độ. Hãy giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng bảng simplex. Chúng ta nhân ràng buộc thứ hai với (-1) và đưa vào các biến bổ sung để đưa bất đẳng thức về dạng bình đẳng, sau đó

    Các biến ban đầu x 1 và x 2 được coi là không cơ bản, và x 3, x 4 và x 5 bổ sung được coi là cơ bản và chúng tôi tạo ra một bảng simplex (bảng simplex 2). Giải pháp tương ứng với bảng simplex. 2 là không hợp lệ; trục được vạch ra và được chọn theo bước 2 của thuật toán trước đó. Bảng đơn giản tiếp theo. 3 xác định giải pháp cơ bản có thể chấp nhận được; nó tương ứng với đỉnh của ODZP trong Hình. 2 Phần tử xoay được phác thảo và lựa chọn phù hợp với bước thứ 5 của thuật toán để giải quyết vấn đề. Chuyển hướng. 4 tương ứng với phương án tối ưu của bài toán, do đó: x 1 u003d x 5 u003d 0; x 2 u003d 4; x 3 u003d 3; x 4 u003d 8; F cực đại u003d 20.

    Nhân vật: 2. Giải pháp đồ họa của bài toán

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Pháp Của Ma Trận Bằng Phương Pháp Gauss Jordan. Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Bằng Phương Pháp Gauss
  • Phân Phối Chuẩn Trong Thống Kê Và Ý Nghĩa Trong Thực Tế, Giáo Dục
  • Đọc Câu 16: Nêu Cách Chia Mảnh, Đánh Số, Ghi Số Liệu Bản Đồ Gauss
  • Hệ Tọa Độ Gauss Và Những Ứng Dụng Của Hệ Tọa Độ Gauss
  • Nhận Xét Của Các Bạn Học Viên Về Cách Giảng Dạy Tại Tester Việt Trong Bài Kiểm Tra Cuối Khóa.
  • Giải Pháp Của Ma Trận Bằng Phương Pháp Gauss Jordan. Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Bằng Phương Pháp Gauss

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Đơn Giản Để Giải Zlp. Phương Pháp Gauss
  • 8 Bí Quyết Chinh Phục Và Phương Pháp Học Tốt Môn Ngữ Văn
  • Phương Pháp Học Anh Văn Hiệu Quả Nhất
  • Phương Pháp Học Anh Văn Giao Tiếp Hiệu Quả Thông Qua Bài Hát
  • ✅ Phương Pháp Học Autocad Hiệu Quả ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️
  • Chủ đề 7 “CÁC HỆ THỐNG THIẾT BỊ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH. PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN. “

    (Kỷ luật học tập “Giới thiệu về Đại số tuyến tính và Hình học Giải tích”)

    CÁC HỆ THỐNG THIẾT BỊ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH. PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN. Các khái niệm cơ bản

    Một phương trình với n biến được gọi là tuyến tínhnếu tất cả các biến ( x 1 , x 2 , … x n ) được đưa vào nó ở mức độ 1. Dạng tổng quát của một phương trình như vậy được viết chính thức như sau:

    =b.

    Bằng cách giải phương trình tuyến tính (*),,…,) giá trị của các biến, khi được thay thế vào phương trình (tức là khi x j được thay bằng với tất cả jtừ 1do n biến nó thành bản sắc. Chúng tôi nhấn mạnh rằng nghiệm của một phương trình có n biến luôn là một bộ n số và mỗi bộ n số như vậy là một điều phán quyết. Rõ ràng, nếu ít nhất một hệ số của các biến không bằng 0 thì phương trình (*) có nghiệm. Nếu không, nghiệm chỉ tồn tại với b u003d 0 và đây là tất cả các bộ n số tùy ý.

    Xét đồng thời m phương trình có dạng (*), tức là hệ thốngm phương trình đại số tuyến tính vớin biến… Cho mỗi phương trình thứ i, i u003d 1,2,…, m, được cho bởi các hệ số của các biến a i 1, a i 2,…, a in và một số hạng tự do b i, tức là có hình thức

    Khi đó, ở dạng tổng quát, hệ gồm m phương trình đại số tuyến tính với n biến có thể được viết dưới dạng:

    ………………………………………………………………………………

    …………………………………………………

    hoặc, giống nhau,

    =b tôi , tôi = 1,…, m.

    Nếu tất cả các số hạng tự do đều bằng 0, thì hệ thống (1) được gọi là đồng nhất, I E. có hình thức

    = 0,tôi = 1,…, m, (1 0 )

    nếu không thì – không đồng nhất… Hệ thống (1 0 ) là một trường hợp đặc biệt của hệ thống chung (1) .

    Bằng cách giải hệ phương trình (1) được gọi là một tập hợp có thứ tự ( ,,…,) giá trị của các biến, khi được thay thế vào các phương trình của hệ (1) (tức là khi x j được thay bằng , j u003d 1,…, n) tất cả chuyển đổi các phương trình này thành danh tính, tức là

    u003d b i với mọi i u003d 1,…, m.

    Hệ phương trình (1) được gọi là chung,nếu cô ấy có ít nhất một giải pháp. Nếu không, hệ thống được gọi là không nhất quán.

    Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình (1) sẽ được gọi là nhiều giải pháp của nó và ký hiệu X b (X 0 nếu hệ là thuần nhất). Nếu hệ thống không nhất quán, thì X b u003d .

    Nhiệm vụ chính của lý thuyết về hệ phương trình đại số tuyến tính là tìm xem liệu hệ (1) có nhất quán hay không và nếu có thì mô tả tập hợp tất cả các nghiệm của nó. Có những phương pháp phân tích các hệ thống như vậy cho phép bạn mô tả tập hợp tất cả các giải pháp trong trường hợp các hệ thống chung hoặc để đảm bảo rằng chúng không tương thích với nhau. Một phương pháp phổ biến như vậy là phương pháp loại bỏ hoàn toàn tuần tự các ẩn số hoặc phương phápGauss – Jordanmà chúng ta sẽ nghiên cứu chi tiết.

    Trước khi tiếp tục mô tả phương pháp Gauss – Jordan, chúng tôi trình bày một số định nghĩa và phát biểu hữu ích cho những gì sau đây.

    Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu họ có cùng một tập hợp các giải pháp. Nói cách khác, mọi giải pháp cho hệ thống này là giải pháp cho hệ thống khác và ngược lại. Tất cả các hệ thống không tương thích được coi là tương đương.

    Các định nghĩa về sự tương đương và tập nghiệm của các hệ có dạng (1) ngay lập tức hàm ý tính đúng đắn của các khẳng định sau đây, mà chúng ta xây dựng thành một định lý.

    Định lý 1.Nếu hệ (1) chứa một phương trình với sốk, 1k m, như vậy màa kj = 0 jsau đó

    Tính hợp lệ của các khẳng định của định lý trở nên hiển nhiên nếu chúng ta nhận thấy rằng phương trình thứ k có dạng

    Định lý 2.Nếu ta thêm vào một phương trình của hệ (1) một phương trình khác cùng hệ, nhân với một số bất kỳ, thì ta được một hệ phương trình tương đương với hệ ban đầu.

    Chứng cớ. Ví dụ, chúng ta hãy nhân phương trình thứ hai của hệ (1) với một số và thêm nó vào phương trình đầu tiên. Kết quả của phép biến đổi này, chúng ta thu được hệ (1 ‘), trong đó tất cả các phương trình, bắt đầu từ phương trình thứ hai, không thay đổi và phương trình thứ nhất có dạng sau

    = b 1 + b 2 .

    Rõ ràng, nếu một số bộ ( ,,…,) của các giá trị của biến biến tất cả các phương trình của hệ (1) thành đồng nhất, sau đó nó biến tất cả các phương trình của hệ (1 ‘) thành đồng nhất. Ngược lại, nghiệm (x ‘1, x’ 2,…, x ‘j,…, x’ n) của hệ (1 ‘) cũng là nghiệm của hệ (1), vì hệ (1) nhận được từ hệ (1’) sử dụng một phép biến đổi tương tự, khi phương trình thứ hai của hệ (1 ‘) được thêm vào phương trình thứ nhất của hệ (1’), nhân với số (- ).

    Phát biểu sau đây được chứng minh theo cách tương tự.

    Định lý 2 ‘. Phép nhân một phương trình tùy ý của hệ (1) với bất kỳ số nào khác 0 biến hệ (1) thành một hệ phương trình tương đương.

    Định lý 2 và 2 ‘cho hai loại biến đổi, hệ thống nào (1) đã phải chịu, trong khi vẫn còn tương đương:

    và) phép nhân (hoặc chia) một phương trình tùy ý của hệ (1) với bất kỳ số nào khác 0;

    b) cộng (hoặc trừ) với một phương trình của một phương trình khác, nhân với một số.

    Các phép biến đổi a) và b) như vậy được gọi là biến đổi cơ bản hệ phương trình (1).

    Nếu các phép biến đổi cơ bản được áp dụng cho hệ phương trình (1) nhiều lần, thì hệ quả hiển nhiên cũng sẽ tương đương với hệ phương trình ban đầu.

    Hệ phương trình (1) có thể được viết dưới dạng bảng:

    Một bảng số hình chữ nhật bao gồm các hệ số a ij cho các ẩn số của hệ (1) được gọi là ma trận hệ thống (1) và được ký hiệu là A (nó chứa m hàng và n cột), cột các thành viên tự do được ký hiệu là b. Một bảng hình chữ nhật bao gồm các hệ số a ij cho các ẩn số và từ một cột các số hạng tự do b của hệ thống (1) được gọi là ma trận mở rộnghệ thống (1) và được ký hiệu là (nó chứa m hàng và (n + 1) cột), tức là u003d (A, b). Trong hàng thứ i của ma trận chứa tất cả nổi danh các tham số đặc trưng cho phương trình thứ i của hệ (1), i u003d 1,…, m. Cột thứ j của ma trận A chứa tất cả các hệ số của x j chưa biết xảy ra trong hệ (1).

    Các số a ij được gọi là yếu tố ma trận A. Phần tử a ij nằm ở hàng thứ i và trong cột thứ j của ma trận A. Thông thường người ta nói rằng phần tử a ij là ở ngã tưtôi – dòng oh vàj – cột thứ của ma trậnA. Nếu tất cả các phần tử của một hàng (cột) của ma trận A (trừ một) đều bằng 0 và một phần tử khác không bằng một, thì một hàng (cột) như vậy được gọi là Độc thân (Độc thân).

    Các phép biến đổi cơ bản sau đây của bảng (2) tương ứng với các phép biến đổi cơ bản của hệ (1):

    và) phép nhân (hoặc chia) tất cả các phần tử của một hàng tùy ý trong bảng (2) với bất kỳ số nào khác 0,

    b) cộng (hoặc trừ) với một dòng (từng phần tử) của dòng khác, nhân với một số.

    Phương pháp loại bỏ hoàn toàn tuần tự các ẩn số (Phương pháp Gauss-Jordan)

    Kết quả của bất kỳ biến đổi cơ bản nào, chúng tôi nhận được bàn mới, trong đó thay vì dòng mà họ đã thêm vào (hoặc nhân với bất kỳ số nào khác 0), hãy viếtdòng mớivà các dòng còn lại (kể cả dòng đã được thêm vào) được viết không thay đổi… Bảng mới tương ứng với hệ phương trình, hệ thống ban đầu tương đương.

    Áp dụng các phép biến đổi cơ bản, bảng (2) và theo đó, hệ thống (1) có thể được đơn giản hóa để việc giải hệ ban đầu trở nên dễ dàng. Phương pháp được đề xuất dựa trên điều này.

    Phương pháp loại bỏ hoàn toàn liên tiếp các ẩn số, hoặc phương pháp Gauss-Jordan, là một phương pháp phổ biến để phân tích bất kỳ hệ phương trình đại số tuyến tính nào (chưa được biết trước, tương thích hay không tương thích). Nó cho phép bạn giải quyết các hệ thống chung hoặc xác minh tính không nhất quán của các hệ thống không nhất quán.

    Lưu ý sự khác biệt cơ bản giữa phương pháp được đề xuất để giải hệ phương trình đại số tuyến tính so với phương pháp giải một phương trình bậc hai chuẩn. Nó được giải bằng cách sử dụng các công thức nổi tiếng, trong đó các ẩn số được biểu diễn thông qua các hệ số của phương trình. Trong trường hợp hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát, chúng ta không có công thức nào như vậy và sử dụng để tìm nghiệm phương pháp lặp lại, hoặc là phương pháp lặp lại, hoặc là phương pháp lặp lại… Các phương pháp như vậy không xác định công thức, mà là một chuỗi các hành động.

    Phương pháp Gauss – Jordan là một triển khai tuần tự của chuỗi các bước lớn cùng loại (hoặcsự lặp lại). Phương pháp lặp cụ thể này là một trong nhiều phương pháp lặp được đề xuất bởi cho nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính dạng (1). Nó bao gồm giai đoạn đầu, giai đoạn chính và giai đoạn cuối cùng… Giai đoạn chính chứa lặp đi lặp lại lần lặp là tập hợp các hành động cùng kiểu.

    Giai đoạn đầu tiên bao gồm việc xây dựng bảng I (0) của biểu mẫu (2) và sự lựa chọn trong đó yếu tố hàng đầu– bất kỳ nonzero nàohệ số cho các biến từ bảng (2). Cột và hàng tại giao điểm đặt trụ được gọi là dẫn đầu… (Cho phần tử a i 0 j 0 được chọn. Khi đó i 0 là hàng đầu, j 0 là cột đứng đầu.) Chuyển đến màn hình chính. Lưu ý rằng trục xoay thường được gọi là dễ dãi.

      Chuyển đổi cột hàng đầu (tức là cột chứa phần tử tổng hợp) thành đơn vịvới 1 ở vị trí của trục bằng cách tuần tự trừ đi hàng đầu (tức là hàng chứa phần tử đứng đầu) nhân với một số số từ các hàng còn lại trong bảng. Chinh no hàng đầu được chuyển đổi bằng cách chia nó thành phần tử bởi trục quay.

      Một bảng mới I (k) được viết, (k là số lặp), trong đó tất cả các cột từng dẫn đầu đều là cột duy nhất.

      Kiểm tra xem có thể chọn trong bảng I (k) hay không phần tử hàng đầu (phân giải) mới.Theo định nghĩa thì nó là bất kỳ phần tử nào khác không nằm ở giao điểm của một hàng và một cột vẫn còn.

    Sân khấu chính gồm các dãy lặp cùng kiểu với các số k u003d 1, 2,…. Hãy để chúng tôi mô tả chi tiết các bước lặp của phương pháp Gauss – Jordan.

    Khi bắt đầu mỗi lần lặp, một bảng I nhất định có dạng (2) được biết đến; phần tử đứng đầu (phân giải) và theo đó, cột đứng đầu và hàng đứng đầu được chọn trong đó. Ngoài ra, có thông tin về những hàng và cột đã từng ở dẫn đầu. (Vì vậy, ví dụ: sau giai đoạn đầu, tức là ở lần lặp 1, I (0) đã biết, phần tử đứng đầu (phân giải) a i 0 j 0 và i 0 là hàng đầu, j 0 là cột dẫn đầu.)

    Nếu lựa chọn như vậy là có thể, thì cột và hàng, tại giao điểm có phần tử đứng đầu (cho phép), được gọi là dẫn đầu… Sau đó, phép lặp được lặp lại với một bảng mới I (k), tức là các bước từ 1 đến 3 được lặp lại với một bảng I (k) mới. Trong trường hợp này, một bảng mới I (k +1) được xây dựng.

    Nếu không thể chọn một phần tử tổng hợp mới, sau đó tiến hành bước cuối cùng.

    Giai đoạn cuối cùng. Để thực hiện r lặp lại, thu được bảng I (r), bao gồm ma trận các hệ số cho các biến A (r) và một cột các số hạng tự do b (r), và trong đó không thể chọn một trục mới, tức là phương pháp đã dừng… Lưu ý rằng phương pháp bắt buộco sẽ dừng lại cho số bước hữu hạn từ r không được lớn hơn min (m, n).

    Các tùy chọn để dừng phương pháp là gì? Ý bạn là gì “không thể chọn một trục mới”? Điều này có nghĩa là sau lần lặp thứ r trong ma trận A (r) của một hệ thống mới tương đương với hệ thống (1),

    a) tất cả các dòng A (r) đều dẫn đầu, tức là mỗi dòng chứa một và chính xác một đơn vị, không còn đứng ở dòng nào khác,

    b) có các chuỗi trong A (r), chỉ bao gồm các số không.

    Hãy xem xét các tùy chọn này.

    a) Trong trường hợp này r u003d m, m n. Bằng cách sắp xếp lại các hàng và đánh số lại các biến (tức là sắp xếp lại các cột), chúng ta có thể biểu diễn bảng I (r) là

    Chúng tôi nhấn mạnh rằng trong bảng (3) mỗi biến có số i không vượt quá r chỉ xảy ra trong một hàng. Bảng (3) tương ứng với một hệ phương trình tuyến tính có dạng

    x 1 +

    u003d b (r) 1,

    x 2 +

    u003d b (r) 2,

    ………………………, (4)

    x r +

    u003d b (r) r,

    trong đó mỗi biến với số i, không cao cấpr, được biểu diễn duy nhất dưới dạng các biến x r + 1,…, x n, các hệ số của ma trận a (r) ij, j u003d r + 1,…, n và số hạng tự do b (r) i được trình bày trong bảng (3). Trên các biến x r +1 , … , x n không chồng chéo không hạn chế, I E. họ đang có thể nhận bất kỳ giá trị nào. Do đó, một giải pháp tùy ý cho hệ thống được mô tả bởi bảng (3), hoặc, tương tự, một giải pháp tùy ý cho hệ thống (4), hoặc, tương tự, một nghiệm tùy ý cho hệ thống (1) có dạng

    x i u003d b (r) i – a (r) ij x j, i u003d 1,…, r u003d m; x j – bất kỳ với j u003d (r + 1),…, n. (số năm)

    Sau đó, tập hợp các giải pháp cho hệ thống (1) có thể được viết dưới dạng

    X b u003d (x u003d (x 1, …, x n): x i u003d b (r) i – a (r) ij x j với i u003d 1,…, r u003d m; x j – bất kỳ với j u003d (r + 1),…, n.).

    Nếu b (r) k tương ứng bằng 0, thì phương trình thứ k là thừa và có thể bị loại bỏ. Loại bỏ tất cả các phương trình như vậy, chúng ta thấy rằng hệ (1) tương đương với hệ từ r phương trình với n biến, được viết sau r bước bằng bảng có dạng (3), trong đó tất cả các hàng đều đứng đầu. Như vậy, chúng ta đã đến trường hợp a) đã xét ở trên và có thể viết ra một nghiệm ở dạng (5).

    Phương pháp Gauss – Jordan được mô tả đầy đủ. Mỗi số lần lặp lại hữu hạn hệ phương trình đại số tuyến tính sẽ được giải (nếu nó tương thích) hoặc hiển nhiên là nó không tương thích (nếu nó thực sự không tương thích).

    Các biến tương ứng với các phần tử đứng đầu (cho phép)hoặc đứng trong các cột đầu tiên, theo thói quen gọi căn bảnvà phần còn lại của các biến là miễn phí.

    1) Khi chúng ta bắt đầu giải một hệ thống bằng phương pháp Gauss-Jordan, chúng ta có thể không biết liệu hệ thống này có nhất quán hay không. Phương pháp Gauss – Jordan cho một số lần lặp hữu hạn r sẽ trả lời câu hỏi này. Trong trường hợp là một hệ thống chung, giải pháp chung của hệ thống ban đầu được viết ra trên cơ sở của bảng cuối cùng. Trong trường hợp này số lượng biến cơ bản nhất thiết phải bằng số r của lần lặp cuối cùng, tức là số lần lặp được thực hiện. Số r luôn không vượt quá min (m, n), với m là số phương trình trong hệ, và n số lượng biến hệ thống. Nếu r< n, sau đó (n r) bằng số biến tự do.

    2) Khi ghi lại một quyết định chung không cần thiết đánh số lại các biến như đã làm để dễ hiểu khi mô tả Giai đoạn cuối cùng. Đây là để hiểu rõ hơn.

    3) Khi giải hệ (1) bằng phương pháp Gauss – Jordan căn bản các biến sẽ chỉ là các biến tương ứng với các cột mà tại một số lần lặp lại hoạt động như dẫn đầu và ngược lại, nếu tại một số lần lặp, cột đóng vai trò là cột đứng đầu, thì biến tương ứng nhất thiết sẽ nằm trong số các biến cơ bản.

    4) Nếu nghiệm tổng quát của hệ (1) chứa ít nhất một biến tự do, thì hệ này có vô số nghiệm riêng nhưng nếu không có biến tự do thì hệ có nghiệm duy nhất trùng với nghiệm chung.

    5) Các phần tử hàng đầu có thể được chọn trong mỗi lần lặp theo một cách khác nhau. Điều quan trọng duy nhất là đây là các hệ số khác không ở giao điểm của một hàng và một cột, mà trước đây không đứng đầu. Nhiều lựa chọn các yếu tố hàng đầu có thể cho các mục khác nhau nhiều giải pháp. Nhưng, bản thân tập hợp các giải pháp là giống nhau cho bất kỳ bản ghi nào.

    Hãy để chúng tôi giải thích phương pháp bằng cách sử dụng các ví dụ.

    Ví dụ I. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính sau

    bằng phương pháp loại bỏ hoàn toàn ẩn số liên tiếp (phương pháp Gauss – Jordan).

    Giai đoạn đầu tiên. Đầu tiên, chúng ta viết hệ phương trình (6) ở dạng thuận tiện hơn – dưới dạng bảng I (0).

    Đối với mỗi hệ phương trình tuyến tính, chúng tôi gán ma trận mở rộng thu được bằng cách tham gia ma trận cột thành viên miễn phí:

    Jordan – phương pháp Gauss áp dụng cho giải pháp hệ thống mphương trình tuyến tính với n các loài chưa biết:

    Phương pháp này bao gồm thực tế là với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hệ phương trình được rút gọn thành một hệ phương trình tương đương với một ma trận của một loại nhất định.

    Chúng tôi thực hiện các phép biến đổi cơ bản sau trên các hàng của ma trận mở rộng:

    1. hoán vị của hai dòng;

    2. nhân một chuỗi với bất kỳ số nào khác 0;

    3. thêm vào một dòng một dòng khác nhân với một số;

    4. loại bỏ hàng rỗng (cột).

    Ví dụ 2.11. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Jordan – Gauss:

    ) X 1 + X 2 + 2X 3 u003d -1

    2X 1 – X 2 + 2X 3 u003d -4

    4X 1 + X 2 + 4X 3 u003d -2

    Giải pháp: Hãy tạo một ma trận mở rộng:

    Lặp lại 1

    Chọn một phần tử làm phần tử hướng dẫn. Hãy chuyển đổi cột đầu tiên thành một. Để làm điều này, hãy thêm dòng đầu tiên vào dòng thứ hai và thứ ba, nhân với (-2) và (-4), tương ứng. Chúng tôi nhận được ma trận:

    Điều này hoàn thành lần lặp đầu tiên.

    Chọn phần tử hướng dẫn. Từ đó ta chia dòng thứ hai cho -3. Sau đó, chúng tôi nhân hàng thứ hai tương ứng với (-1) và 3, rồi cộng nó vào hàng thứ nhất và thứ ba tương ứng. Chúng tôi nhận được ma trận

    Chọn phần tử hướng dẫn. Từ đó ta chia dòng thứ ba cho (-2). Chuyển đổi cột thứ ba thành một. Để thực hiện việc này, hãy nhân hàng thứ ba với (-4/3) và (-2/3), rồi cộng nó vào hàng thứ nhất và thứ hai, tương ứng. Chúng tôi nhận được ma trận

    Sau khi hoàn thành giải pháp, ở giai đoạn huấn luyện, cần thực hiện kiểm tra bằng cách thay thế các giá trị tìm được vào hệ thống ban đầu, các giá trị này sẽ chuyển thành các giá trị bằng nhau.

    b) X 1 – X 2 + X 3 – X 4 u003d 4

    X 1 + X 2 + 2X 3 + 3X 4 u003d 8

    2X 1 + 4X 2 + 5X 3 + 10X 4 u003d 20

    2X 1 – 4X 2 + X 3 – 6X 4 u003d 4

    Giải pháp: Ma trận mở rộng trông giống như:

    Áp dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta nhận được:

    Hệ ban đầu tương đương với hệ phương trình sau:

    X 1 – 3X 2 – 5X 4 u003d 0

    2X 2 + X 3 + 4X 4 u003d 4

    Hai hàng cuối cùng của ma trận A (2) phụ thuộc tuyến tính.

    Định nghĩa.Hàng ma trận e 1 , e 2 ,…, e m được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu đồng thời có các số không bằng 0 sao cho kết hợp tuyến tính của các hàng ma trận bằng hàng 0:

    Ở đâu 0 u003d (0, 0 … 0). Các hàng ma trận là độc lập tuyến tính khi kết hợp của các chuỗi này bằng 0 nếu và chỉ khi tất cả các hệ số bằng 0.

    Trong đại số tuyến tính, khái niệm thứ hạng của ma trận từ nó đóng một vai trò rất quan trọng trong việc giải hệ phương trình tuyến tính.

    Định lý 2.3 (về hạng của ma trận). Thứ hạng của ma trận bằng số lượng tối đa các hàng hoặc cột độc lập tuyến tính của nó, qua đó tất cả các hàng (cột) khác của nó được biểu diễn tuyến tính.

    Xếp hạng ma trận A (2) bằng 2, bởi vì số hàng độc lập tuyến tính tối đa trong nó là 2 (đây là hai hàng đầu tiên của ma trận).

    Định lý 2.4 (Kronecker – Capeli). Hệ phương trình tuyến tính là nhất quán và chỉ khi hạng của ma trận của hệ bằng hạng của ma trận mở rộng của hệ này.

    1. Nếu thứ hạng của ma trận của hệ thống tương thích bằng số biến, tức là r u003d n thì hệ có nghiệm duy nhất.

    2. Nếu hạng của ma trận của hệ thống nhỏ hơn số biến, tức là r< n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

    Trong trường hợp này, hệ thống có 4 biến và hạng của nó là 2, do đó, nó có vô số nghiệm.

    Định nghĩa.Để cho được r< n, r biến x 1 , x 2 ,…, x r được gọi là căn bảnnếu định thức của ma trận các hệ số của chúng ( cơ sở nhỏ) là nonzero. Nghỉ ngơi n – r các biến được gọi là miễn phí.

    Định nghĩa.Phán quyết hệ thống trong đó tất cả n – r các biến miễn phí bằng 0, được gọi là căn bản.

    Hệ thống chung m phương trình tuyến tính với nbiến ( m< n ) có vô số nghiệm, trong đó có vô số nghiệm cơ bản, không vượt quá, ở đâu.

    Trong trường hợp của chúng tôi, tức là hệ thống có không quá 6 giải pháp cơ bản.

    Giải pháp chung là:

    X 1 u003d 3X 2 + 5X 4

    X 3 u003d 4 – 2X 2 – 4X 4

    Hãy lấy một giải pháp cơ bản khác. Đối với điều này, chúng tôi lấy X 3 và X 4 là ẩn số miễn phí. Hãy biểu diễn các ẩn số X 1 và X 2 thông qua các ẩn số X 3 và X 4:

    X 1 u003d 6 – 3 / 2X 2 – X 4

    X 2 u003d 2 – 1 / 2X 3 – 2X 4.

    Khi đó nghiệm cơ bản có dạng: (6, 2, 0, 0).

    Ví dụ 2.12. Giải quyết hệ thống:

    X 1 + 2X 2 – X 3 u003d 7

    2X 1 – 3X 2 + X 3 u003d 3

    4X 1 + X 2 – X 3 u003d 16

    Giải pháp: Ta biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống

    Vì vậy, phương trình tương ứng với hàng thứ ba của ma trận cuối cùng là không nhất quán – dẫn đến sai đẳng thức 0 u003d -1, do đó, hệ thống này không nhất quán. Kết luận này cũng có thể nhận được nếu chúng ta nhận thấy rằng hạng của ma trận hệ thống là 2, trong khi hạng của ma trận mở rộng của hệ thống là 3.

    4. Phương pháp Jordan-Gauss.

    Như bạn đã biết, hệ phương trình đại số tuyến tính có thể có một nghiệm, nhiều nghiệm hoặc hệ không nhất quán. Với các phép biến đổi cơ bản của các phần tử của ma trận của hệ thống, các trường hợp này được phát hiện như sau:

    1. Trong quá trình loại bỏ, vế trái của phương trình bậc I của hệ biến mất, và vế phải bằng một số nào đó khác 0. những, cái đó. 02 + u003d bc0.

    Điều này có nghĩa là hệ thống không có nghiệm, vì không có giá trị nào của ẩn số có thể thỏa mãn phương trình bậc I;

    2. Vế trái và vế phải của phương trình bậc I biến mất. Điều này có nghĩa là phương trình thứ I là một tổ hợp tuyến tính của các phương trình khác, nó được thỏa mãn bởi bất kỳ nghiệm nào tìm được của hệ, vì vậy nó có thể bị loại bỏ. Trong hệ, số ẩn số lớn hơn số phương trình và do đó, hệ đó có nhiều nghiệm;

    3. Sau khi dùng tất cả các phương trình để loại bỏ ẩn số ta thu được nghiệm của hệ.

    Do đó, mục tiêu cuối cùng của phép biến đổi Jordan-Gauss là thu được từ một hệ thống tuyến tính đã cho

    a11x1 + a12x2 +… + a1nxn u003d b1, n + 1

    am1x1 + am2x2 +… + amnxn u003d bm.n + 1

    Ở đây x1, x2,…, xn là các ẩn số cần xác định. a11, a12,…, amn là các hệ số của hệ – và b1, b2,… bm – các số hạng tự do – được giả định là đã biết. Chỉ số của các hệ số (aij) của hệ thống cho biết các số của phương trình (i) và ẩn số (j) mà tại đó hệ số này tương ứng.

    Hệ (1) được gọi là thuần nhất nếu tất cả các số hạng tự do của nó bằng 0 (b1 u003d b2 u003d… u003d bm u003d 0), ngược lại nó là không thuần nhất.

    Hệ (1) được gọi là bình phương nếu số m phương trình bằng số n ẩn số.

    Lời giải cho hệ (1) là một tập hợp n số c1, c2,…, cn, sao cho việc thay thế mỗi ci thay cho xi trong hệ (1) biến tất cả các phương trình của nó thành đồng nhất.

    Hệ thống (1) được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một giải pháp và không tương thích nếu nó không có giải pháp.

    Một hệ thống liên kết dạng (1) có thể có một hoặc nhiều nghiệm.

    Các nghiệm c1 (1), c2 (1),…, cn (1) và c1 (2), c2 (2),…, cn (2) của một hệ đồng dạng (1) được gọi là khác nếu có ít nhất một trong các bằng :

    c1 (1) u003d c1 (2), c2 (1) u003d c2 (2),…, cn (1) u003d cn (2).

    Một hệ thống liên kết dạng (1) được gọi là xác định nếu nó có một nghiệm duy nhất; nếu nó có ít nhất hai nghiệm khác nhau, thì nó được gọi là vô thời hạn. Nếu có nhiều phương trình hơn ẩn số, nó được gọi là quá xác định.

    Hãy giải các hệ phương trình sau:

    Chúng tôi viết nó dưới dạng ma trận 3 × 4, trong đó cột cuối cùng là một điểm chặn:

    Hãy làm như sau:

    · Thêm vào dòng 2: -4 * Dòng 1.

    · Thêm vào dòng 3: -9 * Dòng 1.

    · Thêm vào dòng 3: -3 * Dòng 2.

    Chia dòng 2 cho -2

    · Thêm vào dòng 1: -1 * Dòng 3.

    · Thêm vào dòng 2: -3/2 * Dòng 3.

    · Thêm vào dòng 1: -1 * Dòng 2.

    Tính chất 1. Định thức sẽ không thay đổi giá trị của nó nếu các phần tử tương ứng của một hàng (cột) song song được thêm vào tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận, nhân với một tùy ý và cùng một số. Tính chất 2. Khi hoán đổi bất kỳ hai cột hoặc hàng nào của ma trận, định thức của nó đổi dấu thành ngược lại và giá trị tuyệt đối của định thức không đổi.

    Ở cột bên phải, chúng tôi nhận được giải pháp:

    .

    Gia tốc hội tụ của quá trình xấp xỉ được quan sát thấy trong phương pháp của Newton. 5. Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton) Phương pháp tiếp tuyến gắn liền với tên tuổi của I. Newton là một trong những phương pháp số hữu hiệu để giải phương trình. Ý tưởng đằng sau phương pháp này rất đơn giản. Lấy điểm xuất phát x0 và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x): y u003d f (x0) + f ¢ (x) (x-x0) (1.5) Đồ thị …

    Giải pháp từ các phương pháp tính toán số. Để xác định gốc của phương trình, không cần kiến u200bu200bthức về lý thuyết của các nhóm Abel, Galois, Lie, v.v. và không cần thuật ngữ toán học đặc biệt: vành, trường, iđêan, đẳng cấu, v.v. Để giải một phương trình đại số bậc n, bạn chỉ cần có khả năng giải phương trình bậc hai và lấy nghiệm nguyên từ một số phức. Rễ có thể được xác định từ …

    … “biểu hiện” chỉ trong quá trình biến đổi. Chúng tôi sẽ xem xét tính hiển nhiên và “tính che giấu” của biến mới bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể trong chương thứ hai của tác phẩm này. 2. Khả năng sử dụng phương pháp thay thế ẩn số khi giải phương trình đại số Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khả năng sử dụng phương pháp thay thế ẩn số khi giải phương trình đại số ở dạng chuẩn và không chuẩn …

    phương pháp Gauss – Jordan là một trong những phương pháp nổi tiếng và được sử dụng rộng rãi nhất để giải hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp ma trận và phương pháp Cramer có nhược điểm là chúng không đưa ra câu trả lời trong trường hợp detA u003d 0, nhưng chỉ xác định được một nghiệm duy nhất khi detA không bằng 0. Một nhược điểm khác là số lượng phép tính toán học trong các phương pháp này tăng mạnh với tăng số phương trình. Phương pháp Gauss thực tế không có những nhược điểm này.

    Thuật toán phương pháp Gaussian

    1. Dựa trên hệ phương trình tuyến tính, ta lập ma trận mở rộng của hệ;
    2. Ta đưa ma trận về dạng “tam giác”;
    3. Chúng tôi xác định cấp bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng, và trên cơ sở này, chúng tôi đưa ra kết luận về tính tương thích của hệ thống và số lượng các giải pháp khả thi;
    4. Nếu hệ có nghiệm duy nhất, ta thực hiện phép thay thế nghịch đảo và tìm, nếu hệ có tập nghiệm: ta biểu diễn các biến cơ bản dưới dạng biến có thể nhận giá trị tùy ý;

    Để đưa ma trận mở rộng ban đầu về dạng tam giác, chúng ta sử dụng hai tính chất sau của các định thức:

    Dựa trên các tính chất này của định thức, chúng tôi sẽ soạn một thuật toán để chuyển ma trận thành dạng tam giác:

    1. Xét dòng i (bắt đầu bằng dòng đầu tiên). Nếu phần tử a i i bằng 0, chúng ta hoán đổi hàng thứ i và thứ i + của ma trận. Trong trường hợp này, dấu hiệu của định thức sẽ thay đổi thành ngược lại. Nếu 1 1 không phải là số khác, hãy chuyển sang bước tiếp theo;
    2. Đối với mỗi hàng j, bên dưới hàng thứ i, chúng ta tìm giá trị của hệ số K j u003d a j i / a i i;
    3. Chúng ta tính lại các phần tử của tất cả các hàng j nằm bên dưới hàng i hiện tại bằng cách sử dụng các hệ số thích hợp theo công thức: a j k new u003d a j k -K j * a i k; Sau đó, chúng ta quay lại bước đầu tiên của thuật toán và xem xét hàng tiếp theo cho đến khi chúng ta đến hàng i u003d n-1, trong đó n là số chiều của ma trận A
    4. Trong ma trận tam giác kết quả, chúng tôi tính tích của tất cả các phần tử của đường chéo chính Pa i i, sẽ là định thức;

    Nói cách khác, bản chất của phương pháp có thể được xây dựng như sau. Chúng ta cần làm cho tất cả các phần tử của ma trận nằm dưới đường chéo chính bằng 0. Đầu tiên chúng ta lấy các số không trong cột đầu tiên. Để thực hiện điều này, chúng ta tuần tự trừ dòng đầu tiên, nhân với số chúng ta cần (sao cho khi trừ chúng ta nhận được số 0 trong phần tử đầu tiên của dòng) từ tất cả các dòng bên dưới. Sau đó, chúng ta làm tương tự đối với hàng thứ hai để lấy các số không ở cột thứ hai bên dưới đường chéo chính của ma trận. Và tiếp tục như vậy cho đến khi chúng ta đi đến dòng áp chót.

    Ngày xửa ngày xưa, nhà toán học người Đức Wilhelm Jordan (chúng tôi đang phiên âm sai từ tiếng ĐứcJordan trong vai Jordan) ngồi giải các hệ phương trình tiếp theo. Anh ấy thích làm điều đó và trong thời gian rảnh, anh ấy đã cải thiện kỹ năng của mình. Nhưng rồi cũng đến lúc anh cảm thấy nhàm chán với tất cả các phương pháp giải và phương pháp Gauss kể cả…

    Giả sử một hệ có ba phương trình, ba ẩn số được đưa ra, và ma trận mở rộng của nó được viết. Trong trường hợp phổ biến nhất, các bước tiêu chuẩn được thực hiện và cứ như vậy hàng ngày…. Điều tương tự – như cơn mưa tháng mười một vô vọng.

    Xua tan khao khát một thời cách khác Giảm ma trận về dạng bậc: hơn nữa, nó hoàn toàn tương đương và có thể không thuận tiện chỉ do nhận thức chủ quan. Nhưng sớm muộn gì mọi thứ cũng trở nên nhàm chán…. Và sau đó tôi nghĩ F trong khoảng rdan – tại sao phải bận tâm đến điều ngược lại của thuật toán Gaussian? Không phải dễ dàng hơn để có ngay câu trả lời với sự trợ giúp của các phép biến đổi sơ cấp bổ sung?

    … vâng, điều này chỉ xảy ra cho tình yêu u003d)

    Chà, và thật tuyệt vời nếu nó hoạt động thứ tự giảm dần của yếu tố quyết định.

    Như mọi người đã hiểu, phương pháp Gauss-Jordan là một sửa đổi phương pháp Gauss và chúng ta sẽ gặp nhau ở các màn tiếp theo với việc triển khai ý tưởng chính đã được nói ở trên. Ngoài ra, trong số ít các ví dụ của bài viết này, ứng dụng quan trọng nhất đã được bao gồm: tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

    Nếu không có thêm lời khuyên:

    Giải hệ thống bằng phương pháp Gauss-Jordan

    Phán quyết: đây là nhiệm vụ đầu tiên của bài Phương pháp Gauss cho hình nộm, nơi chúng tôi đã biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống 5 lần và đưa nó về dạng bậc:

    Bây giờ thay vì đảo ngược các phép biến đổi cơ bản bổ sung phát huy tác dụng. Đầu tiên, chúng ta cần lấy các số không tại các vị trí sau: ,

    và sau đó là một số 0 khác ở đây: .

    Một trường hợp lý tưởng về mặt đơn giản:

    (6) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng đầu tiên.

    (7) Dòng thứ hai nhân với -2 được thêm vào dòng đầu tiên.

    Tôi không thể cưỡng lại việc minh họa hệ thống cuối cùng:

    Câu trả lời:

    Tôi cảnh báo độc giả chống lại tâm trạng run rẩy – đây là ví dụ demo đơn giản nhất. Phương pháp Gauss-Jordan có các kỹ thuật cụ thể riêng và không phải là các phép tính thuận tiện nhất, vì vậy hãy điều chỉnh để thực hiện nghiêm túc.

    Tôi không muốn nghe có vẻ phân loại hay cầu kỳ, nhưng trong phần lớn các nguồn thông tin mà tôi đã thấy, các vấn đề điển hình được coi là cực kỳ tồi tệ – bạn cần phải có bảy nhịp và dành nhiều thời gian / căng thẳng cho một giải pháp khó xử với các phân số. Qua nhiều năm thực hành, tôi đã cố gắng đánh bóng, tôi sẽ không nói rằng kỹ thuật tốt nhất, nhưng hợp lý và khá dễ dàng có sẵn cho tất cả những ai sở hữu các phép toán số học:

    Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan.

    Phán quyết: Phần đầu tiên của bài tập quen thuộc:

    (1) Dòng đầu tiên nhân với -1 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ nhất nhân với 3. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ tư, nhân với -5.

    (2) Dòng thứ hai chia 2, dòng thứ ba chia 11, dòng thứ tư chia 3.

    (3) Dòng thứ hai và dòng thứ ba tỷ lệ thuận, dòng thứ ba đã bị loại bỏ. Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ tư, nhân với -7

    (4) Dòng thứ ba được chia cho 2.

    Rõ ràng, hệ thống có vô số giải pháp, và nhiệm vụ của chúng ta là đưa ma trận mở rộng của nó về dạng .

    Làm thế nào để tiếp tục? Trước hết, cần lưu ý rằng chúng ta đã mất một phép biến đổi cơ bản ngon lành – hoán vị hàng. Chính xác hơn, bạn có thể sắp xếp lại chúng, nhưng không có ích lợi gì trong việc này (chúng tôi chỉ thực hiện các hành động không cần thiết). Và sau đó, bạn nên tuân thủ các mô hình sau:

    Ghi chú: thuật ngữ “cơ sở” có ý nghĩa và khái niệm đại số cơ sở hình học Nó không có gì để làm với nó!

    Tìm thấy bội số chung nhỏ nhất các số trong cột thứ ba (1, -1 và 3), tức là – số nhỏ nhất chia hết cho 1, -1 và 3. Trong trường hợp này, tất nhiên, nó là “ba”. Hiện nay trong cột thứ ba, chúng ta cần lấy các số có cùng môđun và những cân nhắc này xác định phép biến đổi thứ 5 của ma trận:

    (5) Hàng đầu tiên được nhân với -3, hàng thứ hai được nhân với 3. Nói chung, hàng đầu tiên cũng có thể được nhân với 3, nhưng sẽ không thuận tiện cho bước tiếp theo. Bạn nhanh chóng quen với những điều tốt đẹp:

    (6) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng đầu tiên.

    (7) Cột thứ hai có hai giá trị khác không (24 và 6) và một lần nữa chúng ta cần lấy các số modulo giống nhau… Trong trường hợp này, mọi thứ diễn ra khá tốt – bội số nhỏ nhất của 24 và cách hiệu quả nhất là nhân hàng thứ hai với -4.

    (Rõ ràng là ma trận nghịch đảo phải tồn tại)

    (8) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

    (9) Lần chạm cuối cùng: dòng đầu tiên được chia cho -3, dòng thứ hai được chia cho -24 và dòng thứ ba được chia cho 3. Hành động này được thực hiện CUỐI CÙNG! Không có phân số sớm!

    Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, một hệ thống ban đầu tương đương đã thu được:

    Chúng ta có thể đơn giản thể hiện các biến cơ bản dưới dạng biến tự do:

    và viết:

    Câu trả lời: quyết định chung:

    Trong các ví dụ như vậy, việc áp dụng thuật toán được xem xét thường hợp lý nhất, vì chuyển động ngược lại phương pháp Gauss thường đòi hỏi các phép tính phân số tốn thời gian và khó chịu.

    Đối với một giải pháp độc lập:

    Tìm một giải pháp cơ bản bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản

    Công thức của bài toán này giả định việc sử dụng phương pháp Gauss-Jordan, và trong dung dịch mẫu, ma trận được giảm xuống dạng chuẩn với các biến cơ bản. Tuy nhiên, hãy luôn ghi nhớ rằng các biến khác có thể được chọn làm biến cơ bản… Vì vậy, ví dụ, nếu các số trong cột đầu tiên là cồng kềnh, thì việc đưa ma trận về dạng (biến cơ bản) hoặc ở dạng (biến cơ bản), hoặc thậm chí cho biểu mẫu với các biến cơ bản. Ngoài ra còn có các tùy chọn khác.

    Nhưng tất cả đều giống nhau, đây là những trường hợp cực đoan – bạn không nên gây sốc cho giáo viên một lần nữa với kiến u200bu200bthức, kỹ thuật giải và hơn thế nữa, bạn không nên đưa ra kết quả Jordan kỳ lạ như … Tuy nhiên, có thể khó để loại bỏ cơ sở không điển hình khi trong ma trận ban đầu, chẳng hạn, trong cột thứ 4, có hai số không sẵn sàng.

    Nếu một cặp đột nhiên được tìm thấy trong ma trận kích thước mở rộng phụ thuộc tuyến tính thì bạn nên cố gắng đưa nó về dạng thông thường với các biến cơ bản. Một ví dụ về quyết định như vậy là trong Ví dụ số 7 của bài báo trên hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, với chỗ ấy một cơ sở khác được chọn.

    Chúng tôi tiếp tục cải thiện kỹ năng của mình đối với vấn đề được áp dụng sau:

    Làm thế nào để tìm nghịch đảo của ma trận bằng phương pháp Gaussian?

    Thông thường, điều kiện được xây dựng theo cách viết tắt, nhưng về bản chất, thuật toán Gauss-Jordan cũng hoạt động ở đây. Một phương pháp tìm kiếm dễ dàng hơn ma trận nghịch đảo cho một ma trận vuông mà chúng ta đã xem xét từ lâu trong bài học tương ứng, và trong tiết trời cuối thu khắc nghiệt, các học sinh đã nắm được cách giải thành thạo.

    Tóm tắt các hành động sắp tới như sau: đầu tiên, bạn nên viết ma trận vuông song song với ma trận nhận dạng:. Sau đó, sử dụng các phép biến đổi cơ bản, cần có được ma trận đơn vị ở bên trái, trong khi (không đi vào chi tiết lý thuyết) ma trận nghịch đảo được vẽ ở bên phải. Giải pháp trông giống như sau:

    Hãy tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp. Để làm điều này, chúng tôi sẽ viết nó trong một đội với ma trận đơn vị và “hai con ngựa” đua:

    (1) Dòng đầu tiên nhân với -3 được thêm vào dòng thứ hai.

    (2) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

    (3) Dòng thứ hai được chia cho -2.

    Câu trả lời:

    Kiểm tra câu trả lời từ bài học ví dụ đầu tiên Làm cách nào để tìm nghịch đảo của ma trận?

    Nhưng đó là một nhiệm vụ hấp dẫn khác – trên thực tế, giải pháp này tốn thời gian và công sức hơn nhiều. Thông thường, bạn sẽ được trình bày với ma trận ba nhân ba:

    Phán quyết: thêm ma trận nhận dạng và bắt đầu thực hiện các phép biến đổi, theo thuật toán “bình thường” phương pháp Gauss:

    (1) Dòng đầu tiên và dòng thứ ba được đảo ngược. Thoạt nhìn, việc hoán vị các hàng có vẻ bất hợp pháp, nhưng trên thực tế, bạn có thể sắp xếp lại chúng – kết quả là bên trái chúng ta cần lấy ma trận nhận dạng và bên phải chúng ta sẽ “cưỡng chế” lấy chính xác ma trận (bất kể chúng ta có sắp xếp lại các dòng trong quá trình giải hay không)… Lưu ý rằng ở đây thay vì hoán vị, bạn có thể sắp xếp “sixes” trong cột đầu tiên (bội số phổ biến nhất (LCM) của 3, 2 và 1)… Giải pháp LCM đặc biệt hữu ích khi không có “cái nào” trong cột đầu tiên.

    (2) Hàng thứ nhất được thêm vào hàng thứ 2 và thứ 3, nhân với -2 và -3, tương ứng.

    (3) Hàng thứ 2 được thêm vào hàng thứ 3, nhân với -1

    Phần thứ hai của giải pháp được thực hiện theo sơ đồ đã biết ở đoạn trước: các hoán vị hàng trở nên vô nghĩa, và chúng tôi tìm thấy bội số chung nhỏ nhất của các số trong cột thứ ba (1, -5, 4): 20. Có một thuật toán nghiêm ngặt để tìm LCM, nhưng thường có đủ lựa chọn. Không sao cả nếu bạn lấy một số lớn hơn chia hết cho 1, -5 và 4, chẳng hạn như số 40. Sự khác biệt sẽ nằm trong các phép tính phức tạp hơn.

    Nói về máy tính. Để giải quyết vấn đề, không có gì đáng xấu hổ khi trang bị cho mình một chiếc máy tính vi mô – có những con số đáng kể ở đây, và sẽ rất khó chịu nếu mắc một lỗi tính toán.

    (4) Dòng thứ ba nhân với 5, dòng thứ hai nhân 4, dòng thứ nhất nhân “trừ hai mươi”:

    (5) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ nhất và thứ hai.

    (6) Dòng thứ nhất và dòng thứ ba đã chia cho 5, dòng thứ hai nhân với -1.

    (7) Bội số chung nhỏ nhất của các số khác không ở cột thứ hai (-20 và 44) là 220. Hàng đầu tiên nhân với 11, hàng thứ hai nhân 5.

    (8) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

    (9) Dòng đầu tiên được nhân với -1, dòng thứ hai được chia “lùi” cho 5.

    Giải pháp và câu trả lời: Ví dụ 3: Phán quyết: chúng tôi viết ra ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng tôi thu được giải pháp cơ bản:Ví dụ 6: Phán quyết: tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản:Ví dụ 7: Phán quyết: tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan:

    (1) Hàng thứ 3 được thêm vào dòng thứ 1 và thứ 4.

    (2) Dòng đầu tiên và dòng thứ tư được đảo ngược.

    (3) Dòng thứ nhất được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 2 được thêm vào dòng thứ 3:

    (4) Hàng thứ 2 được cộng với hàng thứ 3, nhân với -2. Dòng thứ 2 được thêm vào dòng thứ 4.

    (5) Hàng thứ 4, nhân với -1, được thêm vào dòng thứ nhất và thứ ba.

    (6) Dòng thứ hai nhân với -1, dòng thứ ba nhân với -2.

    Câu trả lời:

    (1) Hàng thứ nhất nhân với -15, hàng thứ hai nhân với 3, hàng thứ ba nhân với 5.

    (2) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ 2 và 3.

    (3) Dòng đầu tiên được chia cho -15, dòng thứ hai được chia bởi -3, dòng thứ ba được chia bởi -5.

    (4) Hàng thứ hai nhân với 7, hàng thứ ba nhân với -9.

    (5) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba.

    (6) Dòng thứ hai được chia cho 7.

    (7) Hàng thứ nhất nhân với 27, hàng thứ hai nhân với 6, hàng thứ ba nhân với -4.

    (8) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ nhất và dòng thứ hai.

    (9) Dòng thứ ba được chia cho -4. Dòng thứ hai nhân với -1 được thêm vào dòng đầu tiên.

    (10) Dòng thứ hai được chia cho 2.

    (11) Mỗi u200bu200bdòng được chia cho 27.

    Kết quả là:

    Câu trả lời:

    (1) Dòng thứ nhất và dòng thứ hai được đảo ngược.

    (2) Dòng đầu tiên nhân với -2 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba được thêm vào dòng đầu tiên nhân với 5.

    (3) Dòng thứ ba đã chia hết cho 3.

    (4) Hàng thứ hai cộng với hàng thứ ba, nhân với 2.

    (5) Dòng thứ ba được chia cho 7.

    (6) Bội số nhỏ nhất của cột thứ 3 (-3, 5, 1) là 15. Hàng thứ nhất nhân với 5, hàng thứ hai nhân với -3 và hàng thứ ba nhân với 15.

    (7) Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng đầu tiên. Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng thứ hai.

    (8) Dòng thứ nhất chia cho 5, dòng thứ hai chia cho -3, dòng thứ ba chia cho 15.

    (9) Bội số nhỏ nhất của các số khác không ở cột thứ 2 (-2 và 1) là: 2. Nhân hàng thứ hai với 2

    (10) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

    (11) Dòng thứ hai được chia cho 2.

    Chúng tôi biểu thị các biến cơ bản dưới dạng các biến tự do:

    Câu trả lời: quyết định chung:

    (10) Bây giờ trên đường chéo chính của ma trận bên trái, bạn nên lấy bội số chung nhỏ nhất của đường chéo (44, 44 và 4). Rõ ràng là con số này là 44. Dòng thứ ba được nhân với 11.

    (11) Chia mỗi hàng cho 44. Hành động này được thực hiện sau cùng!

    Vậy nghịch đảo của ma trận là:

    Về nguyên tắc, việc giới thiệu và loại bỏ -th là những hành động không cần thiết, nhưng điều này được yêu cầu bởi giao thức của nhiệm vụ.

    Câu trả lời:

    Những người tiên tiến có thể rút ngắn giải pháp phần nào, nhưng tôi phải cảnh báo bạn rằng, việc vội vàng ở đây đầy rủi ro mắc sai lầm TĂNG LÊN.

    Một nhiệm vụ tương tự cho một giải pháp độc lập:

    Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan.

    Mẫu gần đúng của nhiệm vụ ở cuối trang. Và vì lợi ích của việc “không trôi qua với các bài hát”, tôi đã thực hiện giải pháp theo phong cách đã được đề cập – độc quyền thông qua LCM của các cột mà không có hoán vị hàng đơn và các phép biến đổi nhân tạo bổ sung. Theo ý kiến u200bu200bcủa tôi, kế hoạch này, nếu không phải là nhất, thì một trong những kế hoạch đáng tin cậy nhất.

    Đôi khi, rất tiện lợi khi sử dụng một giải pháp ngắn gọn hơn của “chủ nghĩa hiện đại”, như sau: trong bước đầu tiên, mọi thứ vẫn như bình thường: .

    Ở bước thứ hai, bằng kỹ thuật gấp khúc (thông qua LCM của các số của cột thứ 2), hai số không được sắp xếp cùng một lúc trong cột thứ hai: … Đặc biệt khó có thể chống lại hành động này nếu các con số của cùng một mô-đun được vẽ ở cột thứ 2, ví dụ, cùng một “cái” thông thường.

    Và cuối cùng, trong bước thứ ba, chúng ta nhận được các số không cần thiết trong cột thứ ba theo cách tương tự: .

    Đối với số chiều, trong hầu hết các trường hợp, cần phải giải quyết ma trận “ba nhân ba”. Tuy nhiên, thỉnh thoảng có một phiên bản nhẹ của vấn đề với ma trận hai x hai và khó … – đặc biệt là đối với tất cả độc giả của trang web:

    Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi cơ bản

    Đây là một bài tập từ bài kiểm tra toán và vật lý của chính tôi trong đại số, … ơ, khóa học đầu tiên của tôi ở đâu u003d) 15 năm trước (lá không chuyển sang màu vàng một cách đáng ngạc nhiên), Tôi đã làm điều đó trong 8 bước, và bây giờ – chỉ 6! Nhân tiện, ma trận rất sáng tạo – ngay từ bước đầu tiên, một số giải pháp hấp dẫn đã có thể nhìn thấy. Phiên bản sau của tôi nằm ở cuối trang.

    Và một mẹo cuối cùng – sau những ví dụ như vậy, thể dục cho mắt và một số bản nhạc hay để thư giãn rất hữu ích u003d)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phân Phối Chuẩn Trong Thống Kê Và Ý Nghĩa Trong Thực Tế, Giáo Dục
  • Đọc Câu 16: Nêu Cách Chia Mảnh, Đánh Số, Ghi Số Liệu Bản Đồ Gauss
  • Hệ Tọa Độ Gauss Và Những Ứng Dụng Của Hệ Tọa Độ Gauss
  • Nhận Xét Của Các Bạn Học Viên Về Cách Giảng Dạy Tại Tester Việt Trong Bài Kiểm Tra Cuối Khóa.
  • Kinh Nghiệm Trong Đánh Giá Và Phương Pháp Giảng Dạy Đại Học
  • Giải Bài Tập Phương Pháp Tính

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Phương Pháp Tính Chỉ Số
  • Tham Khảo Các Phương Pháp Tính Chỉ Số Giá Cổ Phiếu
  • Cách Đánh Giá Sản Phẩm Dở Dang Cuối Kỳ
  • Đánh Giá Sản Phẩm Dở Dang Cuối Kỳ Theo Chi Phí Nguyên Vật Liệu Tt
  • Bộ Tt&tt Hướng Dẫn Xác Định Chi Phí Thuê Dịch Vụ Cntt Theo Yêu Cầu Riêng
  • Published on

    Bài tập tiểu luận môn phương pháp tính, tùy không giải hết tất cả nhưng vẫn đủ để các bạn tìm hiểu.

    1. 8. Vậy: ( ) ( ) ( ) ( )4;5 5 max ‘ 0,3136 1 23ln 2x q xj Î = = ” < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn yêu cầu của phương pháp lặp. Chọn x0= 4 5 4,5 2 + = . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp ( ) ( )1 2log 5 3 , 1,2,…n nx x x nj -= = + = Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
    2. 17. Page 18 0 1 -4 15 16 3 E5 (2) = E5- 5E1 (2) 1 0 0 0 0 5 3 0 0 0 -3 -18 53 0 2 2 12 -43 4 11 4 15 -50 12 11 4 15 -39 -8 -2 E1 (2) E2 (2) E3 (3) = E3 (2) -16/3 E2 (2) E4 (3) = E4 (2) +2/3 E2 (2) E5 (3) = E5 (2) -1/3 E2 (2) 0 0 0 669/53 683/53 -50 E5 (4) = E5 (3) -2/53E3 (3) 0 0 0 0 5296/669 9262/669 E5 (5) = E5 (4) -212/669 E4 (3) 0 0 0 0 1 1,7488867 E5 (6) = 669/9262E5 (5) Từ bảng suy ra: 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 3 4 4 5 5 5 3 2 2,995468 298,165171 3 18 12 11,233006 66,009304 53 43 48,443353 6,794000 4 28,989641 7,247410 1,748867 1,748867 x x x x x x x x x x x x x x x x + – + = – = -ì ì ï ï- + = – =ï ïï ï – = Û =í í ï ï= – = – ï ï ï ï= =îî Bài 2: c/(Trần Đình Trọng) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 10 2 3 0 10 2 5 2 3 20 10 3 2 20 15 x x x x x x x x x x x x x x x x – – + =ì ï – – + =ï í + + – = -ï ï + + + =î với sai số ε=10-3 (C)
    3. 19. Page 20 k x1 (k) x2 (k) x3 (k) x4 (k) ( ) ( 1)3 2 k k X X – ¥ – 0 0 5 -10 15 1 3 3 -10 15 4,5 2 2,8 3,3 -10 14,5 0,75 3 2,68 3,38 -10,1 14,5 0,18 4 2,668 3,378 -10,1 14,53 0,018 5 2,6768 3,3708 -10,094 14,534 0,0132 6 2,67848 3,37028 -10,0932 14,5322 2,7.10-3 7 2,678048 3,370728 -10,0936 14,53172 7,2.10-4 Giải thích cột sai số(cột cuối): { }(1) (1) (0) (1) (0) 1 4 3 3 3 max max 3; 2;0;0 2 2 2 4,5i i i X X X X Xa ¥ ¥ £ £ – £ – = – = – = { }(2) (2) (1) (2) (1) 1 4 3 3 3 max max 0,2;0,3;0;0,5 2 2 0,7 2 5 i i i X X X X Xa ¥ ¥ £ £ – £ – = – = = { }(3) (3) (2) (3) (2) 1 4 3 3 3 max max 0,12;0,0 0, 8;0,1;0 1 2 2 2 8 i i i X X X X Xa ¥ ¥ £ £ – £ – = – = =
    4. 21. Page 22 (7) (7) (6) ( 34 4 7) 3 4,4.10 7,2.1 ‘ ‘ 1,16.10 1,0 2.10 X X X Xa a ¥ — ¥ – ¥ – – £ – + – £ + = ” Vậy nghiệm của hệ: 3 3 2 3 1 3 3 4 2,678 1, 3,371 1, 10,094 2.10 2.10 2.10 2.1 1, 14,53 02 1, a a a a – – – – = ± ± = – ± = ± ì ï =ï í ï ïî j/(Trần Đình Trọng) 2 40 6 4 8 8 3 12 9 50 3 3 75 15 18 29 65 18 0 4 14 2 5 26 19 25 120 23 x y z u v x y z u v x y z u v x y z u v x y z u v + – + + =ì ï- – – + + =ïï – + – + + =í ï + + + + = – ï + – + + =ïî với sai số ε=10-2 (D) · Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất: Ta có det 2 40 6 4 8 3 12 9 50 3 01 1 75 15 18 65 18 0 4 14 5 26 19 25 120 1030066610 -é ù ê ú- – – ê ú ê ú = ¹- – ê ú ê – ú ê ú-ë û Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất. · Biến đổi hệ (C) ta được: 2 40 6 4 8 65 18 0 4 14 3 12 9 50 3 2 40 6 4 8 1 1 75 15 18 1 1 75 15 18 65 18 0 4 14 3 12 9 50 3 5 26 19 25 120 5 26 19 25 120 -é ù é ù ê ú ê ú- – – – ê ú ê ú ê ú ê úÛ- – – – ê ú ê ú – – -ê ú ê ú ê ú ê ú- -ë û ë û
    5. 23. Page 24 3 -0,35597 11,44787 34,01576 8,020642 -21,8833 0,97097473 4 -0,50096 11,69475 34,13395 8,161962 -21,7461 0,420379334 5 -0,54839 11,6782 34,0971 8,22556 -21,8054 0,108289073 6 -0,56061 11,68051 34,11103 8,215659 -21,8191 0,023700441 7 -0,56368 11,68694 34,11417 8,218816 -21,8148 0,010947412 8 -0,56473 11,68639 34,11305 8,220483 -21,8163 0,002839241 · Giải thích cột sai số(cột cuối): { } { } (1) (1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) 63 37 63 max , , , , 37 63 max 5,78;8,75;5,57;7,8;4,08 14,8986 37 X X X x x y y z z u u v v a ¥ ¥ – £ – = – – – – – = = { } { } (2) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) 63 37 63 max , , , , 37 63 2,0204max ;0,4715 1,1245 2,511 2,4406 4,275486; ; ; 37 X X X x x y y z z u u v v a ¥ ¥ – £ – = – – – – – = = { } { } (3) (3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2) 63 37 63 max , , , , 37 63 ma 0,55557;0,169365;0,570255;0,29036;0,52268 0,970975x 37 X X X x x y y z z u u v v a ¥ ¥ – £ – = – – – – – = =
    6. 25. Page 26 Làm tròn số: (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) ‘0,56473 0,56 11,68639 11,69 ‘34,11305 34,11 8,220483 8,22 21,8163 21,82 ‘ ‘ ‘ y y u u v x x z z v ì ï = = =- ” – = ” = =” “= ï ï í ï = ï ï =î – “-= Sai số làm tròn (8) (8) ‘ X X- = (0,004729733; 0,003609616; 0,003048546; 0,000483331; 0,003737181) (8) (8) ‘ XX ¥ – =0,004729733 Từ cột cuối và dòng cuối của bảng, ta có: (8) (8) (7) 0,00283 63 37 9241X X Xa ¥ ¥ – £ – = Sai số cuối cùng: (8) (8) (7) (8) 3 0,004729733 0,00283924 ‘ ‘ 7,57.1 10 X X X Xa a ¥ ¥ ¥ – – £ – + – £ + ” Vậy nghiệm của hệ: 3 3 2 3 3 4 3 5 1 3 7,57.10 7,57.10 7,57 0,5 .10 6 11,69 34,11 8,22 21,82 7,57.10 7,57.10 a a a a a – – – – – ì ï =ï = – ± ± = ± ï = ± – ± í ï ï =ïî Bài 3 c/(Trần Đình Trọng)
    7. 27. Page 28 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 2 3 ( 1) ( 1) 2 3 1 3 2 3 3 2 ( 1) ( 1) ( 1) 3 1 2 2 3 3 2 1 1 1 8 8 8 1 16 1 5 5 5 1 16 1 1 1 1 5 5 5 8 8 8 9 1 129 40 40 40 7 1 1 4 4 4 7 1 1 1 1 1 9 1 129 4 4 8 8 8 4 40 40 40 kk k kk k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + = + – – – = + + – – æ ö = + + + -ç ÷ è ø – Û = – + – – = + – – – -æ ö æ ö = + + – – – +ç ÷ ç ÷ è ø è ø = ( ) ( ) 2 3 101 1 1 40 40 40 k k x x ì ï ï ï ï ï ï ï ï ï í ï ï ï ï ï ï ï -ï – +ïî ( ) ( ) ( ) ( 1) 11 ( 1) 2 2 ( 1) 3 3 1 1 1 0 8 8 8 1 9 129 0 40 40 40 1 1 101 0 40 40 40 kk kk k k xx x x x x + + + é ù é ù -ê ú ê úé ùé ù ê ú ê úê úê ú – -ê ú ê úÛ = +ê úê ú ê ú ê úê úê ú ê ú ê úê úë û – -ë ûê ú ê ú ê ú ê úë û ë û Hay ( )( 1) kk x Bx c+ = + (3.3) Với B= ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 3 1 1 0 8 8 1 9 1 129 101 0 , ; ; , 40 40 8 40 40 1 1 0 40 40 k T kk k x c x x x é ù ê ú é ù ê ú ê ú- – -æ öê ú = – = ê úç ÷ê ú è ø ê ú ê ú ê ú- ë ûê ú ê úë û Ta có: { }max 0,25;0,25;0,05 0,25 1B ¥ = = < vậy ma trận B thỏa điều kiện hội tụ. Đánh giá sai số
    8. 29. Page 30 (3) (3) 1 (3) (3) 2 (3) 3) 3 3 1 2 ( 0,006 0,006 ‘ 3,7357 3,736 ‘ 2,685 2,685 ‘ x x x x x x ” = ” = – ” – ì = = = = ï í ï î Sai số làm tròn (3) (3) ‘x x- = (0;3.10-4 ;0) (3) (3) ‘x x ¥ – =3.10-4 Từ cột cuối và dòng cuối của bảng, ta có: (3) (3) (2) (3) (2) 1 3 3 1 0,001 1 m 10 ax 3 3 i i i x x x x xa – ¥ ¥ £ £ – £ – = – == Sai số cuối cùng: (3) (3) (2) (3) 4 3 3 3. ‘ ‘ 10 1,3.1010 x x x xa a – ¥ ¥ ¥ – – – £ – + – £ + ” Vậy nghiệm của hệ: 3 1 3 3 3 2 ,3.10 ,3.10 0,00 ,3.10 6 1 3,736 1 2,685 1 a a a – – – = ± ± = ì ï = – í ± ï ï ïî
    9. 31. Page 32 ( 2)( 3)( 4)( 7) ( 1)( 3)( 4)( 7) 17 17,5 36 10 ( 1)( 2)( 4)( 7) ( 1)( 2)( 3)( 7) 76 210,5 36 18 ( 1)( 2)( 3)( 4) 1970 360 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x – – – – – – – – = + – – – – – – – – – + + – – – – – + 4 3 217 ( 16x 89x 206x+168) 36 x= – + – 4 3 217,5 ( 15x 75x 145x 84) 10 x- – + – + 4 3 295 ( 14x 63x 106x 56) 10 x+ – + – + 4 3 2421 ( 13x 53x 83x 42) 36 x- – + – + 4 3 2197 ( 10x 35x 50x 24) 36 x+ – + – + 4 3 2 2x 17x 81x 153,5x 104,5= – + – + Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 4 3 2 4 ( ) 2x 17x 81x 153,5x 104,5P x = – + – + b/ (Hồ Thị My) x 0 2 3 5 y 1 3 2 5 3 0 0 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 2 3 0 1 0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3 0 1 3 0 1 2 2 3 2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2 ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) P x y L y L y L y L x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x = + + + – – – – – – = + – – – – – – – – – – – – + + – – – – – – ( 2)( 3)( 5) 1 30 x x x- – – = – ( 3)( 5) 3 6 x x x- – + ( 2)( 5) 2 6 x x x- – + – ( 2)( 3) 5 30 x x x- – + 3 21 ( 10x 31x 30) 30 x – = – + – 3 21 ( 8x 15x) 2 x+ – + 3 21 ( 7x 10x) 3 x- – + 3 21 ( 5x 6x) 6 x+ – + 3 213 62 0,3x 1 6 15 x x= – + + Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 3 2 3 13 62 ( ) 0,3x 1 6 15 P x x x= – + + c/ (Hồ Thị My)
    10. 33. Page 34 = 4 3 21 19 47 65 1 128 96 32 24 x x x x- + – + e/ (Lê Trần Mười) x 1 2 3 4 5 y 1 2 3 2 1 Lo = (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) ( 2)( 3)( 4)( 5) (1 2)(1 3)(1 4)(1 5) 24 x x x x- – – – – – – – = – – – – L1 = ( 1)( 3)( 4)( 5) ( 1)( 3)( 4)( 5) (2 1)(2 3)(2 4)(2 5) 6 x x x x x x x x- – – – – – – – = – – – – – L2 = ( 1)( 2)( 4)( 5) ( 1)( 2)( 4)( 5) (3 1)(3 2)(3 4)(3 5) 4 x x x x x x x x- – – – – – – – = – – – – L3 = ( 1)( 2)( 3)( 5) ( 1)( 2)( 3)( 5) (4 1)(4 2)(4 3)(4 5) 6 x x x x x x x x- – – – – – – – = – – – – – L4 = ( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)( 4) (5 1)(5 2)(5 3)(5 4) 24 x x x x x x x x- – – – – – – – = – – – – P4 = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x) + y4L4(x) = 4 2 43 156 108 6 x x x- + + = 4 2 43 26 18 6 6 x x x- + + Bài 3: (Lê Trần Mười) Cho bảng số liệu của hàm số y = f(x) x 11 13 14 18 19 21 y 1342 2210 2758 5850 6878 9282 a/ Tìm đa thức nội suy Newton n x y Tỉ sp cấp 1 Tỉ sp cấp 2 Tỉ sp cấp 3 Tỉ sp cấp4 Tỉ sp cấp 5 0 11 1342 434 1 13 2210 50 548 -1
    11. 35. Page 36 1 1 2 3 -2/3 -1 3/10 2 3 2 5/6 -11/120 3/2 -1/4 3 5 5 -1/6 1 4 6 6 Khi đó: P4(x)= 1+(x-0).1 +(x-0)(x-2).(-2/3) +(x-0)(x-2)(x-3).(3/10) + (x-0)(x-2)(x-3)(x-5).(-11/120) ( )4 3 211 73 601 413 ( ) ( ) 1 120 60 120 60 x x x x= – + – + + b/ Tính f(1,25) f(1,25)= P4(1,25) ( )4 3 211 73 601 413 (1,25) 1,25 (1,25) .1,25 1 120 60 120 60 = – + – + + =3,9311525 c/ Dùng đa thức nội suy lùi bậc 4 với 5 nút không cách đều. Ta lập được bảng tỉ sai phân đến cấp 4. n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4 0 0 1
    12. 37. Page 38 Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 = 1,9: P4(1,9 + 0,2t) = 11,18 + 3,6t – , ( ) ! + , ( )( ) ! – , ( )( )( ) ! Tính gần đúng f(2,0). Ta có: x = 2,0 = 1,9 + 0,2t ó t = 0,5. Vậy P4(2,0) = 11,18 + 3,6.0,5 – , . . ( . ) ! + , . , ( , )( , ) ! – , . , ( , )( , )( , ) ! Ta có đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x0 = 2,7: P4(2,7 + 0,2t) = 28,56 + 5,04t – . ( ) ! – , ( )( ) ! – , ( )( )( ) ! Bài 6: (Vương Bảo Nhi) x 150 200 250 300 y = sin(x) 0,2588 19 0,342020 0,422618 0,500000 n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 0 15 0,258819 0,0166402 1 20 0,342020 5,206.10-5 0,0161196 8,1733.10-7 2 25 0,422618 6,432.10-5 0,0154764 3 30 0,500000 P3(x) = 0,258819 + (x – 15). 0,0166402 + (x -15)(x – 20). 5,206.10-5 + (x -15)(x – 20)(x – 25). 8,1733.10-7 = 8,1733.10-7 x3 + 3,0202.10-6 x2 + 0,0158 x + 0,018704 P3(x) = 0,5 + (x – 30). 0,0154764 + (x -30)(x – 25). 6,432.10-5 + (x -30)(x – 25)(x – 20). 8,1733.10-7
    13. 39. Page 40 y 1 9 36 100 225 n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4 0 1 1 8 1 2 9 9,5 27 3 2 3 36 18,5 0,25 64 4 3 4 100 30,5 125 4 5 225 Đặt n= 1+ t P4 (1 + t) = 1 + 8t + 9,5 ( 1) 2! t t – + 3 ( 1)( 2) 3! t t t- – + 0,25 ( 1)( 2)( 3) 4! t t t t- – – Sn= P4 (n) = 1+ 8(n – 1) + 9,5( 1)( 2) 2! n n- – + 3( 1)( 2)( 3) 3! n n n- – – + 0,25( 1)( 2)( 3)( 4) 4! n n n n- – – – = 1+ 8n – 8 + ( 1)( 2) 2! n n- – 3( 3) 0,25( 3)( 4) 9,5 3 12 n n n- – -é ù + +ê úë û = 8n – 7 + ( 1)( 2) 2! n n- – ( 3)( 4) 6,5 48 n n n – -é ù + +ê úë û Bài 8: (Đào Thị Hương) Dùng đa thức nội suy Newton bậc 6 với 7 nút nội suy. Ta lập được bảng các sai phân: i xi yi yD 2 yD 3 yD 4 yD 5 yD 6 yD 0 1,4 0,9523 0,0138 1 1,5 0,9661 -0,0036
    14. 41. Page 42 6 5 1,8 25 9 7 6 1,6 36 9,6 8 7 2,3 49 16,1 1 n i = å 28 12,2 140 256,8 Sau đó ta giải hệ: {28 8 12,2 140 28 47,3 b a b a + = + = Ta được: a = 1,14166666667 ≈ 1,14 b = 0,1095238095 ≈0,11 Vậy ta có: y = 1,14 + 0,11x b) (Phan Thị Kim Ngân) f(x) = a + bx + cx2 Ta lập bảng số liệu: i xi yi xi 2 xi 3 xi 4 xiyi xi 2 yi 1 0 1,4 0 0 0 0 0 2 1 1,3 1 1 1 1,3 1,3 3 2 1,4 4 8 16 2,8 5,6 4 3 1,1 9 27 81 3,3 9,9 5 4 1,3 16 64 256 5,2 20,8 6 5 1,8 25 125 625 9 45 7 6 1,6 36 216 1296 9,6 57,6 8 7 2,3 48 343 2401 16,1 112,7 28 12,2 140 784 4676 47,3 252,9 Ta có hệ phương trình:
    15. 43. Page 44 ta có bảng sau: x 0 1 2 3 4 5 6 7 ln f(x) ln(1,4) ln(1,3) ln(1,4) ln(1,1) ln(1,3) ln(1,8) ln(1,6) ln(2,3) 0,1715331416 0,06469348092 a b =ì í =î Vậy 0,1715331416 0,06469348092 ( ) x f x e + ´ = Bài 10: (Phan Thị Kim Ngân) a) Hàm thực nghiệm y=a + bx2 Ta lập bảng số tư liệu trên i xi yi xi 2 xi3 xi 4 xiyi xi 2 yi 1 1 0,1 1 1 1 0,1 0,1 2 2 3 4 8 16 6 12 3 3 8,1 9 27 81 24,3 72,9 4 4 14,9 16 64 256 59,3 238,4 5 5 23,9 25 125 625 119,5 597,5 1 n i= å 15 50 55 225 979 205,5 920,9 Ta có hệ phương trình: 3 2 979a 225 55 920,9 225a 55 15 209,5 55a 15 5 50 0,992857 1 7,142857.10 0 0,9 1 1 b c b c b c a b c y x – + + =ì ï + + =í ï + + =î = “ì ï Þ = – “í ï = – ” -î Þ = – b) 2 ( ) x c y dx x y x c d = + Û = + Đặt f(x)=yx
    16. 45. Page 46 Ta có bảng sau: x 2 4 6 8 10 12 y e 1510,20397 3789,5403 9897,129 26635,4949 60475,88684 171099,408 Ta lập bảng số từ bảng số liệu trên: i xi yi 2 ix 3 ix 4 ix i ix y 2 i ix y 1 2 1510,20397 4 8 16 3020,40794 6040,81588 2 4 3789,5403 16 64 256 15158,1612 60632,6448 3 6 9897,129 36 216 1296 59382,774 356296,644 4 8 26635,4949 64 512 4096 213083,9592 1704671,674 5 10 60475,88684 100 1000 10000 604758,8684 6047588,684 6 12 171099,408 144 1728 20736 2053192,896 24638314,75 1 n i=å 42 273407,7 364 3528 36400 2948597 32813545 Giải hệ phương trình: 36400d +364c = 32813545 d = 1133,3683 364d +6c = 273407,7 c = -23189,7246 Vậy ta có: y e = -23189,7246 + 1133,3683 x2 → y = ln(-23189,7246 + 1133,3683 x2 ) Bài 12: (Trần Thị Kim Ngân) ( )( ) ( ) 1 2 1 ( 1) ln( 1) 1 ln( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) e (1) (2) x x x x y a e b x f a e f b x y f x f x y f x a e a a f f = – + + Û – + + = Û + = = – = – = – 1 1 1 (1) e ln ln ( 1) x y f a y a x y A X B = = Û = + Û = + = Điều Kiện: ln(y) với y¹ 0 Suy ra

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Phương Pháp Tính Giá
  • Phương Pháp Tính Nhẩm Bằng Ngón Tay
  • Bé Học Toán Siêu Nhanh Với Toán Soroban Tính Nhẩm Bằng Ngón Tay
  • Phương Pháp Tính Bằng Ngón Tay Giúp Bé Thông Minh Hơn
  • Thỏa Thuận Trước Về Phương Pháp Xác Định Giá Tính Thuế
  • Phương Pháp Giải Bài Toán Hóa

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Cấy Chỉ Chữa Bệnh Không Dùng Thuốc
  • Cấy Chỉ Là Gì? Có Tốt Không Và Cấy Chỉ Ở Đâu Tốt Hà Nội?
  • Cấy Chỉ Là Gì? Cấy Chỉ Đông Y Mang Lại Hiệu Quả Tốt Không?
  • Cấy Que Tránh Thai Không Hề Đau Như Nhiều Chị Em Vẫn Nghĩ
  • Những Điều Cần Biết Khi Cấy Que Tránh Thai
  • Bạn học hóa sẽ biết đến định luật bảo toàn nguyên tốt là gì ? Để giải được các bài toán hóa chúng ta cần phải viết được phương trình hóa học và áp dụng định luật bảo toàn nguyên tố để giải những bài tập là điều bắt buộc.

    Định luật bảo toàn nguyên tố là gi ? Xem để hiểu rõ hơn.

    Trong các phản ứng hóa học thông thường, các nguyên tố luôn được bảo toàn như vậy có nghĩa: “Tổng số mol nguyên tử của một nguyên tố X bất kỳ trước và sau phản ứng luôn bằng nhau”.

    Ví dụ:

    Bài tập đốt cháy hợp chất hữu cơ: CH4+ 2O2 tạo thành CO2+ 2H2O

    Bài tập 1: Cho nO2=0,2 nH2O là 0,1 hỏi nCO2 = a ?

    Bảo toàn nguyên tố oxi ta có:

    0,2 2( 2 nguyên tố oxi trong O2)= 0,1 1( 1 nguyên tố oxi trong nước)+a*2( số nguyên tố oxi trong CO2)

    Phương pháp bảo toàn nguyên tố và các ví dụ thực tế.

    VD1. Từ nhiều chất ban đầu tạo thành một sản phẩm.

    Từ dữ kiện đề bài →→ số mol của nguyên tố XX trong các chất đầu →→ tổng số mol trong sản phẩm tạo thành →→ số mol sản phẩm.

    – Hỗn hợp kim loại và oxit kim loại →→ hiđroxit kim loại →→ oxit

    – AlAl và Al2O3Al2O3 + các oxit sắt hỗn hợp rắn →→ hyđroxit →Al2O3+Fe2O3→Al2O3+Fe2O3

    ⇒⇒ nAl2O3(cuối)nAl2O3(cuối) = nAl2nAl2 + nAl2O3(đầu)nAl2O3(đầu); nFe2O3(cuối)nFe2O3(cuối) = ∑nFe(đầu)2

    VD2 Biết X là axit cacbonxylic đơn chức, Y là ancol no, cả hai chất đều mạch hở, có cùng số nguyên tử cacbon.

    Đốt cháy hoàn toàn 0,4 mol hỗn hợp gồm X và Y (trong đó số mol của X lớn hơn số mol của Y) cần vừa đủ 30,24 lít khí O2O2, thu được 26,88 lít khí CO2CO2và 19,8 gam H2OH2O. Biết thể tích các chất đo ở điều kiện tiêu chuẩn. Khối lượng của Y trong 0,4 mol hỗn hợn trên là :

    A. 11,411,4 gam B. 19,019,0 gam C. 9,09,0 gam D. 17,717,7 gam

    A. 46,5% B. 32% C. 50%% D. 49,18%

    --- Bài cũ hơn ---

  • De Thi Cau Hoi Trac Nghiem
  • Biện Chứng, Phép Biện Chứng Là Gì? Siêu Hình? 2 Nguyên Lý, 3 Quy Luật Và 6 Cặp Phàm Trù Trong Triết Học Duy Vật Biện Chứng Cần Nắm
  • Biện Chứng Là Gì? :: Suy Ngẫm & Tự Vấn :: Chúngta.com
  • Tính Giá Xuất Kho Hàng Hóa Theo Phương Pháp Bình Quân Gia Quyền
  • Các Nguyên Tắc Của Pp Bàn Tay Nặn Bột
  • Phương Pháp Giải Bài Tập Điện Thế

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Tính Công Của Lực Điện Trường, Điện Thế, Hiệu Điện Thế Giữa Hai Điểm Hay, Chi Tiết
  • Cách Tính Npv Và Irr
  • Hướng Dẫn Cách Tính Khấu Hao Tscđ Theo Phương Pháp Khấu Hao Đường Thẳng
  • Phương Pháp Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau Trong Không Gian
  • Quy Định Phương Pháp Trích Khấu Hao Nhanh Tscđ Không Quá 2 Lần
  • ĐIỆN THẾ -HIỆU ĐIỆN THẾ CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH TRONG ĐIỆN TRƢỜNG ĐỀU A. PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP I. ĐIỆN THẾ – HIỆU ĐIỆN THẾ N E M d H 1. Công của lực điện trƣờng đều: A = qEd d: Là hình chiếu của độ dời trên một đường sức bất kỳ 2. Điện thế: a. Điện thế tại một điểm trong điện trường M M A V q  MA  công của lực điện trường làm điện tích q di chuyển từ M  b. Điện thế tại một điểm M gây bởi điện tích q: M q V k r   c. Điện thế tại một điểm do nhiều điện tích gây ra: V = V1 + V2 + … + Vn 3. Hiệu điện thế: MN MN M N A U V V q    AMN là công của lực điện trường làm di chuyển điện tích q từ M đến N 3. Thế năng tĩnh điện: Wt(M) = chúng tôi M N E d 4. Liên hệ giữa cƣờng độ điện trƣờng và hiệu điện thế MN E U d  Véc tư cường độ điện trường hướng từ nới có điện thế lớn tới bé. II. CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH TRONG ĐIỆN TRƢỜNG ĐỀU: 1. Gia tốc: F qE a m m      – Độ lớn của gia tốc: Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version – q E a m  2. Chuyển động thẳng biến đổi đều: – Các phương trình động học: 0v v at  2 1 at S v t 2   2 2 0v v 2a.S  3. Chuyển động cong: Chọn hệ trục toạ độ 0xy có 0x E;0y E    a. 0v E   – Phương trình chuyển động: 0 2 x v t 1 y at 2     với q U a md  – Phương trình quỹ đạo; 2 2 0 a y x 2v  b. 0v  xiên góc với E – Phương trình chuyển động: 0 2 0 x v cos t 1 y at v sin t 2        – Phương trình quỹ đạo:   2 0 a y tan .x x v cos     B. BÀI TẬP: I. BÀI TẬP VÍ DỤ: Bài 1: Hiệu điện thế giữa hai điểm C và D trong điện trường là UCD= 200V. Tính: a. Công của điện trường di chuyển proton từ C đến D b. Công của lực điện trường di chuyển electron từ C đến D. Hƣớng dẫn giải: a. Công của lực điện trường di chuyển proton: A = qpUCD = 19 171,6.10 200 3,2.10 J  b. Công của lực điện trường di chuyển e: A = eUCD = 19 171,6.10 200 3,2.10 J    Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version – Bài 2: Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông trong điện trường đều, cường độ E=5000V/m. Đường sức điện trường song song với AC. Biết AC = 4cm, CB = 3cm. Góc ACB=90 0 . a. Tính hiệu điện thế giữa các điểm A và B, B và C, C và A b. Tích công di chuyển một electro từ A đến B Hƣớng dẫn giải: A C  E B a. Ta có: ABU chúng tôi Sansangdethanhcong.com 200V    0 BCU E.BCcos90 0  CA ACU U 200V    b. Công dịch chuyển electron: 17 AB ABA e.U 3,2.10 J    Bài 3: Một electron bay với vận tốc v = 1,12.107m/s từ một điểm có điện thế V1 = 600V, theo hướng của các đường sức. Hãy xác định ddienj thế V2 ở điểm mà ở đó electron dừng lại. Hƣớng dẫn giải: Áp dụng định lí động năng: 2 1 1 A mv 2   = -6,65.10 -17 J Mặt khác: A A eU U 410J q     1 2 2 1U V V V V U 190V      Bài 4: Một electron bắt đầu chuyển động dọc theo chiều đường sức điện trường của một tụ điện phẳng, hai bản cách nhau một khoảng d = 2cm và giữa chúng có một hiệu điện thế U = 120V. Electron sẽ có vận tốc là bai nhiêu sau khi dịch chuyển được một quãng đường 3cm. Hƣớng dẫn giải: Áp đụng định lý động năng: 2 2 1 A mv 2  Mặt khác: A =F.s =q.E.s=qU .s d Do đó: 6 2 2.q.U.s v 7,9.10 m / s m.d   Bài 5: Một electron bay từ bản âm sang bản dương của một tị điện phẳng. Điện trường trong khoảng hai bản tụ có cường độ E=6.104V/m. Khoảng cách giưac hai bản tụ d =5cm. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version – a. Tính gia tốc của electron. b. tính thời gian bay của electron biết vận tốc ban đầu bằng 0. c. Tính vận tốc tức thời của electron khi chạm bản dương. Hƣớng dẫn giải: a. Gia tốc của electron: 16 2e EFa 1.05.10 m / s m m    b. thời gian bay của electron: 2 91 2dd x at t 3,1.10 s 2 a      c. Vận tốc của electron khi chạm bản dương: v = at = 3,2.10 7 m/v Bài 6: Giữa hai bản kim loại đặt song song nằm ngang tích điện trái dấu có một hiệu điện thế U1=1000V khoảng cách giữa hai bản là d=1cm. Ở đúng giưã hai bản có một giọt thủy ngân nhỏ tích điện dương nằm lơ lửng. Đột nhiên hiệu điện thế giảm xuống chỉ còn U2 = 995V. Hỏi sau bao lâu giọt thủy ngân rơi xuống bản dương? Hƣớng dẫn giải: – F P + Khi giọt thủy ngân cân bằng: 1 1 1 U U P F mg q m q d gd      Khi giọt thủy ngân rơi: 2 2P F qUa g m md     Do đó: 22 1 2 1 1 U U U a g g g 0,05m / s U U          Thời gian rơi của giọt thủy ngân: 21 1 dx at d t 0,45s 2 2 a      Bài 7: Một electron bay vào trong một điện trường theo hướng ngược với hướng đường sức với vận tốc 2000km/s. Vận tốc của electron ở cuối đoạn đường sẽ là bao nhiêu nếu hiệu điện thế ở cuối đoạn đường đó là 15V. Hƣớng dẫn giải: Áp dụng định lý động năng: 2 2 2 62 1 2 1 2 e Umv mv e U v v 3.10 m / s 2 2 m       Bài 8: Một electron bay trong điện trường giữa hai bản của một tụ điện đã tích điện và đặt Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version – cách nhau 2cm với vận tốc 3.107m/s theo ngsong song với các bản của tụ điện. Hiệu điện thế giữa hai bản phải là bao nhiêu để electron lệch đi 2,5mm khi đi được đoạn đường 5cm trong điện trường. Hƣớng dẫn giải: Ta có e E e UF amd a U m m md e      (1) Mặt khác: 2 2 22 2 1 2h 2h 2hv h at a 2 t ss v            (2) Từ (1) và (2): 2 2 2mhv U 200V e s   Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version – II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Hai tấm kim loại song song, cách nhau 2 (cm) và được nhiễm điện trái dấu nhau. Muốn làm cho điện tích q = 5.10-10 (C) di chuyển từ tấm này đến tấm kia cần tốn một công A=2.10 -9 (J). Coi điện trường bên trong khoảng giữa hai tấm kim loại là điện trường đều và có các đường sức điện vuông góc với các tấm. Tính cường độ điện trường bên trong tấm kim loại đó. ĐS: E = 200 (V/m). Bài 2: Một êlectron chuyển động dọc theo đường sức của một điện trường đều. Cường độ điện trường E = 100 (V/m). Vận tốc ban đầu của êlectron bằng 300 (km/s). Khối lượng của êlectron là m = 9,1.10 -31 (kg). Từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc vận tốc của êlectron bằng không thì êlectron chuyển động được quãng đường là bao nhiêu. ĐS: S = 2,56 (mm). Bài 3: Hiệu điện thế giữa hai điểm M và N là UMN = 1 (V). Công của điện trường làm dịch chuyển điện tích q = – 1 (  C) từ M đến N là bao nhiêu ĐS: A = – 1 (  J). Bài 4: Một quả cầu nhỏ khối lượng 3,06.10-15 (kg), mang điện tích 4,8.10-18 (C), nằm lơ lửng giữa hai tấm kim loại song song nằm ngang nhiễm điện trái dấu, cách nhau một khoảng 2(cm). Lấy g = 10 (m/s2). Tính Hiệu điện thế đặt vào hai tấm kim loại đó ĐS: U = 127,5 (V). Bài 5: Công của lực điện trường làm di chuyển một điện tích giữa hai điểm có hiệu điện thế U = 2000 (V) là A = 1 (J). Độ lớn của điện tích đó là bao nhiêu. ĐS: q = 5.10-4 (C). Bài 6: Một điện tích q = 1 (  C) di chuyển từ điểm A đến điểm B trong điện trường, nó thu được một năng lượng W = 0,2 (mJ). Tính hiệu điện thế giữa hai điểm A, B. ĐS: U = 200 (V). Bài 7: Hai điện tích điểm q1 = 0,5 (nC) và q2 = – 0,5 (nC) đặt tại hai điểm A, B cách nhau 6(cm) trong không khí. Tính cường độ điện trường tại trung điểm của AB. ĐS: E = 10000 (V/m). Bài 8: Hai điện tích điểm q1 = 0,5 (nC) và q2 = – 0,5 (nC) đặt tại hai điểm A, B cách nhau 6(cm) trong không khí. Tính độ điện trường tại điểm M nằm trên trung trực của AB, cách trung điểm của AB một khoảng l = 4 (cm). ĐS: E = 2160 (V/m). Bài 9: Một điện tích q = 10-7 (C) đặt tại điểm M trong điện trường của một điện tích điểm Q, chịu tác dụng của lực F = 3.10-3 (N). Cường độ điện trường do điện tích điểm Q gây ra tại điểm M có độ lớn bằng bao nhiêu. ĐS: EM = 3.10 4 (V/m). Bài 10: Một điện tích điểm dương Q trong chân không gây ra tại điểm M cách điện tích một khoảng r = 30 (cm), một điện trường có cường độ E = 30000 (V/m). Độ lớn điện tích Q là: ĐS: Q = 3.10-7 (C). Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version – Bài 11: Hai điện tích điểm q1 = 2.10 -2 (  C) và q2 = – 2.10 -2 (  C) đặt tại hai điểm A và B cách nhau một đoạn a = 30 (cm) trong không khí. Tính cường độ điện trường tại điểm M cách đều A và B một khoảng bằng a ĐS: EM = 2000 (V/m). Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version –

    --- Bài cũ hơn ---

  • Các Chỉ Tiêu Đánh Giá Hiệu Quả Của Dự Án Đầu Tư Xây Dựng
  • Phương Pháp Tính Hiệu Quả Đầu Tư
  • Cách Tính Khấu Hao Tài Sản Cố Định Theo Đường Thẳng
  • Hao Mòn Tài Sản Cố Định Cùng Phương Pháp Tính Hao Mòn Tài Sản
  • Hướng Dẫn Làm Việc Với Tính Hao Mòn Của Tài Sản Cố Định Năm 2022
  • Giải Mã Các Phương Pháp Ăn Kiêng

    --- Bài mới hơn ---

  • Giảm Cân Bằng Mật Ong, Nguyên Liệu Từ Thiên Nhiên
  • 6 Cách Giảm Cân Bằng Chanh Cực Đơn Giản
  • Cách Sử Dụng Một Số Cấu Trúc Khác Với If (Phần 1)
  • Phương Pháp Nhịn Ăn Gián Đoạn 18/6
  • Thầy Dư Quang Châu Hướng Dẩn Nhịn Ăn 16:8 Tại Frankfurt
  • Nhịn ăn gián đoạn là một phương pháp ăn kiêng phối hợp giữa việc hạn chế lượng calo nạp vào cơ thể hoặc ăn kiêng dựa trên chu kỳ thời gian nhất định. Trong đó phổ biến nhất là 3 phương pháp sau:

    * 16/8 (hay còn được gọi là Leangains): Bạn sẽ ăn trong vòng 8 tiếng và nhịn ăn trong vòng 16 tiếng. Thường mọi người sẽ bỏ bữa sáng, chỉ ăn trong khoảng từ 11 giờ trưa đến 7 giờ tối.

    Đây là phương pháp nhịn ăn gián đoạn phổ biến nhất.

    * 5:2: Bạn sẽ ăn 5 ngày ăn bình thường và 2 ngày chỉ ăn 500- 600 calo mỗi ngày).

    * ESE (Eat-Stop-Eat): Ăn một ngày, nghỉ một ngày, ăn một ngày và sau đó lặp lại.

    Cả 3 phương pháp này đều hướng tới giảm lượng calo nạp vào cơ thể cũng như thúc đẩy cơ thể “đánh thức” những tiềm năng sẵn có.

    Bình thường, chế độ ăn của nhịn ăn gián đoạn thoáng hơn rất nhiều so với các chế độ ăn khác. Tuy nhiên không có một chế độ ăn kiêng nào đem lại hiệu quả nếu như bạn vẫn tiêu thụ các thức ăn chứa đường tinh luyện hay chất béo có hại. Để nhịn ăn gián đoạn đạt hiệu quả giảm cân mong muốn, bạn hãy theo dõi lượng calo nạp vào/calo tiêu thụ hằng ngày cũng như phối hợp cùng các phương pháp ăn kiêng khác. Đặc biệt, nhịn ăn gián đoạn giúp hỗ trợ giảm cân rất hiệu quả khi phối hợp cùng với phương pháp keto diet cũng như tập luyện để giảm cân. Khi bạn nhịn ăn, lượng insulin giảm, do đó lượng glycogen dự trữ giảm và cơ thể của bạn bắt đầu “đốt mỡ” để hoạt động. Vì thế, nhịn ăn gián đoạn giúp cơ thể đạt tới trạng thái ketosis nhanh hơn.

    keto

    Trong những năm trở lại đây, keto có thể coi là phương pháp ăn kiêng phổ biến nhất, hiệu quả nhất và cũng tai tiếng nhất. Năm 2022, keto nằm trong top 10 từ về ăn kiêng được tìm kiếm ở Google, cũng là đề tài ăn kiêng được luận bàn nhiều nhất trên Reddit. Từ chị em nhà Kardashian cho tới Halle Berry, Megan Fox và rất nhiều sao Hollywood đã dùng keto để có được thân hình mong muốn.

    Keto là chữ viết tắt của Ketogenic Diet, phương pháp ăn kiêng nhiều chất béo (có lợi), vừa đạm và ít tinh bột. Keto khác chế độ ăn ít tinh bột (low carb) thông thường ở lượng chất béo cực cao.

    Dù theo chế độ ăn kiêng nào, nguyên lý giảm cân luôn là bất biến: năng lượng nạp vào phải ít hơn năng lượng tiêu hao. Do đó, bạn hãy kết hợp tập luyện cũng như theo dõi các bữa ăn sát sao để có hiệu quả giảm cân như mong muốn.

    Keto, con dao hai lưỡi

    Tuy nhiên, không phải ai cũng hợp với keto. Nếu bạn có vấn đề về sức khỏe như bệnh huyết áp, tiểu đường hay đang mang thai, bạn nên tham khảo ý kiến bác sĩ, chuyên gia dinh dưỡng để tránh gặp phải rủi ro. Thêm vào đó, với những người mới bắt đầu, bạn có thể mắc “keto flu” (cúm keto) với các triệu chứng chóng mặt, đau đầu, buồn nôn hay thậm chí đi ngoài.

    Ngoài ra, do keto đòi hỏi giảm tối đa lượng thức ăn nhiều đường bột trong đó có cả hoa quả, theo thời gian dài bạn có thể bị thiếu chất, đặc biệt là các loại vitamin và khoáng chất.

    Mấu chốt của keto là lượng chất béo lớn trong khẩu phần ăn. Bạn nên ưu tiên chất béo có lợi từ ô liu, quả bơ, các loại đậu và hạt. Thêm vào đó, nếu bạn nạp vào quá nhiều đạm nhưng không uống đủ nước hay ăn đủ rau xanh sẽ dẫn đến khả năng lượng uric acid tăng cao. Điều này dẫn đến các vấn đề về sức khỏe khác như sỏi thận hay gout.

    Cuối cùng, keto là một chế độ ăn kiêng khó theo đuổi được lâu dài. Vì chế độ ăn cực kỳ khắc nghiệt nên rất nhiều người từ bỏ keto giữa chừng và lập tức gặp phải hiệu ứng tăng cân như yoyo.

    Chế độ ăn chay trường vegan

    Nếu hỏi chế độ ăn nào đang hot nhất hiện nay, chắc chắn đó là chế độ ăn chay trường. Một dẫn chứng thú vị là dàn diễn viên trong vũ trụ Marvel đã có hơn 10 người theo chế độ ăn chay trường để giữ thân hình hoàn hảo.

    Nếu như chế độ ăn chay thông thường vẫn cho phép bạn ăn trứng, sữa hay mật ong thì chế độ ăn vegan loại bỏ toàn bộ các thực phẩm có nguồn gốc từ động vật. Bạn sẽ ăn rất nhiều rau xanh, hoa quả, sử dụng các loại thực phẩm thay thế cho sữa như sữa hạt, sữa đậu. Ưu điểm của chế độ ăn chay trường đã được khoa học chứng minh: từ giúp da đẹp hơn cho tới khiến hệ tim mạch và tiêu hóa khỏe hơn.

    Thêm vào đó, các ngôi sao Hollywood còn có một đội ngũ chuyên gia dinh dưỡng cũng như đầu bếp để giúp họ xây dựng được một chế độ ăn chay trường đủ chất. Có rất nhiều chất bạn khó có thể tìm thấy ở thực vật, nếu không để ý trong thời gian dài có thể gây hại cho sức khỏe.

    Chế độ ăn WFPB (WHOLE FOOD PLANT BASED)

    Mới nghe qua cái tên “plant based” – chế độ ăn thực vật, chúng ta sẽ liên tưởng ngay đến chế độ ăn chay. Tuy nhiên điều quan trọng của WFPB nằm trong 2 từ “whole foods” trong tên gọi. Whole foods là gì? Là khi ăn một thực phẩm nào đó, bạn sẽ ăn ở trạng thái tự nhiên, nguyên thể nhất khi chưa qua chế biến. Do đó WFPB chính là chế độ ăn whole foods nhưng giảm thiểu thành phần từ động vật và tăng cường thành phần thực vật trong khẩu phần.

    Thành phần của WFPB bao gồm các loại rau, củ, quả tươi, các loại hạt, ngũ cốc nguyên cám, chất béo lành mạnh; hạn chế các loại thịt, cá cũng như sản phẩm từ động vật. WFPB loại bỏ tối đa các loại thức ăn chế biến sẵn, thức ăn nhanh, các loại bánh, kẹo và các loại “tinh” bột như bột mì, bánh mì, gạo trắng, bún, phở…

    Chế độ WFPB chỉ hạn chế chứ không cấm ăn các sản phẩm từ thịt, cá, sữa, do đó bạn không lo sợ thiếu hụt chất so với chế độ ăn chay trường. Việc kết hợp WFPB với các chế độ ăn kiêng khác như keto hay IF sẽ còn mang lại hiệu quả cao hơn mà không ảnh hưởng đến sức khỏe.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Tăng Chiều Cao Tuổi 17 Hiệu Quả Nhất Hiện Nay
  • 7++ Cách Tăng Chiều Cao Nhanh Chóng Mỗi Ngày
  • Vận Dụng Ifrs Kinh Nghiệm Thế Giới Và Giải Pháp Cho Việt Nam
  • Thụ Tinh Nhân Tạo Và Những Điều Cần Biết
  • Sinh Con Theo Ý Muốn Bằng Thụ Tinh Nhân Tạo (Ivf)
  • Các Phương Pháp Giải Toán Tiểu Học

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Xác Định Số Oxi Hóa Của Các Nguyên Tố Hay, Chi Tiết
  • Hình Học Của Số Phức
  • Xác Định Hằng Số Planck Bằng Tế Bào Quang Điện Và Đèn Led
  • Phụ Lục Iii Hướng Dẫn Phương Pháp Ước Tính Số Liệu Trong Kỳ Báo Cáo 6 Tháng Và Báo Cáo Năm Lần 1
  • Kỹ Thuật Bào Chế Và Sinh Dược Học Các Dạng Thuốc
  • Published on

    Các phương pháp giải toán tiểu học

    – Phương pháp tính ngược từ cuối

    – Phương pháp giả thiết tạm

    – Rút gọn phân số

    – Một dạng toán dùng dấu hiệu chia hết

    – Quy đồng tử số các phân số

    – Sơ đồ đoạn thẳng với các phần bằng nhau

    – Một số dạng toán về phân số

    – Bài toán tính tuổi

    …..

    1. 2. Ta có: Số thứ nhất: – 14; + 7 cho kết quả là 45 Số thứ hai: + 14; – 28 cho kết quả là 45 Số thứ ba: + 28; – 7 cho kết quả là 45 Từ phân tích trên ta đi đến lời giải của bài toán như sau: Số thứ nhất là: 45 – 7 + 14 = 52. Số thứ hai là: 45 + 28 – 14 = 49. Số thứ ba là: 45 + 7 – 28 = 24. Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24. Lời giải bài toán trên có thể thể hiện trong bảng sau: Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24. Các bạn thử giải các bài toán sau bằng phương pháp tính ngược từ cuối: Bài 1: Tìm một số, biết rằng giảm số đó đi 3 lần, sau đó cộng với 5, rồi nhân với 2 và cuối cùng chia cho 8 được kết quả bằng 4. Bài 2: Tổng số của ba số bằng 96. Nếu chuyển từ số thứ hai sang số thứ nhất 3 đơn vị và sang số thứ ba 17 đơn vị, cuối cùng chuyển từ số thứ ba sang số thứ nhất 9 đơn vị thì số thứ nhất sẽ gấp đôi số thứ hai và bằng 2/5 số thứ ba. Tìm ba số đó. Trần Diên Hiển (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội) THẾ NÀO LÀ … GIẢ THIẾT TẠM Trong các bài toán ở Tiểu học, có một dạng toán trong đó đề cập đến hai đối tượng (là người, vật hay sự việc) có những đặc điểm được biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau, chẳng hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau, hai công cụ lao động có năng suất khác nhau, hai loại vé có giá tiền khác nhau … Ta thử đặt ra một trường hợp cụ thể nào đó không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng không có thật , thậm chí một tình huống vô lí. Tất nhiên giả thiết này chỉ là tạm thời để chúng ta lập luận nhằm đưa bài toán về
    2. 5. Vì 2 x 2 x 3 = 12 nên 132:12 / 204:12 = 11/17. 3. Dùng cách thử chọn theo các bước. Ví dụ. Rút gọn phân số 26/65. Bước 1: 26:2 = 13 Bước 2: 65:13 = 5 Bước 3: Cùng chia 13. 26:13 / 65:13 = 2/5. 4. Phân số có dạng đặc biệt. Ví dụ. Rút gọn phân số 1133 / 1442. Bước 1: 1133 : 11 = 103 Bước 2: 1442 :14 = 103 Bước 3: Cùng chia 103. 1133 / 1442 = 1133:103 / 1442:103 = 11/14. Vạn dụng những hiểu biét của mình, các em hãy tự giải các bài tập sau: Rút gọn phân số: 35 / 91; 37 / 111; 119 / 153; 322 / 345; 1111 / 1313. Đỗ Trung Hiệu BÀI TOÁN CHIA GIA TÀI Các bạn vừa giải bài toán “Ôtôna đã làm thế nào?”. Đây là bài toán tương tự của bài toán dân gian: “Một người nông dân nuôi được 17 con trâu. Trước khi qua đời, ông di chúc lại cho ba người con: – Con cả được 1/2 đàn trâu. – Con thứ được chia 1/3 đàn trâu. – Con út được chia 1/9 đàn trâu. Ba người con loay hoay không biết làm thế nào để chia gia tài mà không phải xẻ thịt các con trâu. Em hãy tìm cách giúp họ”. Có thể giải bài toán như sau: Em đem một con trâu (nếu không có trâu thật thì dùng trâu bằng gỗ chẳng hạn) đến nhập thêm vào 17 con trâu thành một đàn 18 con trâu. Sau đó: – Chia cho người con cả 1/2 đàn, tức là: 18 : 2 = 9 (con trâu) – Chia cho người con thứ 1/3 đàn, tức là: 18 : 3 = 6 (con trâu) – Chia cho người con út 1/9 đàn, tức là: 18 : 9 = 2 (con trâu) Vậy ba người con được vừa đúng: 9 + 6 + 2 = 17 (con trâu) Còn em lại mang con trâu của mình về.
    3. 9. thứ hai, trong khi số thứ nhất chia làm 4 phần bằng nhau, thì số thứ hai sẽ là 6 phần như thế. Giải : Ta có sơ đồ sau : Số thứ nhất là : 360 : (4 + 6) x 4 = 144 Số thứ hai là : 360 – 144 = 216 Đáp số : Số thứ nhất : 144 ; Số thứ hai : 216. Nhận xét : Bài toán 1, phân số 1/4 và 1/6 là hai phân số có tử số bằng 1. Nếu ta thay hai phân số này bởi hai phân số có tử số bằng nhau, chẳng hạn 3/4 và 3/6 thì vẫn đưa được về bàI toán 1. Vậy khi tử số của hai phân số khác nhau thì ta cần quy đồng tử số. Bài toán 2 : Hai số có tổng là 230. Biết 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai. Tìm hai số đó. Phân tích : Bài toán này không vẽ sơ đồ ngay như bài toán 1 được vì và không cùng tử số. Vậy để đưa bài toán này về dạng bài toán 1 ta phải chuyển 3/4 và 2/5 về hai phân số cùng tử số (quy đồng tử số). Ta có : 3/4 = 6/8; 2/5 = 6/15. Vậy 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ nhất bằng 6/15 số thứ hai. Do đó 1/8 số thứ nhất bằng 1/15 số thứ hai. Đến đây bài toán hoàn toàn tương tự bài toán 1. Giải : 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ nhất bằng 6/15 số thứ hai. Do đó 1/8 số thứ nhất bằng 1/15 số thứ hai nên số thứ nhất chia làm 8 phần bằng nhau thì số thứ hai gồm 15 phần như thế. Ta có sơ đồ : Số thứ nhất là : 230 : (8 + 15) x 8 = 80 Số thứ hai là : 230 – 80 = 150 Đáp số : Số thứ nhất : 80 ; Số thứ hai : 150. Ta có thể thay đổi gi thiết để bài toán có thêm các bước tính nữa mới trở về dạng bài toán 2. Ta xét bài toán sau : Bài toán 3 : Hai số có tổng là 230. Nếu bớt số thứ nhất đi 1/4 của nó và bớt số thứ hai đi 3/5 của nó thì được hai số mới bằng nhau. Tìm hai số ban đầu. Phân tích : Từ giả thiết ta thấy 1- 1/4 = 3/4 (số thứ nhất) đúng bằng 1- 3/5 = 2/5 (số thứ hai). Do đó bàI toán trở về bàI toán 2 Bây giờ ta xét tình huống phức tạp hơn Bài toán 4 : Tổng hai số bằng 104. Tìm hai số đó biết rằng 1/4 số thứ nhất kém 1/6 số thứ hai là 4 đơn vị. Giải: 1/4 số thứ nhất cộng thêm 4 đơn vị thì bằng 1/6 số thứ hai nên số thứ hai chia làm 6 phần bằng nhau thì mỗi phần chính là 1/4 số thứ nhất cộng thêm 4 đơn vị. Ta có sơ đồ :
    4. 11. Ví dụ 3 : An nghĩ ra một phân số. An nhân tử số của phân số đó với 2, đồng thời chia mẫu số của phân số đó cho 3 thì An được một phân số mới. Biết tổng của phân số mới và phân số ban đầu là 35/9. Tìm phân số An nghĩ. Phân tích : Khi nhân tử số của phân số với 2, giữ nguyên mẫu số thì phân số đó gấp lên 2 lần. Khi chia mẫu số của phân số cho 3, giữ nguyên tử số thì phân số đó gấp lên 3 lần. Vậy khi nhân tử số của phân số với 2 đồng thời chia mẫu số của phân số cho 3 thì phân số đó gấp lên 2 x 3 = 6 (lần). Bài toán được chuyển về dạng toán điển hình tìm 2 số biết tổng và tỉ. Bài giải : Khi nhân tử số của phân số An nghĩ với 2 đồng thời chia mẫu số của phân số đó cho 3 thì được phân số mới. Vậy phân số mới gấp phân số ban đầu số lần là : 2 x 3 = 6 (lần), ta có sơ đồ : Phân số ban đầu là : Từ 3 ví dụ trên ta rút ra một nhận xét như sau : Một phân số : – Nếu ta tăng (hoặc giảm) tử số bao nhiêu lần và giữ nguyên mẫu số thì phân số đó tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần. – Nếu ta giảm (hoặc tăng) mẫu số bao nhiêu lần và giữ nguyên tử số thì phân số đó tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần. Các bạn hãy thử sức của mình bằng một số bài toán sau đây : Bài 1 : Tìm một phân số biết rằng nếu tăng tử số lên 6 lần, đồng thời tăng mẫu số lên 2 lần thì giá trị phân số tăng 12/11. Bài 2 : Toán nghĩ ra một phân số sau đó Toán chia tử số của phân số cho 2 và nhân mẫu số của phân số với 4 thì Toán thấy giá trị của phân số giảm đi 15/8. Tìm phân số mà Toán nghĩ. Bài 3 : Từ một phân số ban đầu, Học đã nhân tử số với 3 được phân số mới thứ nhất, chia mẫu số cho 2 được phân số mới thứ hai, chia tử số cho 3 đồng thời nhân mẫu số với 2 được phân số mới thứ ba. Học thấy tổng ba phân số mới là 25/8. Đố bạn tìm được phân số ban đầu của Học. Ngô Văn Nghi (Giáo viên trường TH Nam Đào, thị trấn Nam Giang, Nam Trực, Nam Định) BÀI TOÁN TÍNH TUỔI Trong nhiều loại toán, người ta thường để ý đến những đại lượng không thay đổi. Đối với bài toán tính tuổi thì đại lượng đó chính là hiệu số giữa tuổi của hai người. Dựa vào đại lượng này ta có thể giải được nhiều bài toán tính tuổi.
    5. 12. Bài toán 1 : Hiện nay, tuổi bố gấp 7 lần tuổi con. Sau 10 năm nữa, tuổi bố gấp 3 lần tuổi con. Tính tuổi mỗi người hiện nay. Phân tích : Bài toán yêu cầu tính số tuổi của hai bố con hiện nay nhưng chỉ cho biết : – Tỉ số tuổi của hai bố con ở hai thời điểm khác nhau. – Khoảng cách thời gian giữa hai thời điểm đó. Nhưng ta có thể dễ dàng phát hiện ra một điều kiện nữa của bài toán, đó là “hiệu số tuổi của hai bố con là không đổi”. Từ đó ta có thể giải được bài toán như sau. Giải : Hiện nay, nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 7 phần như thế. Ta có sơ đồ thứ nhất : Hiệu số tuổi của hai bố con hiện nay là : 7 – 1 = 6 (phần) Hiện nay tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai bố con là 1 : 6 = 1/6 Sau 10 năm nữa, nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 3 phần như thế (mỗi phần bây giờ có giá trị khác mỗi phần ở trên). Ta có sơ đồ thứ hai : Sau 10 năm hiệu số tuổi của hai bố con là : 3 – 1 = 2 (phần) Sau 10 năm tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai bố con là 1 : 2 = 1/2 Vì hiệu số tuổi của hai bố con không bao giờ thay đổi nên ta có thể so sánh về tỉ số giữa tuổi con hiện nay và tuổi con sau 10 năm nữa. – Tuổi con hiện nay bằng 1/6 hiệu số tuổi của hai bố con. – Tuổi con sau 10 năm nữa bằng 1/2 hay 3/6 hiệu số tuổi của hai bố con. Vậy tuổi con sau 10 năm nữa gấp 3 lần tuổi con hiện nay. Ta có sơ đồ tuổi con ở hai thời điểm : Tuổi con hiện nay là : 10 : 2 = 5 (tuổi) Tuổi bố hiện nay là : 5 x 7 = 35 (tuổi) Đáp số : Con : 5 tuổi ; Bố : 35 tuổi Bài toán 2 : Trước đây 4 năm tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Sau 4 năm nữa, tỉ số giữa tuổi con và tuổi mẹ là 3/8 Tính tuổi mỗi người hiện nay. Phân tích : Bài toán này đặt ra ba thời điểm khác nhau (Trước đây 4 năm, hiện nay và sau đây 4 năm). Nhưng chúng ta chỉ cần khai thác bài toán ở hai thời điểm : Trước đây 4 năm và sau đây 4 năm nữa. Ta phải tính được khoảng cách thời gian giữa hai thời điểm này. Bài toán này có thể giải tương tự như bài toán 1. Giải : Trước đây 4 năm nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi mẹ là 6 phần như thế. Hiệu số tuổi của hai mẹ con là : 6 – 1 = 5 (phần) Vậy tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai mẹ con là 1 : 5 = 1/5 Sau 4 năm nữa, nếu tuổi con được chia thành 3 phần bằng nhau thì tuổi mẹ sẽ có 8 phần như thế. Hiệu số tuổi của hai mẹ con là : 8 – 3 = 5 (phần) Vậy sau 4 năm nữa tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai mẹ con là 3 : 5 = 3/5 Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con là không thay đổi nên ta có thể so sánh tuổi con trước
    6. 13. đây 4 năm và tuổi con sau đây 4 năm. Ta có tuổi con sau 4 năm nữa gấp 3 lần tuổi con trước đây 4 năm và tuổi con sau 4 năm nữa hơn tuổi con trước đây 4 năm là : 4 + 4 = 8 (tuổi). Ta có sơ đồ tuổi con ở hai thời điểm : Tuổi con trước đây 4 năm là : 8 : (3 – 1) = 4 (tuổi) Tuổi mẹ trước đây 4 năm là : 4 x 6 = 24 (tuổi) Tuổi con hiện nay là : 4 + 4 = 8 (tuổi) Tuổi mẹ hiện nay là : 24 + 4 = 28 (tuổi) Đáp số : Con : 8 tuổi ; Mẹ : 28 tuổi Chú ý : Để vận dụng tốt thủ thuật giải toán này, các em cần nắm vững kiến thức về tỉ số và đại lượng không đổi đối với bài toán tính tuổi. Các em có thể giải quyết được nhiều bài toán khó của dạng toán tính tuổi bằng thủ thuật này đấy. Hãy thử sức mình với các bài toán sau. Bài 1 : Hiện nay tuổi anh gấp 3 lần tuổi em. Sau 14 năm nữa, tỉ số giữa tuổi anh và tuổi em là 5/4 Tính tuổi mỗi người hiện nay. Bài 2 : Trước đây 2 năm, tỉ số giữa tuổi An và tuổi bố là 1/4. Sau 10 năm nữa, tỉ số giữa tuổi bố và tuổi An là 11/5. Tính tuổi mỗi người hiện nay. Bài 3 : Trước đây 4 năm, tuổi bố gấp 7 lần tuổi con và tuổi ông gấp 2 lần tuổi bố. Sau 4 năm nữa, tỉ số giữa tuổi cháu và tuổi ông là 3/16. Tính tuổi mỗi người hiện nay. BÀI TOÁN VỀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở LỚP 3 Ở lớp 3 học sinh được học về phép chia có dư, cách thực hiện phép chia có dư, mối quan hệ giữa số dư và số chia. Trong quá trình luyện tập, thực hiện về phép chia có dư học sinh được làm quen với phép chia có dư. Việc giải bài toán này không có gì khác biệt so với “giải bài toán về phép chia hết”. Do đặc điểm của cách diễn đạt về phép chia nên cách trình bài giải có khác nhau. Ví dụ 1 : Có 31 mét vải, may mỗi bộ quần áo hết 3 mét vải. Hỏi có thể may được nhiều nhất bao nhiêu bộ quần áo như thế và còn thừa mấy mét vải ? Bài giải : Thực hiện phép chia ta có : 31 : 3 = 10 (dư1). Vậy có thể may được nhiều nhất là 10 bộ quần áo như thế và còn thừa 1 mét vải. Đáp số : 10 bộ, thừa 1 mét vải. Trong bài giải có hai điểm khác với việc trình bày bài giải bài toán đơn là : Kết quả của phép tính không ghi tên đơn vị, câu trả lời đặt sau phép tính. Ví dụ 2 : Một lớp học có 33 học sinh. Phòng học của lớp đó chỉ có loại bàn 2 chỗ ngồi. Hỏi cần có ít nhất bao nhiêu bàn học như thế ? Bài giải : Thực hiện phép chia ta có : 33 : 2 = 16 (dư 1). Số bàn có 2 học sinh ngồi là 16 bàn, còn 1 học sinh chưa có chỗ ngồi nên cần có thêm 1 bàn nữa. Vậy cần số bàn ít nhất là : 16 + 1 = 17 (cái bàn)
    7. 14. Đáp số: 17 cái bàn. Trong bài giải này ngoài phép tính chia có dư, còn có phép cộng kết quả phép chia đó với 1 (cần lưu ý học sinh : số 1 này không phải là số dư). Ví dụ 3 : Đoàn khách du lịch có 50 người, muốn thuê xe loại 4 chỗ ngồi. Hỏi cần thuê ít nhất bao nhiêu xe để chở hết số khách đó ? Bài giải : Thực hiện phép chia ta có : 50 : 4 = 12 (dư 2). Có 12 xe mỗi xe chở 4 người khách, còn 2 người khách chưa có chỗ nên cần có thêm 1 xe nữa. Vậy số xe cần ít nhất là : 12 + 1 = 13 (xe). Đáp số : 13 xe ô tô. Ví dụ 4 : Cần có ít nhất bao nhiêu thuyền để chở hết 78 người của đoàn văn công qua sông, biết rằng mỗi thuyền chỉ ngồi được nhiều nhất là 6 người, kể cả người lái thuyền ? Bài giải : Mỗi thuyền chỉ chở được số khách nhiều nhất là : 6 – 1 = 5 (người) Thực hiện phép chia ta có : 78 : 5 = 15 (dư 3). Có 15 thuyền, mỗi thuyền chở 5 người khách, còn 3 người khách chưa có chỗ ngồi nên cần có thêm 1 thuyền nữa. Vậy số thuyền cần có ít nhất là : 15 + 1 = 16 (thuyền). Đáp số : 16 thuyền. Trong 4 ví dụ trên câu hỏi của bài toán về phép chia có dư đều có thuật ngữ “nhiều nhất” hoặc “ít nhất”. Tuy nhiên cũng có bài toán về phép chia có dư mà không cần có các thuật ngữ đó. Ví dụ 5 : Năm nhuận có 366 ngày. Hỏi năm đó gồm bao nhiêu tuần lễ và mấy ngày ? Bài giải : Một tuần lễ có 7 ngày. Thực hiện phép chia ta có : 366 : 7 = 52 (dư 2). Vậy năm nhuận gồm 52 tuần lễ và 2 ngày. Đáp số : 52 tuần lễ và 2 ngày. Ví dụ 6 : Hôm nay là chủ nhật. Hỏi 100 ngày sau sẽ là thứ mấy của tuần lễ ? Bài giải : Một tuần lễ có 7 ngày. Thực hiện phép chia ta có : 100 : 7 = 14 (dư 2). Sau đúng 14 tuần lại đến ngày chủ nhật và hai ngày sau là ngày thứ ba. Vậy 100 ngày sau là ngày thứ ba trong tuần lễ. Đáp số : ngày thứ ba. Xin giới thiệu cùng bạn đọc tham khảo một bài toán hay trong Kì thi Olympic Đông Nam á năm 2003 (Toán Tuổi thơ số 40) : Bài toán : Một xe buýt cỡ vừa có thể chở 30 hành khách, một xe buýt cỡ nhỏ có thể chở 8 hành khách, một xe buýt cỡ lớn có thể chở 52 hành khách. Hỏi cần bao nhiêu xe buýt cỡ lớn để chở được tất cả hành khách của 8 xe buýt cỡ vừa đầy hành khách và 13 xe buýt cỡ nhỏ đầy hành khách ?
    8. 15. Đỗ Trung Hiệu (Hà Nội) MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Trong thực tế ta gặp nhiều bài toán về công việc chung. Khi giải các bài toán dạng này ta có thể hiểu một công việc như là một đơn vị và biểu thị thành nhiều phần bằng nhau sao cho phù hợp với các điều kiện của bài toán, để thuận tiện cho việc tính toán và giải bài toán đó. Ta xét một vài ví dụ sau : Ví dụ 1 : Ba người cùng làm một công việc. Người thứ nhất có thể hoàn thành công việc trong 3 ngày. Người thứ hai có thể hoàn thành một công việc nhiều gấp 3 lần công việc đó trong 8 ngày. Người thứ ba có thể hoàn thành một công việc nhiều gấp 5 lần công việc đó trong12 ngày. Hỏi cả ba người cùng làm công việc ban đầu thì sẽ hoàn thành trong bao nhiêu giờ, nếu mỗi ngày làm 9 giờ ? Phân tích : Muốn tính xem cả ba người cùng làm công việc ban đầu trong bao lâu ta phải biết được số phần công việc cả ba người làm trong một ngày. Muốn tìm được số phần công việc cả ba người làm trong một ngày thì phải tìm được số phần công việc mỗi người làm trong một ngày. Số phần công việc làm trong một ngày của mỗi người chính bằng số phần công việc chung chia cho số ngày. Do đó số phần công việc chung phải chia hết cho số ngày. Số nhỏ nhất chia hết cho 3, 8 và 12 là 24. Vậy ta coi một công việc chung được giao là 24 phần bằng nhau để tìm số phần công việc của mỗi người trong một ngày. Bài giải : Coi một công việc chung được giao là 24 phần bằng nhau thì số phần công việc của người thứ nhất làm trong một ngày là : 24 : 3 = 8 (phần). Số phần công việc người thứ hai làm trong một ngày là : 24 : 8 3 = 9 (phần). Số phần công việc người thứ ba làm trong một ngày là : 24 : 12 5 = 10 (phần). Số phần công việc cả ba người làm trong một ngày là : 8 + 9 + 10 = 27 (phần). Thời gian cần để cả ba người cùng làm xong công việc ban đầu là : Số giờ cần để cả ba người hoàn thành công việc ban đầu là : Ví dụ 2 : Để cày xong một cánh đồng, máy cày thứ nhất cần 9 giờ, máy cày thứ hai cần 15 giờ. Người ta cho máy cày thứ nhất làm việc trong 6 giờ rồi nghỉ để máy cày thứ hai làm tiếp cho đến khi cày xong diện tích cánh đồng này. Hỏi máy cày thứ hai đã làm trong bao lâu ? Phân tích : Ở bài này “công việc chung” chính là diện tích cánh đồng. Theo cách phân tích ở bài toán 1, diện tích cánh đồng biểu thị số phần là số nhỏ nhất chia hết cho 9 và 15. Nếu coi diện tích cánh đồng là 45 phần bằng nhau thì sẽ tìm được số phần diện tích của mỗi máy cày trong một giờ. Từ đó ta tìm được thời gian máy cày thứ hai làm. Bài giải : Coi diện tích cánh đồng là 45 phần bằng nhau thì mỗi giờ ngày thứ nhất cày được số phần diện tích là : 45 : 9 = 5 (phần). Trong 6 giờ máy cày thứ nhất cày được số phần diện tích là : 5 x 6 = 30 (phần). Số phần diện tích còn lại là : 45 – 30 = 15 (phần).
    9. 18. 1) Khi số chia, thương của phép chia là số thập phân thì số dư là số thập phân. 2) Số lượng chữ số phần thập phân của số dư bằng tổng số lượng các chữ số trong phần thập phân của số chia và thương. Chẳng hạn: Rất mong các bạn trao đổi tiếp. Xin cảm ơn các bạn! Nguyễn Thị Minh Hiếu (GV trường TH Vạn Ninh, Gia Bình, Bắc Ninh) TOÁN VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN Chương trình toán 4 đã giới thiệu các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch ngay sau khi các em được làm quen với các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận. Trong bài viết “Toán về các đại lượng tỉ lệ thuận” của tác giả Đỗ Văn Thản đăng trên TTT số 43 đã giúp các bạn nắm được phương pháp giải các bài toán có tới 3 đại lượng mà hai đại lượng bất kì đều tỉ lệ thuận. Để các bạn nhận biết nhanh và giải thành thạo các bài toán về các đại lượng tỉ lệ nghịch chúng ta cùng tìm hiểu mấy ví dụ sau : Ví dụ 1 : 14 người đắp xong một đoạn đường trong 6 ngày. Hỏi 28 người đắp xong đoạn đường đó trong bao nhiêu ngày ? (Năng suất lao động của mỗi người như nhau). Tóm tắt : 14 người đắp xong đoạn đường : 6 ngày 28 người đắp xong đoạn đường đó : ? ngày Tương tự như toán về các đại lượng tỉ lệ thuận, toán về các đại lượng tỉ lệ nghịch cũng có 2 cách giải. *Cách 1 : Rút về đơn vị Một người đắp xong đoạn đường đó trong số ngày là : 6 x 14 = 84 (ngày) 28 người đắp xong đoạn đường đó trong số ngày là : 84 : 28 = 3 (ngày) *Cách 2 : Dùng tỉ số 28 người so với 14 người thì gấp : 28 : 14 = 2 (lần) 28 người đắp xong đoạn đường đó trong số ngày là : 6 : 2 = 3 (ngày) Ví dụ 1 là một bài toán cơ bản về 2 đại lượng tỉ lệ nghịch. Nắm vững được phương pháp giải của bài toán cơ bản đó chúng ta có thể giải được bài toán có tới 3 đại lượng mà hai đại lượng bất kì đều tỉ lệ nghịch. Các bạn hãy theo dõi ví dụ sau : Ví dụ 2 : Nếu có 4 người mỗi ngày làm việc 5 giờ thì đắp xong đoạn đường trong 12 ngày. Hỏi nếu có 6 người mỗi ngày làm việc 10 giờ thì đắp xong đoạn đường ấy trong bao nhiêu ngày (năng suất lao động của mỗi người như nhau).
    10. 19. Tóm tắt : 4 người mỗi ngày làm 5 giờ : 12 ngày 6 người mỗi ngày làm 10 giờ : ? ngày Việc giải bài toán này ta cũng đưa về giải liên tiếp hai bài toán đơn mà hai đại lượng trong bài tỉ lệ nghịch. *Cách 1 : Giải liên tiếp hai bài toán sau : Bài toán 1a : Nếu 4 người mỗi ngày làm việc 5 giờ thì đắp xong đoạn đường trong 12 ngày. Hỏi : Nếu 6 người mỗi ngày làm việc 5 giờ thì đắp xong đoạn đường đó trong mấy ngày ? (năng suất lao động của mỗi người như nhau). Bài toán trên đã cố định số giờ làm việc trong mỗi ngày và công việc phải làm (đắp xong đoạn đường đã định) nên số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Ta dễ dàng giải được bài toán đó và tìm được đáp số là 8 ngày. Bài toán 2a : Nếu 6 người mỗi ngày làm việc 5 giờ thì đắp xong đoạn đường trong 8 ngày. Hỏi nếu 6 người đó mỗi ngày làm việc 10 giờ thì sẽ đắp xong đoạn đường đó trong mấy ngày ? (năng suất lao động của mỗi người như nhau). Vẫn công việc ấy, ở bài toán 2 đã cố định số người (đều có 6 người) nên số giờ làm việc trong mỗi ngày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Giải bài toán này ta tìm được đáp số là 4 ngày. Đáp số này cũng chính là đáp số của ví dụ 2. Ta có thể bày lời giải của ví dụ 1 như sau : Một người mỗi ngày làm việc 5 giờ đắp xong đoạn đường đó trong số ngày là : 12 x 4 = 48 (ngày) 6 người mỗi ngày làm việc 5 giờ đắp xong đoạn đường đó trong số ngày là : 48 : 6 = 8 (ngày) 10 giờ so với 5 giờ thì gấp : 10 : 5 = 2 (lần) 6 người mỗi ngày làm việc 10 giờ thì đắp xong đoạn đường đõ trong số ngày là : 8 : 2 = 4 (ngày) *Cách 2 : Giải liên tiếp hai bài toán sau : Bài toán 1b : Nếu 4 người mỗi ngày làm việc 5 giờ thì đắp xong một đoạn đường trong 12 ngày. Hỏi nếu 4 người ấy, mỗi ngày làm việc 10 giờ thì đắp xong đoạn đường ấy trong mấy ngày ? (sức lao động của mỗi người như nhau). Bài toán đã cố định công việc (đắp xong một đoạn đường) và số người (đều có 4 người) nên số giờ làm việc trong mỗi ngày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Giải bài toán trên ta tìm được đáp số là 6 ngày. Bài toán 2b : Nếu 4 người, mỗi ngày làm việc 10 giờ thì đắp xong đoạn đường trong 6 ngày. Hỏi nếu 6 người, mỗi ngày làm việc 10 giờ thì đắp xong đoạn đường ấy trong mấy ngày ? (sức lao động của mỗi người như nhau). Vẫn công việc ấy, ở bài toán này đã cố định số giờ làm việc trong mỗi ngày nên số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Ta dễ dàng giải được bài toán này và tìm ra đáp số là 4 ngày. Đáp số này cũng chính là đáp số của ví dụ 2. Trình bày lời giải như sau : 10 giờ so với 5 giờ thì gấp : 10 : 5 = 2 (lần) 4 người mỗi ngày làm việc 10 giờ thì đắp xong đoạn đường đó trong số ngày là : 12 : 2 = 6 (ngày) Một người mỗi ngày làm việc 10 giờ thì đắp xong đoạn đường đó trong số ngày là : 6 x 4 = 24 (ngày) 6 người mỗi ngày làm việc 10 giờ thì đắp xong đoạn đường trong số ngày là : 24 : 6 = 4 (ngày).
    11. 25. 1b) Nếu mỗi ca có 12 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được 360 mét vải. Hỏi nếu ca đó phải dệt 1440 mét vải thì mỗi công nhân phải đứng mấy máy ? Bài toán tỉ lệ thuận này, giải ra ta tìm được đáp số là 8 máy, đây cũng là đáp số của ví dụ 3. 2a) Nếu mỗi ca có 24 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được 720 mét vải. Hỏi nếu mỗi ca có 12 công nhân muốn dệt được số vải đó thì mỗi công nhân phải đứng mấy máy ? Bài toán tỉ lệ nghịch này, giải ra ta được đáp số là 4 máy. 2b) Nếu mỗi ca có 12 công nhân mỗi công nhân đứng 4 máy thì dệt được 720 mét vải. Hỏi vẫn chỉ có 12 công nhân trong một ca nhưng phải dệt 1440 mét vải thì mỗi công nhân phải đứng mấy máy ? Bài toán tỉ lệ thuận này, giải ra ta được đáp số là 8 máy, đây cũng là đáp số của ví dụ 3. 3a) Nếu mỗi ca có 24 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được 720 mét vải. Hỏi muốn dệt 1440 mét vải thì mỗi công nhân phải đứng mấy máy ? Bài toán tỉ lệ thuận này, giải ra ta được đáp số là 4 máy. 3b) Nếu mỗi ca có 24 công nhân, mỗi công nhân đứng 4 máy thì dệt được 1440 mét vải. Hỏi nếu mỗi ca có 12 công nhân, muốn dệt được số vải đó thì mỗi người phải đứng mấy máy ? Bài toán tỉ lệ nghịch này, giải ra ta được đáp số là 8 máy, đây cũng là đáp số của ví dụ 3. 4a) Nếu mỗi ca có 24 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được 720 mét vải. Hỏi muốn dệt 1440 mét vải mà mỗi công nhân chỉ đứng 2 máy thì mỗi ca cần bao nhiêu công nhân ? Bài toán tỉ lệ thuận này, giải ra ta được đáp số là 48 công nhân. 4b) Nếu mỗi ca có 48 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được 1440 mét vải. Hỏi nếu mỗi ca chỉ có 12 công nhân muốn dệt được số vải đó thì mỗi công nhân phải đứng mấy máy ? Bài toán tỉ lệ nghịch này, giải ra ta được đáp số là 8 máy, đây cũng là đáp số của ví dụ 3. 5a) Nếu mỗi ca có 24 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được 720 mét vải. Hỏi nếu muốn dệt số vải đó mà mỗi công nhân chỉ đứng 1 máy thì cần bao nhiêu công nhân ? Bài toán tỉ lệ nghịch này, giải ra ta được đáp số là 48 công nhân. 5b) Nếu mỗi ca có 48 công nhân, mỗi công nhân đứng 1 máy thì dệt được 720 mét vải. Hỏi muốn dệt 1440 mét vải mà mỗi công nhân chỉ đứng 1 máy thì cần bao nhiêu công nhân ? Bài toán tỉ lệ thuận này, giải ra ta được đáp số là 96 công nhân. 5c) Nếu mỗi ca có 96 công nhân, mỗi công nhân đứng 1 máy thì dệt được 1440 mét vải. Hỏi mỗi ca chỉ có 12 công nhân muốn dệt được số vải đó thì mỗi công nhân phải đứng mấy máy ? Bài toán tỉ lệ nghich này giải ra ta được đáp số là 8 máy, đây cũng là đáp số của ví dụ 3. 6a) Nếu mỗi ca có 24 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được 720 mét vải. Nếu mỗi ca chỉ có một công nhân, muốn dệt số vải đó thì mỗi công nhân phải đứng mấy máy ?
    12. 28. Bước 2: Hình cắt ra thành 4 mảnh bằng nhau, như vậy mỗi mảnh có 3 ô vuông nhỏ. Nếu mỗi ô vuông lớn cũng bỏ đi một ô vuông nhỏ thì mỗi ô vuông lớn còn lại 3 ô vuông là mảnh cần cắt ra. Các ô vuông nhỏ được cắt từ ô vuông lớn khi ghép lại phải là mảnh còn lại. Vì vậy mảnh còn lại có dạng ô vuông lớn cắt đi ô vuông nhỏ, nên mảnh còn lại là phần liên thông gồm 3 ô vuông ở 3 ô vuông lớn. Bước 3: Cắt theo đường ABDEFGH ta được 1 mảnh. Cắt mảnh còn lại theo 2 đường: FI và CD ta được 3 mảnh còn lại. Bước 4: Bốn mảnh được cắt là: MHGFIN; HGEBA; FIKCD; CDAQP đều là 1 ô vuông lớn bỏ đi một ô vuông nhỏ còn 3 ô vuông có hình dạng như nhau và bằng nhau về độ lớn. Ví dụ 2: Chia hình vuông thành 4 hình tam giác có diện tích bằng nhau. Bước 1: Vẽ hình vuông trên giấy kẻ ô vuông. Hình vuông được chia thành 16 ô vuông nhỏ. Bước 2: Mảnh được cắt ra là các tam giác có diện tích bằng nhau, mỗi tam giác có diện tích 4 ô vuông. Khi đó cạnh đáy và chiều cao tương ứng của mỗi tam giác có độ dài bằng độ dài cạnh 4 và 2 ô vuông. Bước 3: Cắt hình vuông theo hai đường chéo AC và BD tạo ra bốn tam giác OAD; ODC; OCB và OBA bằng nhau và cùng diện tích bằng 4 ô vuông nhỏ. Bước 4: Các tam giác OAD; ODC; OCB; OBA bằng nhau: Gấp hình vuông theo hai đường chéo ta được 4 tam giác trùng khít lên nhau, do đó nó bằng nhau và bằng nhau về diện tích. Cách khác: Mỗi mảnh được cắt ra là một tam giác có diện tích 4 ô vuông, nên tam giác đó có cạnh và độ dài đường cao tương ứng là độ dài cạnh 4 và 2 ô vuông. Nếu lấy AB làm 1 cạnh của 1 tam giác được cắt ra thì đỉnh còn lại của tam giác thuộc đường thẳng MN, các vị trí của đỉnh có thể là M, F, O. Vì vậy ta còn có các cách giải sau: Cách 2: Cắt theo các đường BM; CM; MN. Cách 3: Cắt theo đường AE; BE; AF.
    13. 29. Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật có độ dài cạnh là 9 cm và 16 cm. Hãy cắt hình chữ nhật thành 2 mảnh để ghép lại được 1 hình vuông. Bước 1: Vẽ hình chữ nhật trên giấy kẻ ô vuông. Số ô vuông là: 9 x 16 = 144 (ô vuông). Hình ghép được từ hai mảnh cắt ra là hình vuông cùng diện tích là 144 ô nên mỗi cạnh hình vuông độ dài là cạnh 12 ô vuông. Bước 2: Hình vuông ghép lại từ hai mảnh có dạng như hình AEFG. Khi đó AD kéo dài DG có độ dài 3 ô vuông và AB bị rút ngắn bớt đi BE có độ dài cạnh 4 ô vuông. Hình chữ nhật DHFG có độ dài cạnh tương ứng 12 ô; và 3 ô là hình được ghép với hình chữ nhật AEHD để có hình vuông AEFG. Nếu cắt theo đường XY thì hình chữ nhật tương ứng để ghép được hình chữ nhật DHFG là hình chữ nhật YTCX. Khi đó B chuyển tới vị trí N; E chuyển tới vị trí M và M chuyển tới vị trí Y. Bước 3: Cắt hình chữ nhật theo đường XYZMNE; DX = 4; YZ = 4; MN = 4 ta được hai mảnh là ADXYZMNE và CXYZMNEB. Bước 4: Ghép mảnh CXYZMNEB trùng với FGDXYZMN ta được hình vuông AGFE. Bài tập tự giải: Bài 1: Cắt một hình chữ thập thành 5 mảnh ghép lại được một hình vuông. Bài 2: Hãy cắt 2 hình vuông bất kì thành các mảnh để ghép lại được một hình vuông. Bài 3: Có thể cắt các hình vuông ABEF; ACGH để ghép lại thành hình vuông BCMN không?
    14. 31. 20 : 10 = 2 (giờ) Quãng đường AB dài là: 40 x 2 = 80 (km) Đáp số: 80 km Chú ý là s1 = s2 Ví dụ 2: Bạn Toán đưa tiền dự định mua một số quyển vở loại 2500 đồng/ quyển. Nhưng đến cửa hàng chỉ còn vở loại 3000 đồng/quyển. Toán cứ băn khoăn có nên mua loại vở này không? Vì nếu mua thì số vở dự định bị hụt mất hai quyển. Tính số tiền bạn Toán mang đi? Phân tích: Vì số tiền bạn Toán mang đi không đổi, nên ta có thể xem giá tiền của mỗi loại vở là chiều dài của một hình chữ nhật và số quyển vở là chiều rộng của hình chữ nhật đó. Vẽ sơ đồ: Giải: Nếu bạn Toán mua số vở loại 2500 đồng/quyển bằng số vở định mua loại 3000 đồng/quyển thì số tiền còn thừa là: 2 x 2500 = 5000 (đồng) Sở dĩ có số tiền thừa này là vì giá vở đã giảm: 3000 – 2500 = 500 (đồng/quyển) Vậy số vở bạn Toán định mua loại 3000 đồng/quyển là: 5000 : 500 = 10 (quyển vở) Số tiền bạn Toán mang đi là: 3000 x 10 = 30000(đồng) Đáp số: 30000 đồng Các bạn thử dùng sơ đồ diện tích giải các bài toán sau: Bài 1: Một ôtô đi từ Vinh đến Hà Nội dự định đi với vận tốc 30 km/h. Nhưng do trời mưa nên chỉ đi được 25 km/h, nên đến Hà Nội muộn mất 2 giờ so với thời gian dự định. Tính quãng đường Vinh – Hà Nội? Bài 2: Bố bạn An năm nay 30 tuổi. Nếu lấy số tuổi bố bạn An cách đây 5 năm và số tuổi của An bây giờ cộng với 2 rồi nhân hai số đó với nhau thì cũng bằng số tuổi bố bạn An bây giờ nhân với số tuổi bạn An bây giờ. Tính tuổi bạn An bây giờ? Phan Duy Nghĩa (Trường Đại Học Vinh)
    15. 33. Bước 2. Ghép 10 hình vuông nhỏ thành hai hình chữ thập Bước 3. Cắt ghép hai hình chữ thập như bài toán (2) Các bài tập rèn luyện thêm : 1) Cắt một hình như hình dưới thành 5 mảnh để ghép lại được một hình vuông 2) Một người có một miếng ván hình chữ nhật, 1,5m, rộng 0,3m. Người đó muốn cắt miếng ván đó thành nhiều mảnh sao cho ghép các mảnh này lại thì được một hình vuông (Bài toán : Giúp bác thợ mộc). Trần Văn Hạnh (Cao đẳng Sư phạm Quảng Ngãi SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG ĐỂ TÌM LỜI GIẢI KHÁC NHAU TRONG DẠY GIẢI TOÁN Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán đã trở thành một phương pháp hữu hiệu trong việc giải một số dạng toán ở tiểu học. Trong bài “Phát triển từ một bài toán cơ bản” của tác giả Đặng Phương Hoa, TTT số 33 là một minh chứng cho vấn đề này. Trong bài này, dựa vào một bài toán cơ bản của lớp 4 tôi nêu lên nguyên lí chung của các lời giải, từ đó áp dụng cho việc tìm lời giải của một bài toán khác. Bài toán 1 : Tìm 2 số, biết tổng của chúng bằng 2004 và hiệu của chúng bằng 202. Đây là bài toán điển hình ở lớp 4 và trong SGK thường nêu lên 2 cách giải sau : Cách 1 : Số bé = (Tổng – Hiệu) : 2 ; Số lớn = Số bé + Hiệu hoặc Số lớn = Tổng – Số bé. Cách 2 :
    16. 34. Số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2 ; Số bé = Số lớn – Hiệu hoặc Số bé = Tổng – Số lớn. Ta thấy : Cả 2 cách giải trên đều có chung nguyên lí là : Biến đổi sơ đồ để được 2 đoạn thẳng bằng nhau. Theo nguyên lí trên ta, biến đổi sơ đồ : Thành sơ đồ: Dựa vào sơ đồ trên ta có cách giải 3 : Số bé là : 2004 : 2 – (202 : 2) = 901 Số lớn là : 2004 : 2 + (202 : 2) = 1103, hoặc : 2004 – 901 = 1103 Đáp số : Số bé : 901 ; số lớn : 1103. Bài toán 2 : Khối lớp 4 có bốn lớp với tổng số học sinh là 156 em. Lớp 4A nhiều hơn lớp 4B là 10 em. Lớp 4C ít hơn lớp 4A là 4 em. Lớp 4B và lớp 4D có số học sinh bằng nhau. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu em ? Đây là loại toán không khó đối với học sinh tiểu học, nhưng việc tìm ra những lời giải khác nhau thì lại không đơn giản. Nếu chúng ta áp dụng nguyên lí biến đổi sơ đồ đoạn thẳng thành các đoạn thẳng bằng nhau thì ta sẽ có 4 cách giải khác nhau. Đầu tiên ta tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng : Cách giải 1 : (Biến thành 4 đoạn thẳng bằng nhau và bằng đoạn thẳng biểu thị số học sinh 4B) Số học sinh 4C nhiều hơn số học sinh 4B là : 10 – 4 = 6 (em) Theo bài ra ta có sơ đồ : Số học sinh 4B và cũng là số học sinh lớp 4D là : (156 – 10 – 6) : 4 = 35 (em) Số học sinh 4A là : 35 + 10 = 45 (em) Số học sinh 4C là : 35 + 6 = 41 (em) Đáp số : 4A : 45 em, 4B : 35 em, 4C : 41 em, 4D : 35 em. Cách giải 2 : (Biến thành 4 đoạn bằng nhau và bằng đoạn thẳng biểu thị số học sinh 4A).
    17. 40. Giải các bài toán có lời văn luôn là điều thú vị đối với học sinh tiểu học. Việc tìm ra các cách giải khác nhau cho một bài toán càng làm cho lời giải thêm sinh động và phong phú hơn, học sinh thêm say mê học Toán hơn. Kỳ thi học sinh giỏi tiểu học môn Toán năm học 2003 – 2004 của thành phố Hà Nội có một bài toán khiến nhiều giáo viên còn băn khoăn về các lời giải khác nhau của học sinh. Tôi xin trình bày lại các cách giải khác nhau của bài toán thuộc dạng toán tính ngược có trong đề thi. Bài toán : “Bạn Yến có một bó hoa hồng đem tặng các bạn cùng lớp. Lần đầu Yến tặng một nửa số bông hồng và thêm 1 bông. Lần thứ hai Yến tặng một nửa số bông hồng còn lại và thêm 2 bông. Lần thứ ba Yến tặng một nửa số bông hồng còn lại và thêm 3 bông. Cuối cùng Yến còn lại 1 bông hồng dành cho mình. Hỏi Yến đã tặng bao nhiêu bông hồng ?” *Cách 1 : Ta có sơ đồ về số các bông hồng : Số bông hồng còn lại sau khi Yến tặng lần thứ hai là : (1 + 3) x 2 = 8 (bông) Số bông hồng còn lại sau khi Yến tặng lần thứ nhất là : ( 8 + 2) x 2 = 20 (bông) Số bông hồng lúc đầu Yến có là : (20 + 1) x 2 = 42 (bông) Số bông hồng Yến đã tặng các bạn là : 42 – 1 = 41 (bông) Đáp số : 41 bông hồng. *Cách 2 : Gọi số bông hồng lúc đầu Yến có là a. Số bông hồng còn lại sau khi Yến cho bạn lần thứ nhất là : a : 2 – 1 (bông hồng) Số bông hồng còn lại sau Yến cho bạn lần thứ hai là : (a : 2 – 1) : 2 – 2 (bông hồng) Số bông hồng còn lại sau khi Yến cho bạn lần thứ ba là : ((a : 2 – 1) : 2 – 2) : 2 – 3 (bông hồng) Theo đề bài ta có : ((a : 2 – 1) : 2 – 2) : 2 – 3 = 1 (bông hồng) ((a : 2 – 1) : 2 – 2) : 2 = 1 + 3 (bông hồng) ((a : 2 – 1) : 2 – 2) : 2 = 4 (bông hồng) (a : 2 – 1) : 2 – 2 = 4 x 2 (bông hồng) (a : 2 – 1) : 2 – 2 = 8 (bông hồng) (a : 2 – 1) : 2 = 8 + 2 (bông hồng) (a : 2 – 1) : 2 = 10 (bông hồng) a : 2 – 1 = 10 x 2 (bông hồng) a : 2 – 1 = 20 (bông hồng)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Thực Dưỡng Ohsawa Số 7 Có Gì Đặc Biệt
  • 5 Cách Phòng Ngừa Bệnh Truyền Nhiễm Hiệu Quả
  • Tài Liệu Phương Pháp Số Trong Công Nghệ Hóa Học
  • Phương Pháp Số Trong Công Nghệ Hóa Học
  • Phương Pháp Độc Giúp Bạn Ghi Nhớ Những Con Số Khô Khan (P1)
  • Phương Pháp Giải Nhanh Trắc Nghiệm Hóa: Phương Pháp Quy Đổi Hỗn Hợp: Phương Pháp 1

    --- Bài mới hơn ---

  • Tổng Quan Về Chuyển Hóa Lipid
  • Dạy Trẻ Kỹ Năng Quan Sát
  • Phuong Phap Quan Sat
  • Thi Công Xây Dựng Phần Thô
  • Tổng Quan Về Quy Trình Hoạt Động Của Nhà Báo
  • QUI ĐỔI HỖN HỢP

    Một số bài toán hóa học có thể giải nhanh bằng các phương pháp bảo toàn electron, bảo toàn nguyên tử, bảo toàn khối lượng song phương pháp quy đổi cũng tìm ra đáp số rất nhanh và đó là phương pháp tương đối ưu việt, có thể vận dụng vào các bài tập trắc nghiệm để phân loại học sinh.

    Các chú ý khi áp dụng phương pháp quy đổi:

    1. Khi quy đổi hỗn hợp nhiều chất (hỗn hợp X) (từ ba chất trở lên) thành hỗn hợp hai chất hay chỉ còn một chất ta phải bảo toàn số mol nguyên tố và bảo toàn khối lượng hỗn hợp.

    2. Có thể quy đổi hỗn hợp X về bất kỳ cặp chất nào, thậm chí quy đổi về một chất. Tuy nhiên ta nên chọn cặp chất nào đơn giản có ít phản ứng oxi hóa khử nhất để đơn giản việc tính toán.

    3. Trong quá trình tính toán theo phương pháp quy đổi đôi khi ta gặp số âm đó là do sự bù trừ khối lượng của các chất trong hỗn hợp. Trong trường hợp này ta vẫn tính toán bình thường và kết quả cuối cùng vẫn thỏa mãn.

    4. Khi quy đổi hỗn hợp X về một chất là FexOy thì oxit FexOy tìm được chỉ là oxit giả định không có thực.

    1. dạng 1 quy đổi hỗn hợp chất về hợp chất

    Ví dụ 1:  Nung 8,4 gam $Fe$ trong không khí, sau phản ứng thu được m gam chất rắn X gồm $Fe, Fe_2O_3, Fe_3O_4, FeO$. Hòa tan m gam hỗn hợp X vào dung dịch $HNO_3$ dư thu được 2,24 lít khí $NO_2$ (đktc) là sản phẩm khử duy nhất. Giá trị của m là

        A. $11,2 gam$.    B. $10,2 gam$.    C. $7,2 gam$.    D. $6,9 gam$.

    Hướng dẫn giải

    · Quy hỗn hợp X về hai chất Fe và Fe2O3:

    Hòa tan hỗn hợp X vào dung dịch HNO3 dư ta có

        $Fe + 6HNO3  rightarrow  Fe(NO_3)_3  + 3NO_2  + 3H_2O$

                        $frac{0,1}{3}$      $Rightarrow$   0,1 mol

     Số mol của nguyên tử Fe tạo oxit $Fe_2O_3$ là

        $n_{Fe}=frac{8,4}{56}-frac{0,1}{3}=frac{0,35}{3}$    $Rightarrow$    $n_{Fe_2O_3}=frac{0,35}{3.2}$

    Vậy:    $m_X=m_{Fe}+m_{Fe_2O_3}$

    $Rightarrow$    $m_X=frac{0,1}{3}.56+frac{0,35}{3}.160 = 11,2 gam$.

    · Quy hỗn hợp X về hai chất $FeO$ và $Fe_2O_3$:

        $FeO + 4HNO_3  rightarrow  Fe(NO_3)_3  +  NO_2  + 2H_2O$

         0,1   $Rightarrow$    0,1 mol

    ta có: 0,15mol Fe bao gồm

    $2Fe+O_2 rightarrow 2FeO$

     0,1mol

    $4Fe+3O_2 rightarrow 2Fe_2O_3$

    0,05mol

        $m_{hhX}= 0,1´72 + 0,025´160 = 11,2 gam$. (Đáp án A)

    Chú ý: Vẫn có thể quy hỗn hợp X về hai chất ($FeO$ và $Fe_3O_4$) hoặc ($Fe$ và $FeO$), hoặc ($Fe$ và $Fe_3O_4$) nhưng việc giải trở nên phức tạp hơn (cụ thể là ta phải đặt ẩn số mol mỗi chất, lập hệ phương trình, giải hệ phương trình hai ẩn số).

    · Quy hỗn hợp X về một chất là $Fe_xO_y$:

    $Fe_xO_y + (6x-2y)HNO_3  rightarrow  Fe(NO_3)_3  + (3x-2y) NO_2 + (3x-y)H_2O$

          $frac{0,1}{3x-2y} mol$    $rightarrow$  0,1 mol.

    $Rightarrow$ $n_{Fe}=frac{8,4}{56}=frac{0,1.x}{3x-2y}$  $rightarrow frac{x}{y}=frac{6}{7} mol$.

    Vậy công thức quy đổi là $Fe_6O_7$ (M = 448) và $n_{Fe_6O_7}=frac{0,1}{3.6-2.7} = 0,025 mol$.

    $Rightarrow$ $m_X = 0,025.448 = 11,2 gam$.

    Nhận xét: Quy đổi hỗn hợp gồm $Fe, FeO, Fe_2O_3, Fe_3O_4$ về hỗn hợp hai chất là $FeO, Fe_2O_3$ là đơn giản nhất.

    Ví dụ 2: Hòa tan hết m gam hỗn hợp X gồm $FeO, Fe_2O_3, Fe_3O_4$ bằng $HNO_3$ đặc nóng thu được 4,48 lít khí $NO_2$ (đktc). Cô cạn dung dịch sau phản ứng thu được $145,2 gam$ muối khan giá trị của m là

        A. $35,7 gam$.    B.$46,4 gam$.    C. $15,8 gam$.    D. $77,7 gam$.

    Hướng dẫn giải

    Quy hỗn hợp X về hỗn hợp hai chất $FeO$ và $Fe_2O_3$ ta có

        $FeO + 4HNO_3  rightarrow  Fe(NO_3)_3 + NO_2 + 2H_2O$

         0,2 mol                                    0,2 mol       0,2 mol

        $Fe_2O_3 + 6HNO_3  rightarrow 2Fe(NO_3)_3 + 3H_2O$

        0,2 mol                                        0,4 mol

        $n_{Fe(NO_3)_3}=frac{145,2}{224} = 0,6 mol$.

    $Rightarrow$  $m_X = 0,2´(72 + 160) = 46,4 gam$. (Đáp án B)

    Ví dụ 3: Hòa tan hoàn toàn $49,6 gam$ hỗn hợp X gồm $Fe, FeO, Fe_2O_3, Fe_3O_4$ bằng $H_2SO_4$ đặc nóng thu được dung dịch Y và $8,96 lít$ khí $SO_2$ (đktc).

        a) Tính phần trăm khối lượng oxi trong hỗn hợp X.

        A. 40,24%.    B. 30,7%.    C. 20,97%.    D. 37,5%.

    b) Tính khối lượng muối trong dung dịch Y.

        A. 160 gam.    B.140 gam.    C. 120 gam.    D. 100 gam.

    Hướng dẫn giải

    Quy hỗn hợp X về hai chất $FeO, Fe_2O_3$, ta có:

    $2FeO + 4H_2SO_4 rightarrow Fe_2(SO_4)_3 + SO_2 +4H_2O$

    $Fe_2O_3+3H_2SO_4 rightarrow Fe_2(SO_4)_3 +3H_2O$

        $m_{Fe_2O_3}= 49,6 – 0,8.72 = -8 gam$    (-0,05 mol)

    $Rightarrow$ $n_{O (X)} = 0,8 + 3.(-0,05) = 0,65 mol$.

    Vậy:       a)     %$m_O=frac{0,65.16.100}{49,9} = 20,97$%. (Đáp án C)

           b)     $m_{Fe_2(SO_4)_3}= [0,4 + (-0,05)].400 = 140 gam$. (Đáp án B)

    Ví dụ 4: Để khử hoàn toàn $3,04 gam$ hỗn hợp X gồm $FeO, Fe_2O_3, Fe_3O_4$ thì cần $0,05 mol$ $H_2$. Mặt khác hòa tan hoàn toàn $3,04 gam$ hỗn hợp X trong dung dịch $H_2SO_4$ đặc nóng thì thu được thể tích khí SO2 (sản phẩm khử duy nhất ở đktc) là.

        A. 224 ml.    B. 448 ml.    C. 336 ml.    D. 112 ml.

    Hướng dẫn giải

    Quy hỗn hợp X về hỗn hợp hai chất $FeO$ và $Fe_2O_3$ với số mol là x, y, ta có:

        $FeO  +  H_2  rightarrow    Fe  +  H_2O$

           x         y

        $Fe_2O_3  +  3H_2   rightarrow   2Fe  +  3H_2O$

           x            3y

        $begin{cases}x+3y=0,05 \ 72x+160y=3,04 end{cases}$ $Rightarrow$  $begin{cases}x=0,02mol \ y=0,01mol end{cases}$

        $2FeO  +  4H_2SO_4  rightarrow   Fe_2(SO_4)_3  +  SO_2  +  4H_2O$

         0,02                                                0,01 mol

    Vậy:    $V_{SO_2}= 0,01´22,4 = 0,224 lít$  (hay 224 ml). (Đáp án A)

    Ví dụ 5: Nung m gam bột sắt trong oxi, thu được 3 gam hỗn hợp chất rắn X. Hòa tan hết hỗn hợp X trong dung dịch $HNO_3$ (dư) thoát ra $0,56 lít$ $NO$ (ở đktc) (là sản phẩm khử duy nhất). Giá trị của m là

        A. $2,52 gam$.    B. $2,22 gam$.    C. $2,62 gam$.    D. $2,32 gam$.

    Hướng dẫn giải

    Quy hỗn hợp chất rắn X về hai chất $Fe, Fe_2O_3$:

        $Fe + 4HNO_3  rightarrow  Fe(NO_3)_3   +   NO  + 2H_2O$

        0,025                                    0,025          0,025 mol

    $Rightarrow$ $m_{Fe_2O_3}= 3 – 56.0,025 = 1,6 gam$

    $Rightarrow$ $m_{Fe (trong Fe_2O_3)}=frac{1,6}{160}.2 = 0,02 mol$

    $Rightarrow$ $m_{Fe} = 56.(0,025 + 0,02) = 2,52 gam$. (Đáp án A)

    Bài 1: Hỗn hợp X gồm ($Fe, Fe_2O_3, Fe_3O_4, FeO$) với số mol mỗi chất là $0,1 mol$, hòa tan hết vào dung dịch Y gồm ($HCl$ và $H_2SO4$ loãng) dư thu được dung dịch Z. Nhỏ từ từ dung dịch $Cu(NO_3)_2$ 1M vào dung dịch Z cho tới khi ngưng thoát khí $NO$. Thể tích dung dịch $Cu(NO_3)_2$ cần dùng và thể tích khí thoát ra ở đktc thuộc phương án nào?

    A. 25 ml; 1,12 lít.    B. 0,5 lít; 22,4 lít.

    C. 50 ml; 2,24 lít.     D. 50 ml; 1,12 lít.

    bài 2: Nung $8,96 gam$ $Fe$ trong không khí được hỗn hợp A gồm $FeO, Fe_3O_4, Fe_2O_3$. A hòa tan vừa vặn trong dung dịch chứa $0,5 mol$ $HNO_3$, bay ra khí $NO$ là sản phẩm khử duy nhất. Số mol $NO$ bay ra là.

        A. 0,01.    B. 0,04.    C. 0,03.    D. 0,02.

    bài 3: Hoà tan hoàn toàn $30,4 gam$ rắn X gồm cả $CuS,Cu_2S$ và $S$ bằng $HNO_3$                                                                        dư, thoát ra $20,16 lít$ khí $NO$ duy nhất (đktc) và dung dịch Y. Thêm $Ba(OH)_2$ dư vào Y thu được m gam kết tủa. Giá trị của m là

      A. 81,55. B. 104,20. C. 110,95.  D. 115.85.

    bài 4:Nung m gam bột Cu trong Oxi thu được $24,8 gam$ hỗn hợp chất rắn X gồm $Cu, CuO$ và $Cu_2O$. Hoà tan hoàn toàn X trong $H_2SO_4$  đặc nóng thoát ra 4,48 lít khí $SO_2$ duy nhất (đktc). Giá trị của m là

    A. 9,6. B. 14,72. C. 21,12. D. 22,4.

    đáp án: 1C. 2D. 3C. 4D

    2. phương pháp 2: quy đổi hỗn hợp về đơn chất

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Giải Các Dạng Bài Tập Về Sắt Fe, Hỗn Hợp Và Hợp Chất Của Sắt
  • Bài Tập Este Cơ Bản Phân Dạng Và Đáp Án Chi Tiết
  • Skkn Hướng Dẫn Học Sinh Giải Nhanh Bài Toán Hóa Học Hữu Cơ Bằng Phương Pháp Quy Đổi
  • Lí Thuyết Chất Béo Hóa 12 Đầy Đủ Nhất
  • Mạch Chuyển Đổi Tương Tự Ra Số Adc
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100